1. кинематика поступательного и вращательного движения

• Название: 1. кинематика поступательного и вращательного движения
• Дата: 06.03.2023
• Размер: 0.53 Mb.
• Имя файла: MekhanikaKratkiiKonspekt.pdf
• Тип: Документы; #972678
• страница: 4 из 5

4.4. Момент инерции тела относительно оси вращения Моментом инерции тела относительно оси вращения называется сумма произведений элементарных масс на квадрат расстояния от оси вращения




n
1
i
2
i i
r Для тела с неравномерно распределенной массой элементарная масса m i
i i
i
V
m




, где 
i
- плотность в данной точке, V
i
- элементарный объем. Поэтому момент инерции тела будет равен





n
1
i i
2
i Если сто Переходя к пределу получим, что



dV
r
I
2
z dr b Найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Объем такого слоя равен V=b2rdr,

48 Рис где b - толщина диска, r – радиус кольцевого слоя. Поскольку диск однороден, то си, где R - радиус диска. Произведение m
V
b
R
2




, поэтому момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через его центр будет равен
2
mR
I
2 Для нахождения момента инерции диска относительно осине проходящей через его центр, воспользуемся теоремой Штейнера. Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями (рис
2 0
m
I
I
a


O O
a
O O Рис В соответствии с этой теоремой, момент инерции диска относительно оси ОО равен
2 2
2
mR
2 Приведем моменты инерции тел различной геометрической формы.
1. Длинный стержень, толщина которого значительно меньше длины

. Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящий через его середину
2
m
12 1
I
0


(риса. Относительно оси
ОО
(рис.4.7,б), согласно теореме Штейнера

49 2
0 2
m
I
I









, те.
2 2
2
m
3 1
m
4 1
m
12 1
I






2. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр риса)
2
mR
5 2
I Относительно оси
ОО
(рис.4.8,б)
2 2
2
mR
5 7
mR
mR
5 2
I



О

О
а)
ООО Об Рис
O ООО О
а) б) Рис 3. Момент инерции полого цилиндра относительно оси, проходящей через его центр
2 0
mR
2 1
I 
4. Момент инерции полого цилиндра (обруча) с внутренним радиусом и внешним R
2
относительно оси цилиндра
2
R
R
m
I
2 2
2 1


для тонкостенного полого цилиндра R
1
R
2
=R и I=mR
2
4.5. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. Закон сохранения момента импульса Рассмотрим движение однородного твердого тела, закрепленного на неподвижной оси, вокруг которой оно может свободно вращаться. Примем, что тело симметрично относительно движения. Точка О – след оси, f - внешняя сила, приложенная в точке А рис.

50 Момент инерции относительно оси вращения дает только внешняя сила f, поскольку момент реакции опоры в точке О равен нулю. Разобьем тело на отдельные малые элементы, и будем рассматривать тело как систему материальных точек с массой, равной m Элементы массы m i
обладают элементарным моментом импульса


i i
i i
m Подставим в данное выражение
i=ri
- линейную скорость некоторого элемента, получим уравнение для момента импульса элемента массы в виде




i
2
i i
m r
N
, так как
0
i и


1
r sin Поскольку моменты импульса всех элементов направлены по оси вращения, и
O f

A i
r

i


mi Рис
 для всех элементов одно и тоже, то полный момент импульса тела




n
1
i i
N
N
;


















n
1
i
2
i i
n
1
i
2
i i
r m
r В этом выражении
I
r m
n
1
i
2
i i




- момент инерции тела относительно выбранной оси, поэтому
N=I, те. момент импульса однородного симметричного тела относительно неподвижной оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой осина угловую скорость вращения тела. Если тело неоднородное и несимметричное относительно оси вращения, то

51 z
z
I
N


, где Nz - проекция момента импульса на ось z, z - проекция угловой скорости вращения на эту ось. Так как все сто производная от момента импульса


dt d
I
dt d
r m
dt dN
n
1
i
2
i i







, те. dt d
I
dt dN


. (4.9) Из уравнений (4.8) и (4.9) вытекает, что
M
dt или
)
I
(
d
Mdt


, (4.10) те. импульс вращающего момента равен изменению момента импульса тела, к которому приложен этот вращающий момент. Учитывая, что



dt d
- угловое ускорение, получим основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси в виде

 I
M
, (4.11) те. момент сил, действующих на вращающееся тело прямо пропорционально моменту инерции тела относительно неподвижной оси вращения и угловому ускорению. Для несимметричного неоднородного тела z
z
I
M


, где Mz - проекция момента сил на ось z, z - проекция углового ускорения на ось z. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси можно записать, исходя из (4.8): dt
N
d
M



, (4.12) где
M

- момент силы,
N

- момент импульса. Если система замкнута, то момент внешних сил
0
M 

, так как

52



n
1
i
0
f

. Из уравнения (4.12) следует, что
0
dt
N
d


, ас. Это уравнение выражает закон сохранения момента импульса. Момент импульса твердого тела относительно какой-либо неподвижной оси остается постоянным, если момент внешних сил относительно этой оси равен нулю.
4.6. Кинетическая энергия твердого тела. Работа внешних сил при вращении твердого тела Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то линейная скорость элементарной массы mi
i=ri, где ri - радиус-вектор,  - угловая скорость. Следовательно, кинетическая энергия элементарной массы
2 2
i i
2
i к r
m
2 Кинетическая энергия тела складывается из кинетической энергии его частей, те.









n
1
i
2
i i
2
n
1
i к
к r
m
2 1
Е
E
i
Поскольку
I
r m
n
1
i
2
i i




- момент инерции тела, то выражение для кинетической энергии тела примет следующий вид к. (4.13) Таким образом, кинетическая энергия вращения твердого тела вокруг неподвижной оси выражается формулой, совершенно аналогичной формуле, дающей кинетическую энергию материальной точки. Только роль массы играет момент инерции I, а роль линейной скорости – угловая скорость . Найдем работу, которую совершают внешние силы при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Обозначим fi внешнюю силу, действующую на элемент массой mi, dsi=rid - путь элемента массы за время t, где d - угол, на который повернется тело за время dt (рис. Работа силы fi: dAi=fsidsi, (4.14)

53 где fsi - проекция силы fi на направление перемещения. Учитывая выражение для пути элемента массы dsi перепишем уравнение для работы силы dAi=fsiridi.


i
M

d i
f

ri
mi
Рис. 4.10 Поскольку fsiri=Mi – проекция момента силы fi на направление оси вращения, то dAi=Mid. Работа всех сил, приложенных к телу, равна
;
dA
dA
n
1
i i



;
d
M
dA
n
1
i i








n
1
i i
M
d Так как



n
1
i i
M
M
- результирующий момент всех внешних сил, приложенных к телу, то dA=Md. (4.15) Работа внешних сил при повороте на произвольный конечный угол





2 Покажем, что в соответствии с законом сохранения энергии, работа равна приращению кинетической энергии. Согласно (4.15) работа внешних сил при повороте тела на угол d dA=Md, а момент силы dt Угол поворота тела за время dt при с d=dt . (4.16) Подставляя (4.16) ив, получим

54







Id dt dt Величина
)
E
(
d
2
I
d
Id к 




, поэтому к. Кинетическая энергия при плоском движении твердого тела Рассмотрим частный случай движения твердого тела, когда его ось вращения проходит через центр масс и перемещается, оставаясь параллельной самой себе (рис. Пусть 
i
- линейная скорость элемента объема тела с массой m и 
c
- линейная скорость центра масс тела относительно той же координатной системы. Введем, кроме того, скорость элемента объема тела относительно центра масс, тогда
O O

c

c
O O Рис c
i i








(4.17) Кинетическая энергия элемента объема к равна


2
m
2
m
E
2
iz
2
iy
2
ix i
2
i кили (по 4.17)


iz cz iy cy ix cx i
2
i i
2
c к Кинетическую энергию всего тела к получим, взяв сумму кинетических энергий всех его элементов
)
(
m
2
m
2
m
E
iz cz iy с n
1
i ix cx i
n
1
i
2
i i
n
1
i
2
c к (4.18)

55 Первый из членов правой части этого равенства представляет собой кинетическую энергию массы m, равной массе всего тела, движущейся вместе с центром масс Для второго члена учтем, что
,
r
2
i i



I
r m
n
1
i
2
i i




и перепишем его в виде
2
I
r m
2
r
2
m
2
n
1
i
2
i i
2 2
2
i n
1
i Получим, что он равен кинетической энергии твердого тела относительно оси вращения, проходящей через центр его масс. Третий член равен нулю. Для доказательства этого положения рассмотрим произведение ix cx i
m



и, учитывая, что cx ix ix





, перепишем его в следующем виде
2
cx i
cx ix i
ix cx i
m m
m










. (4.19) Обозначим координаты центра масс x c
,y c
,z c
и координаты го элемента тела через x i
,y i
,z i
. Тогда dt dx
,
dt dx i
ix Воспользовавшись этими равенствами, перепишем выражение (4.19):
2
c i
i c
i ix cx i
dt dx m
dt dx dt dx Суммируя по всем элементам тела, получим
2
c n
1
i i
i c
n
1
i ix cx i
dt dx m
dt dx m
dt dx m
















. (4.20) Согласно материала, изложенного в по движении центра тяжести твердого тела dt dx m
dt dx m
c n
1
i i
i




. (4.21) Подставляя (4.21) в (4.20), находим
0
m n
1
i ix cx Такое же равенство найдем и для других составляющих скоростей по осям, откуда следует, что

56 0
)
(
m iz cz iy cy ix cx n
1
i После этого выражение (4.18) примет вид
2
I
2
m
E
2 2
c к, те. полная кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетической энергии массы, равной массе всего тела, движущейся вместе с центром масс и кинетической энергии его вращения относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

57
5. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
5.1. Преобразования Галилея. Механический принцип относительности Рассмотрим две системы отсчета, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоростью . Одну из этих систем обозначим буквой К и будем считать условно неподвижной. Тогда вторая система К будет двигаться прямолинейно и равномерно со скоростью . Выберем координатные оси x,y,z системы К так, чтобы оси x и x совпадали, а оси y и y, а также z и z были параллельны друг другу (рис. Найдем связь между координатами x,y,z некоторой точки М в системе К и координатами той же точки в системе К. За начало отсчета времени выберем момент, когда начало координат обеих систем совпадали. y K y K
M
O O x x x
t x z z Рис
Из рис. 5.1 видно, что x=x+t; y=y; z=z.
Добавим к этим соотношениям принятое в классической механике предположение, что время в обеих системах течет одинаковым образом, те. t=t, и получим совокупность четырех уравнений, называемых преобразованиями Галилея t
t
;
z z
;
y y
;
t x
x











(5.1) Продифференцировав соотношения (5.1) повремени, найдем связь между скоростями точки М по отношению к системам отсчета К и К





t d
x d
dt dx
; t
d y
d dt dy



; t
d z
d dt dz



. (5.2) Обозначим проекции скоростей точки М в системе К на оси x,y,z: x
u dt dx

, y
u dt dy

, z
u dt dz

, в системе К на оси x,y,z:

58 x
u t
d x
d




, y
u t
d y
d




, z
u t
d и перепишем соотношения (5.2) в виде




x x
u u
; y
y u
u


; z
z u
u


. (5.3) Три скалярных уравнения (5.3) эквивалентны векторному соотношению







u u
. (5.4) Соотношения (5.3) и (5.4) выражают классический закон сложения скоростей. Докажем, что любая система отсчета, движущаяся относительно некоторой инерциальной системы с постоянной скоростью, будет также инерциальной. Система отсчета, относительно которой тело при компенсации внешних воздействий движется равномерно и прямолинейно (=сonst)называется инерциальной системой отсчета. Продифференцируем повремени соотношение (5.4), учитывая, что с u
d dt u
d




, получим
a
a




. (5.5) Отсюда следует, что ускорение какого-либо тела во всех системах отсчета, движущихся относительно друг друга с постоянной скоростью, оказывается одними тем же. Если система отсчета К инерциальная, те. ускорение тела
a
=0, то и остальные системы К будут инерциальными, те.
a
=0. В классической механике считается, что масса материальной точки (тела) не зависит от скорости её движения, те. одинакова во всех инерциальных системах отсчета m=m. Из второго закона Ньютона имеем m
F



a
, Так как
a
a




, то m
F
m
F




и
F
F




. (5.6)

59 Силы, действующие на тело в системе К и К также будут одинаковы, те. уравнение динамики не изменяется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что с механической точки зрения все инерциальные системы отсчета совершенно эквивалентны. Все это позволяет сформулировать принцип относительности Галилея или механический принцип относительности в следующем виде все механические явления в различных инерциальных системах отсчета протекают одинаковым образом при одинаковых начальных условиях. Неизменность вида уравнения при замене в нём координат и времени одной системы отсчета координатами и временем другой системы называется инвариантностью уравнения. Так как системы К и К выбраны произвольно, то можно утверждать, что согласно (5.5), ускорение одинаково во всех инерциальных системах отсчета, те. является инвариантным относительно преобразований Галилея. Силы, с которыми взаимодействуют материальные точки (или тела) согласно
(5.6), также являются инвариантными относительно преобразований Галилея. Это следует из того, что, во-первых, силы взаимодействия зависят от расстояния между точками, которые в классической механике принимаются одинаковыми во всех системах отсчета, во-вторых, они зависят от относительных скоростей точек, которые одинаковы во всех системах отсчета. Второй и третий законы Ньютона (при с) запишутся следующим образом
a


m
F 
,
21 12
F
F




(для системы К
a




m
F
,
21 12
F
F






(для системы К. Учитывая инвариантность ускорений и сил, можно утверждать, что уравнения, выражающие второй и третий законы Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея. Принцип относительности Галилея можно записать виной формулировке никакими механическими опытами, проводимыми в инерциальной системе отсчета, нельзя обнаружить движение этой системы относительно других инерциальных систем. Механический принцип относительности свидетельствует о том, что в рамках классической механики все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Среди них нет какой-то главной, рази навсегда выделенной абсолютной системы отсчета, движение всех тел относительно которой можно было бы назвать абсолютным движением.

60
5.2. Постулаты специальной теории относительности. Преобразования Лоренца Для описания движения тел со скоростями () сравнимыми со скоростью света (с) используется релятивистская механика, учитывающая требования специальной теории относительности. Основоположником теории относительности Эйнштейном (1905) был предложен принципиально новый подход к электродинамике движущихся тел. Проанализировав огромный экспериментальный материал, Эйнштейн выбрал два наиболее бесспорных положения и построил на их основе свою теорию. Эти положения называются постулатами специальной теории относительности. Они формулируются следующим образом.
1. В любых инерциальных системах отсчета все физические явления механические, электромагнитные и другие) при одних и тех же условиях протекают одинаково иначе говоря, с помощью любых опытов, проведенных в замкнутой системе тел, нельзя обнаружить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.
2. Скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источников света она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета, те. представляет собой универсальную постоянную. Первый постулат Эйнштейна выражает принцип относительности, являющийся обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Его справедливость, как и второго постулата, подтверждают разнообразные опыты. Принцип относительности можно сформулировать, исходя из понятия инвариантности (см. п) следующим образом уравнения, выражающие законы природы, инвариантны по отношению к преобразованиям координат и времени от одной инерциальной системы отсчета к другой. Эйнштейн показал, что в соответствии с двумя постулатами теории относительности между координатами и временем в двух инерциальных системах отсчета К и К, изображенных на рис выражаются не преобразованием Галилея (5.1), а более сложным образом. Рассмотрим распространение светового сигнала в системе К. Скорость светового сигнала в этой системе c
u x


. Тогда согласно выражения (5.3) см. п) скорость светового сигнала в системе К окажется равной u=c+, те. превзойдет с, что согласно второго постулата Эйнштейна невозможно. Отсюда вытекает, что преобразования Галилея должны быть заменены другими формулами.

61 Предположим, что правильное преобразование координат отличает от
Галилеевского множителями :
).
t x
(
x
);
t x
(
x











(5.7) Для отыскания множителя  рассмотрим распространение фронта светового сигнала. Пусть световой сигнал начал свое движение вдоль оси x и x изначала координат систем К и Кв тот момент времени, когда они совпадали. Тогда соответственно второму постулату Эйнштейна x=ct, а x=ct (5.8) Подставив (5.8) в (5.7) получим два уравнения ct=(ct-t)=(c-)t; (5.9) ct=(ct+t)=(c+)t. (5.10) Выразим из уравнения (5.10) время t: и подставим в уравнение (5.9): t
c
)
c
(
t c
2 2
2






, откуда
2 2
2 2
c c




, а
2 2
c
1 1




. (5.11) С учетом (5.11) выражения (5.7) перепишутся в следующем виде c
1
t x
x
;
c
1
t x
x
2 2
2 2













(5.12)

62 В направлении осей y и y смещение не происходит. Соотношения между y и y от времени не зависят, т.к. оси перпендикулярны к вектору относительной скорости. Следовательно, в направлениях, перпендикулярных к вектору скорости координаты преобразуются тождественно, те. z
z
;
z z
;
y y
;
y y








. (5.13) Для нахождения замены преобразования времени решим совместно два уравнения (5.7): x=(x-t+t; t
)
t x
(
x








; t
t x
x







;























2 1
1
x t
t
, откуда, учитывая, что
2 2
2
c
1 1












, получим











2
c x
t или
2 2
2
c
1
c x
t t






. (5.14) Объединяя (5.12), (5.13), (5.14), найдем, что преобразования координат и времени при переходе от систем КК и КК будут иметь следующий вид
КК КК

63 2
2 2
2 2
c
1
c x
t t
z z
y y
c
1
t x
x
















(5.15)
2 2
2 2
2
c
1
c x
t t
z z
y y
c
1
t x
x


















(5.16) Эти преобразования носят название преобразований Лоренца. Они устраняют противоречие преобразований Галилея постоянству скорости света. Однако это не означает, что преобразования Галилея всегда неверны. Преобразования Лоренца верны при любых скоростях, как при малых, таки при сколь угодно больших, возможных в природе скоростях. Но при малых скоростях, где с, членами, содержащими
2 2
c

и
2
c

, можно пренебречь и преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея. Следовательно, преобразования Галилея являются частным случаем общих преобразований Лоренца. Особенно важным являются следующие отличия преобразований
Лоренца от преобразований Галилея. В рамках преобразований Галилея расстояния между двумя событиями есть абсолютная величина. Это расстояние не меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. Тоже относится и к промежутку времени между этими событиями. Преобразования Лоренца показывают, что как расстояния, таки промежуток времени меняется при переходе от одной системы отсчета к другой. При этом оказывается, что пространственные и временные отношения не независимы. Из преобразований Лоренца вытекает ряд необычных сточки зрения классической механики следствий.

64