1. кинематика поступательного и вращательного движения
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
3.4. Потенциальная энергия системы взаимодействия. Связь кинетической энергии системы с работой внутренних и внешних сил Рассмотрим систему из двух взаимодействующих друг с другом частиц. Для простоты положим, что такая система может перемещаться только вдоль оси x. В этом случае положение каждой из частиц полностью определяется одной координатой x. F 12 f 1 F 21 f 2 x m 1 Рис Обозначим F 12 и F 21 - проекции сил взаимодействия частиц, f 1 и f 2 - проекции внешних сил на ось x. Запишем уравнения движения для обеих частиц 1 12 1 1 f F dt d m ; 2 21 2 2 f F dt Умножим первое уравнение на dx 1 = 1 dt, а второе на dx 2 = 2 dt,: 1 1 1 12 1 1 1 dx f dx F d m ; 2 2 2 21 2 2 2 dx f dx F d Сложим эти уравнения, учитывая, что F 12 =F 21 , согласно третьему закону Ньютона 34 2 2 1 1 1 2 12 2 2 2 1 1 1 dx f dx f ) x x ( d F d m d m . (3.21) F 12 d(x 2 -x 1 ) зависит только от разности координат частиц, поэтому это выражение можно рассматривать как приращение некоторой функции п. Функция п) обладает тем свойством, что , F x E 12 п 2 п F x E Произведение d m есть первая производная от выражения 2 m 2 , те. 2 m d d m 2 , где - модуль скорости частицы. Поэтому соотношение (3.21) можно записать следующим образом 2 2 1 1 1 2 n 2 2 2 2 1 1 dx f dx f ) x x ( E 2 m 2 m d . (3.22) Если система замкнута, то силы f 1 и f 2 равны нулю, следовательно, функция, стоящая справа в квадратных скобках, остается постоянной. Эта функция представляет собой полную механическую энергию системы. Первые два слагаемых дают кинетическую энергию системы. Слагаемое п) называют взаимной потенциальной энергией частиц, образующих систему, либо потенциальной энергией взаимодействия. Таким образом, полная механическая энергия системы взаимодействующих частиц слагается из кинетической энергии частиц и потенциальной энергии вз п к Е Е Е Правая часть уравнения (3.22) внеш представляет собой работу внешних сил, совершенную над системой. Введя это обозначение, формулу (3.22) можно переписать в виде внеш п к dA E dE dE вз (3.23) В этом соотношении dE - приращение полной энергии системы за время dt, внеш - суммарная работа внешних сил за тот же промежуток времени. Проинтегрировав соотношение (3.23) по некоторому промежутку времени, найдем, что работа внешних сил идет на приращение полной энергии системы Е 2 -Е 1 =А внеш Потенциальная энергия взаимодействия частиц равна 35 dE n (x 2 -x 1 )=F 12 dx 2 -F 12 dx 1 =-F 21 dx 2 -F 12 dx 1 =-(F 21 dx 2 +F 12 dx 1 ). Правая часть этого уравнения представляет собой суммарную работу внутренних сил внутр (3.24) Подставив это значение в формулу (3.22), получим dЕ к -dА внутр =dА внеш , dЕ к =dА внутр +dА внеш . Проинтегрировав последнее соотношение 2 внеш 1 2 внутр к dА dА dЕ , получим, что приращение кинетической энергии равно работе всех (как внешних, таки внутренних) сил, приложенных к частицам системы внеш внутр 2 12 к к А А Е Е Работа внутренних сил равна убыли потенциальной энергии взаимодействия частиц. Проинтегрировав равенство (3.24) по некоторому промежутку времени, получим, что работа внутренних сил равна убыли потенциальной энергии взаимодействия 2 вз 1 вз вз внутр п п п 12 E E dE A Если совершение внешними силами работы над частицами системы не сопровождается изменением скоростей частиц, то из формулы (3.23) следует, что внеш п dА dЕ вз . После интегрирования 2 внеш п dA E вз , можно сделать вывод, что работа внешних сил равна приращенной потенциальной энергии взаимодействия внеш п п А Е Е 1 вз 2 вз 3.5. Закон сохранения механической энергии. Закон сохранения и превращения энергии как проявление неуничтожимости материи и ее движения Рассмотрим систему, состоящую из n частиц с массами m 1 ,m 2 ,…m n . Пусть частицы взаимодействуют друг с другом с силами F ik , модули которых зависят только от расстояния между частицами. Такие силы являются консервативными. Это означает, что работа, совершаемая этими силами над частицами, определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Предположим, что кроме внутренних сил на i– 36 частицу действует внешняя консервативная сила f i и внешняя неконсервативная сила i f . Тогда уравнение движения частицы будет иметь вид i i n 1 k ik 1 i f f F dt d m , (3.25) причем (ik), и принимает значения i=1,2…n. Умножив уравнение (3.25) на dt s d i i и, сложив вместе все n уравнений, получим n 1 i n 1 i i i i i n 1 i i k i ik n 1 i i i i s d f s d f s d F d m . (3.26) Левая часть уравнения (3.26) есть приращение кинетической энергии системы n 1 i n 1 i 2 i i i i i 2 m d d Первый член правой части вз п i k i ik dE s d F равен убыли потенциальной энергии взаимодействия частиц. Второй член внеш п i i dE s d f равен убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил. Последний член n 1 i n 1 i внеш i i dA s представляет собой работу i f неконсер-вативных внешних сил. Таким образом, равенство (3.26) можно записать в виде внеш п п к внеш вз (3.27) Величина внеш п к Е Е Е Е вз - есть полная механическая энергия системы. Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, правая часть уравнения (3.27) будет равна нулю, и полная энергия системы остается постоянной сonst Е Е Е Е внеш п к вз 37 Таким образом, полная механическая энергия системы тел, на которые действуют лишь консервативные силы, остается постоянной (закон сохранения механической энергии. Для замкнутой системы, те. системы, на тела которой не действуют никакие внешние силы сonst Е Е Е вз п к , те. полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. Если в замкнутой системе, кроме консервативных сил, действуют также неконсервативные силы (силы трения, то полная механическая энергия системы не сохраняется неконс п к dA ) E E ( d dE вз Проинтегрировав это выражение, получим, что работа неконсервативных сил равна изменению полной механической энергии системы неконс 12 1 2 А Е Е Силы трения, как правило, совершают отрицательную работу. Поэтому наличие сил трения в замкнутой системе приводит к уменьшению ее полной механической энергии со временем. Действие сил трения приводит к превращению механической энергии в другие, немеханические виды энергии. Всякий раз, когда исчезает энергия одного вида появляется эквивалентное количество энергии другого вида. Энергия никогда не исчезает и не появляется снова, она лишь превращается из одного видав другой. В этом и заключается закон сохранения энергии в его общем физическом смысле. 3.6. Удар абсолютно упругих и неупругих тел При соударении тел друг с другом они претерпевают деформации. При этом кинетическая энергия, которой обладали тела перед ударом, частично или полностью переходит в потенциальную энергию упругой деформации или в так называемую внутреннюю энергию тел. Увеличение внутренней энергии тел сопровождается повышением температуры. Существуют два предельных вида удара абсолютно упругий и абсолютно неупругий. Абсолютно упругим ударом называется такой удар, при котором механическая энергия тел не переходит в другие немеханические виды энергии. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Затем тела возвращаются к первоначальной форме, отталкивая друг друга. Потенциальная энергия упругой деформации снова переходит в кинетическую энергию, и тела разлетаются со скоростями, величина и 38 направление которых определяются сохранением полной энергии и сохранением полного импульса системы. Абсолютно неупругий удар характеризуется тем, что потенциальная энергия деформации не возникает, кинетическая энергия тел полностью или частично превращается во внутреннюю энергию. После удара столкнувшиеся тела либо движутся с одинаковой скоростью, либо покоятся. При абсолютно неупругом ударе выполняется лишь закон сохранения импульса. Закон сохранения механической энергии не соблюдается – имеет место закон сохранения суммарной энергии различных видов – механической и внутренней. Рассмотрим абсолютно неупругий удар двух частиц, образующих замкнутую систему, движущихся вдоль оси x (рис) Пусть m 1 и m 2 - массы частиц, 1 и 2 - скорости частиц до удара, u - скорость частиц после удара. 1 2 x m 1 а) 1 2 x m 1 б) Рис Запишем закон сохранения импульса u ) m m ( m m 2 1 2 2 1 1 ; 2 1 2 2 1 1 m m m m u (3.28) Модуль скорости частиц после удара для риса равен 2 1 2 2 1 1 m m m m u , для рис. б 2 1 2 2 1 1 m m m m u 39 Выясним, как изменится полная энергия шаров при абсолютно неупругом ударе. Кинетическая энергия до удара 2 m 2 m E 2 2 2 2 1 к, после удара 2 к u ) m m ( 2 Подставим в это выражение общую скорость движения частиц (3.28) для случая, изображенного на рис. б 2 1 2 2 2 к m m ) m m ( 2 Найдем изменение кинетической энергии 2 к к Е Е Е ; 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 ) ( m m m m 2 1 m m ) m m ( 2 1 2 m 2 m E . (3.29) Уменьшение кинетической энергии при неупругом ударе означает, что механическая энергия системы при этом ударе не остается постоянной, она частично или полностью превращается в тепловую энергию движущихся молекул. Рассмотрим абсолютно упругий центральный удар двух однородных шаров (рис. Удар называется центральным, если шары до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центр. Предполагается, что шары образуют замкнутую систему тел, что внешние силы, приложенные к шарам, уравновешивают друг друга. Кроме того, вращение шаров отсутствует. 1 2 x 40 m 1 Рис Обозначим m 1 и m 2 - массы шаров, 1 и 2 - скорости шаров до удара, 1 u и 2 u - скорости шаров после удара. Положим, что скорости шаров как до удара, таки после удара направлены вдоль положительного направления оси x. Запишем уравнение закона сохранения импульса и энергии 2 2 1 1 2 2 1 1 u m u m m m ; (3.30) 2 u m 2 u m 2 m 2 m 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 . (3.31) Спроектируем уравнение закона сохранения импульса (3.30) на ось x: 2 2 1 1 2 2 1 1 u m u m m и преобразуем его к виду ) u ( m ) u ( m 1 1 1 2 2 2 (3.32) Из закона сохранения энергии (3.31) следует ) u ( m ) u ( m 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 (3.33) Разделим уравнение (3.33) на (3.32), получим 1 1 2 2 u u . (3.34) Для нахождения скорости u 1 умножим (3.34) на m 2 и полученное соотношение сложим с уравнением (3.32): 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 m u m u m m m u m u m m , получим ) m m ( ) m m ( u m 2 1 2 1 1 2 1 2 2 , откуда 2 1 2 2 2 1 1 1 m m m 2 ) m m ( u (3.35) Для определения скорости u 2 умножим (3.34) на m 1 и полученное соотношение вычтем из уравнения (3.32): 41 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 m u m u m m m u m u m m , получим 1 1 2 1 2 1 2 2 m 2 ) m m ( u ) m m ( , откуда 2 1 1 1 1 2 2 2 m m m 2 ) m m ( u (3.36) При m 1 =m 2 из (3.35) и (3.36) следует, что u 1 = 2 , а u 2 = 1 42 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 4.1. Момент силы и момент импульса Моментом силы относительно какой-либо оси называется произведение величины силы (F) на плечо, те. на длину перпендикуляра (d), опущенного из точки О, через которую проходит ось, на направление силы (рис M=Fd. За направление момента силы берется направление, в котором будет двигаться направленный вдоль оси буравчик, если его рукоятка поворачивается по направлению силы. Из рис видно, что d=r sin, где r - радиус-вектор. Тогда M=Fr sin. Поскольку Fr sin есть модуль векторного произведения F r , то для момента силы будет справедливо выражение или Таким образом, момент силы есть вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат F и r . Направлен вектор по правилу буравчика. z M F r d Рис.4.1 Аналогично моменту силы определяется и момент импульса ( N ). Пусть ось моментов выбрана таким образом, что вектор импульса лежит в плоскости, перпендикулярной оси. Моментом импульса 43 относительно некоторой оси называют вектор N , направленный вдоль этой оси по правилу буравчика и равный по величине z N m r d Рис произведению импульса m на длину перпендикуляра d, опущенного на этот вектор из заданной оси (рис N=md. Следовательно, момент импульса N есть векторное произведение радиуса вектора на вектор импульса m : m r N 4.2. Уравнение моментов Установим связь между моментом внешних сил и моментом импульса материальной точки. Рассмотрим случай, когда внешние силы, лежат в плоскости, перпендикулярной оси моментов. Если на материальную точку массы m действует сила F, то уравнение движения согласно второму закону Ньютона имеет вид F ) m ( dt d F r O Рис Выберем какую-либо неподвижную ось, перпендикулярную плоскости движения. Пусть след этой оси есть точка О (рис. Проведем из точки О к точке массой m радиус-вектор При движении точки радиус- вектор изменяется, те. r есть функция времени. Умножим векторно обе части уравнения движения на r : F r m dt Правая часть этого уравнения есть момент сил относительно выбранной оси 44 F r M (4.1) Левая часть есть производная повремени от момента импульса материальной точки относительно выбранной оси m r dt d N dt d (4.2) Производная векторного произведения выражается аналогично производной произведения векторных величин, те. ) m ( dt d r m dt r d m r dt Так как dt r d , то 0 m m dt r d , те. векторное произведение двух колинеарных векторов и m равно 0. Окончательно можно записать ) m ( dt d r m r dt d или F r m r dt d . (4.3) Учитывая выражения (4.1) и (4.2), из (4.3) получим уравнение моментов Производная от момента импульса материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту M , действующих на материальную точку сил относительно этой оси. 4.3. Движение центра тяжести твердого тела Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между двумя точками которого вовремя движения остается неизменным. Разобьем мысленно такое тело на бесконечно малые элементы, которые малы по сравнению с расстоянием до оси вращения. Каждый такой элемент тела мы можем рассматривать как материальную точку. Таким образом, мы сведем задачу о движении твердого тела к задаче о движении большого числа отдельных материальных точек. Обозначим массу элемента через m i , его скорость через Запишем уравнение второго закона Ньютона для каждого из элементов 45 i k i ik i i f F m dt d , где k i ik F - сумма внутренних сил, i f - внешняя сила, действующая на элемент массы. Складывая для всех элементов тела, получим n 1 i i n 1 i i i f m dt d , (4.4) так как по третьему закону Ньютона сумма всех внутренних сил, действующих на отдельные элементы тела 0 F k Согласно (4.4) также, как и для всякой системы материальных точек, производная повремени от общего импульса тела равна сумме всех внешних сил, действующих на тело. Координаты центра масс твердого тела определяются следующим образом n 1 i i n 1 i i i m x m x ; n 1 i i n 1 i i i m y m y ; n 1 i i n 1 i i i m z m z , где i i i z , y , x - координаты элемента массы m i (рис. Продифференцируем повремени эти выражения z m i z i x y i x i y Рис ; dt dx m dt dx m n 1 i i i n 1 i i ; dt dy m dt dy m n 1 i i i n 1 i i dt dz m dt dz m n 1 i i i n 1 i i 46 Справа стоят компоненты общего импульса системы потрем осям координат. Слева – масса тела, умноженная на соответствующие компоненты скорости центра масс dt dz , dt dy , dt dx . Складывая почленно, получим n 1 i i i m m , (4.5) где - вектор скорости центра масс, m - масса всего тела. Из выражения (4.5) следует, что твердое тело обладает таким же импульсом, каким обладала бы материальная точка массы, равной массе тела и движущаяся, как движется центр масс тела. Подставляя (4.5) в уравнение (4.1), получим n 1 i i f m dt d . (4.6) Поскольку масса тела есть величина постоянная, её можно вынести за знак дифференциала и уравнение движения центра масс твердого тела (4.6) примет следующий вид n 1 i i f dt d m . (4.7) Центр масс твердого тела движется так, как двигалась бы материальная точка той же массы под действием всех внешних сил, которые действуют на данное тело. Умножим векторно обе части уравнения (4.7) на i r : n 1 i i i n 1 i i i i f r m r dt Правая часть этого уравнения есть момент сил, действующих на абсолютно твердое тело M f r n 1 i i |