1. кинематика поступательного и вращательного движения
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
2.2. Силы в механике 2.2.1. Сила тяжести Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, которое называют ускорением свободного падения и обозначают буквой g. Отсюда вытекает, что в системе отсчета, связанного с Землей, на всякое тело действует сила Эта сила называется силой тяжести. Она приблизительно равна силе гравитационного притяжения тела к Земле 16 2 R mM G F , где m - масса тела, М – масса Земли, R - радиус Земли, G – гравитационная постоянная. Различие между силой тяжести и гравитационной силой обусловлено тем, что система отсчета, связанная с Землей не вполне инерциальна. Это различие мало ив первом приближении силу тяжести можно считать равной силе, с которой тело притягивается к Земле. Если подвесить тело (риса, или положить его на опору (рис.2.3,б), оно будет покоиться относительно Земли. В этом случае сила тяжести уравновешивается силой R, которую называют реакцией подвеса или опоры. R R P G P G а) б) Рис. 2.3 По третьему закону Ньютона тело действует на подвесили опору с силой G , которую называют весом тела. Итак, вес тела – это сила, с которой тело действует на подвесили опору вследствие гравитационного притяжения к Земле. Поскольку силы P ирис) уравновешивают друг друга, выполняется соотношение R P . Вес G есть сила, с которой тело действует на подвесили опору, R - есть сила, с которой подвесили опора) действует на тело. Согласно третьему закону Ньютона должно выполняться соотношение Сравнение обоих соотношений дает, что g m P G (2.6) 17 Таким образом, веси сила тяжести P равны друг другу. Однако приложены к разным телам – вес к подвесу (или опоре, сила тяжести – к самому телу. Равенство (2.6) имеет место только в том случае, когда подвесили опора, а следовательно, и тело покоится относительно Земли или движется без ускорения. 2.2.2. Упругие силы Под действием внешних сил возникают деформации те. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения воздействия внешних сил восстанавливается прежняя форма и размеры тела, то деформация называется упругой. В деформированном теле возникают упругие силы. Которые уравновешивают внешние силы, вызвавшие деформацию. Установленный экспериментально закон Гука, утверждает, что при упругой деформации удлинение пружины пропорционально внешней силе. Аналитически эту закономерность принято записывать следующим образом внеш (2.7) Величина k называется жесткостью пружины. Упругая сила отличается от внешней только знаком (рис) F упр.,x =F внеш.,x Произведя замену в формуле (2.7), получим, что x ., упр F k 1 x Опустим для краткости индекс упр и напишем это соотношение в виде kx F x 0 упр F вн F x Рис.2.4 Здесь F x – проекция упругой силы на ось x, k - жесткость пружины, x - удлинение пружины. Однородные стержни ведут себя при растяжении и одностороннем сжатии подобно пружине. Деформация приводит к возникновению в стержне упругих сил. Эти силы принято характеризовать напряжением, 18 которое определяется как модуль силы, приходящейся на единицу площади упр (2.8) Здесь s - площадь поперечного сечения стержня упругая сила распределена равномерно по сечению значок указывает на то, что сила перпендикулярна к площадке, на которую она действует. В случае растяжения считается положительным, в случае сжатия – отрицательным. Сила упр направлена перпендикулярно к сечению стержня поэтому напряжение называется нормальным. Опыт показывает, что приращение длины стержня пропорционально напряжению : k 1 (2.9) Знак совпадает со знаком . Коэффициент k зависит от свойств материала и от длины стержня 0 E k , (2.10) где E - величина, характеризующая упругие свойства материала стержня, её называют модулем Юнга. Он измеряется в Ньютонах на квадратный метр или Паскалях, те. Па м H E 2 Подстановка (2.10) в (2.9) приводит к формуле Обозначив относительное приращение длины стержня 0 / буквой , получим окончательную формулу Е, (2.11) согласно которой относительное удлинение прямо пропорционально напряжению и обратно пропорционально модулю Юнга. Формула (2.11) выражает закон Гука для стержня. Из (2.11) вытекает, что модуль Юнга равен такому нормальному напряжению, при котором относительное 19 удлинение было бы равно единице, если бы столь большие упругие деформации были бы возможны. Рассмотрим прямоугольный брусок, закрепленный неподвижно нижней гранью (рис. Под действием силы F, приложенной к верхней грани, брусок получает деформацию, называемую сдвигом. Величина , равная тангенсу угла сдвига называется относительным сдвигом. При упругих деформациях угол бывает очень мал, поэтому tg . Таким образом, относительный сдвиг определяется формулой Деформация сдвига приводит к возникновению в каждой точке бруска тангенциального упругого напряжения , которое определяется как модуль силы, приходящейся на единицу площади s F 11 , упр Здесь s - площадь воображаемой поверхности, параллельной верхней грани бруска (например АВ на рис. Предполагается, что действие внешней силы F распределено равномерно по верхней грани. Значок || указывает на то, что сила упр, паралле- А В Рис льна к площадке, на которую она действует. Опыт дает, что относительный сдвиг пропорционален напряжению Величина G зависит только от свойств материала и называется модулем сдвига. Он равен такому тангенциальному напряжению, при котором =tg был бы равен единице (при =45 0 ), если бы столь огромные упругие деформации были бы возможны. Измеряется G, как и модуль сдвига Ев паскалях. 20 2.2.3. Сила трения Трение подразделяется на внешнее и внутреннее. Внешнее трение возникает при относительном перемещении двух соприкасающихся твердых тел (трение скольжения) или при попытках вызвать такое перемещение (трение покоя. Внутреннее трение наблюдается при относительном перемещении частей одного итого же сплошного тела например жидкости или газа. Различают сухое и жидкое (или вязкое) трение. Сухое трение возникает между поверхностями твердых тел в отсутствие смазки те. жидкой или газообразной прослойки) между ними. Жидким называется трение между твердым телом и жидкой или газообразной средой, а также между слоями такой среды. Сухое трение подразделяется на трение скольжения и трение качения. Подействуем на тело (например брусок, лежащее на неподвижной опоре, внешней силой F (рис, постепенно увеличивая ее модуль. Вначале брусок будет оставаться неподвижным. Это указывает на то, что внешняя сила уравновешивается некоторой силой тр F , направленной по касательной к трущимся поверхностям противоположно силе Сила три есть сила трения покоя. Она обусловлена действием опоры, на которой лежит тело и принимает значение, равное модулю силы F . Когда модуль внешней силы превышает значение F 0 , тело начнет скользить по опоре – трение покоя сменяется трением скольжения. n F тр F F Рис.2.6 Величина представляет собой максимальное значение силы трения покоя. Сама эта сила, в зависимости от модуля внешней силы, принимает одно из значений в интервале от нуля до F 0 . Модуль силы скольжения приблизительно равен F 0 и обычно зависит от скорости скольжения. Опытным путем установлено, что максимальная сила трения покоя не зависит от площади соприкосновения тел и 21 приблизительно пропорциональна модулю силы нормального давления n F , прижимающей трущиеся поверхности друг к другу n 0 Безразмерный множитель 0 называется коэффициентом трения покоя. Он зависит от природы и состояния трущихся поверхностей. Аналогичная зависимость имеет место и для силы трения скольжения n тр F F (2.12) Здесь - коэффициент трения скольжения, который является функцией скорости. Сила трения качения возникает между шарообразным или цилиндрическим телом и поверхностью, по которой оно катится. Сила трения качения также подчиняется закону (2.12), но коэффициент трения в этом случае бывает значительно меньшим, чем при скольжении. На тело, движущееся в вязкой (жидкой или газообразной) среде, действует сила, тормозящая его движение. Эта сила слагается из вязкого трения и силы сопротивления среды. Слои среды, непосредственно соприкасающиеся с телом, движутся вместе с телом как единое целое. Сила вязкого трения возникает между этими и внешними относительно них слоями среды. Давление на различные участки движущегося тела оказываются неодинаковыми. Результирующая сила давления имеет составляющую, направленную противоположно скоростям. Эта составляющая и есть сила сопротивления среды. При больших скоростях сила сопротивления среды может во много раз превосходить силу вязкого трения. Суммарную силу, обусловленную вязким трением и сопротивлением среды, принято называть силой трения. Для определенной таким образом силы трения характерно то, что она обращается в нуль вместе со скоростью. При небольших скоростях сила растет пропорционально скорости , k F 1 тр (2.13) 22 Знак минус указывает на то, что сила направлена противоположно скорости. Коэффициент k 1 зависит от формы и размеров тела, характера его поверхности, а также от свойств среды, называемого вязкостью. При увеличении скорости тела линейная зависимость (2.13) постепенно переходит в квадратичную e k F 2 2 тр , (2.14) где е- орт скорости. Границы области, в которой происходит переход от закона (2.13) к закону (2.14) зависят от тех же факторов, от которых зависит коэффициент k 1 2.3. Внешние и внутренние силы. Закон сохранения импульса Тела, входящие в систему, могут взаимодействовать как между собой, таки стелами, не принадлежащими данной системе. В соответствии с этим силы, действующие на тела замкнутой системы можно разделить на внутренние и внешние. Силы, с которыми на данное тело воздействуют остальные тела замкнутой системы, называются внутренними ( ik F ). Внешние силы – это силы, обусловленные воздействием тел, не принадлежащих системе ( i f ). Второй закон Ньютона для такой системы запишется в виде n 1 i i n i ik n 1 i i f F p dt d , (2.15) где n 1 i i i n 1 i i m p - суммарный импульс тел, входящих в замкнутую систему, k i ik F - сумма внутренних сил системы тел, n 1 i i f - сумма внешних сил, действующих на тела системы. 23 2 f 2 12 F 32 F 1 21 F 1 f 31 F 23 F 13 F 3 Рис Пусть мы имеем замкнутую систему, состоящую из трех тел (рис. Внешние силы обозначим 3 2 1 f , f , f , внутренние По третьему закону Ньютона 21 12 F F , 31 13 F F , 23 Запишем для каждого из трех тел уравнение второго закона Ньютона в следующем виде (2.15): 1 13 12 1 f F F dt p d ; 2 23 21 2 f F F dt p d ; 31 32 31 3 f F F dt Сложим все три уравнения вместе. Сумма всех внутренних сил будет равна нулю, согласно третьему закону Ньютона, вследствие чего 3 2 1 3 2 1 f f f ) p или 3 1 i i 3 1 i i f В случае, если система замкнута, то внешние силы отсутствуют 3 1 i i 0 f , тогда 3 1 i i 0 p dt d , те. const p 3 1 i i 24 Этот результат легко обобщить на систему, состоящую из произвольного числа тел. Уравнение второго закона Ньютона для тел можно представить следующим образом n 1 i i k i ik n 1 i i f F p dt Складывая эти уравнения с учетом того, что ki ik F F , получим n 1 i i n 1 i i f p dt Те. производная повремени от полного импульса системы равна векторной сумме всех внешних сил, приложенных к телам системы. Для замкнутой системы правая часть уравнения равна нулю, вследствие чего n 1 i i n 1 i i i p m не зависит от времени. В этом и состоит закон сохранения импульса, который формулируется следующим образом полный импульс замкнутой системы не изменяется. В основе сохранения импульса лежит однородность пространства, те. одинаковость свойств пространства во всех точках. Одинаковость следует понимать в том смысле, что параллельный перенос замкнутой системы из одного места пространства в другое без изменения взаимного расположения и скоростей частиц не изменяет механические свойства системы (предполагается, что на новом месте замкнутость системы не нарушается. 25 3. РАБОТА И ЭНЕРГИЯ 3.1. Работа силы и ее выражение через криволинейный интеграл Если точка приложения силы (с) совершает элементарное перемещение (рис, то сила F совершает элементарную работу ) s d F cos( Fds dA , cos Fds dA , (3.1) где - угол между векторами F и s d F n F F s s Рис Таким образом, в случае произвольно направленной силы, работа численно равна произведению силы F на перемещение ее точки приложения и косинуса угла между направлением силы и перемещения. Работа характеризуется лишь численным значением и поэтому представляет собой величину скалярную. Произведение модулей векторов F и s d на косинус угла между ними называется скалярным произведением векторов и обозначается как ) s Из равенства (3.1) следует, что работа представляет собой скалярное произведение вектора силы F и вектора перемещения s d ) s d F ( dA (3.2) В зависимости от угла работа может быть положительной ( 2 ), отрицательной ( 2 ) и равной нулю ( 2 ). Пусть на тело одновременно действует несколько сил, результирующая которых равна n 1 i Работа, совершаемая результирующей силой на пути ds, запишется в виде n 1 i i n 1 i i dA ) s d F ( dA , 26 те. работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершенных каждой из сил в отдельности. В выражении (3.2) заменим элементарное перемещение dt s d , получим выражение для элементарной работы в виде или F dA , (3.3) где F - проекция вектора силы на направление скорости. Интегрируя (3.3) найдем выражение для работы, совершаемой за промежуток времени от t 1 до t 2 2 1 t Аналогично, заменив скалярное произведение ds F ) s d F ( s в выражении (3.2) и взяв интеграл, получим, что 2 1 t t s ds F A (3.4) C x 1 D x 2 F O B E Рис Рассчитаем работу, которую совершает упругая сила kx F , при перемещении тела из точки Св точку В по различным путям рис. Работа на участке пути СВ согласно (3.1) и (3.4) равна CDB CDB x d F cos kxdx A ; CD DB CDB x d F cos kxdx x d F cos На участке С косинус угла между направлением силы и перемещения равен 1, так как F || x d , на участке В сила перпендикулярна перемещению и косинус угла равен нулю. Поэтому работа упругой силы на участке СВ определяется интегралом 2 1 x x 2 2 2 1 CDB ) x x ( 2 k kxdx A (3.5) Работа упругой силы на участке СЕВ равна 27 CEB CEB x d F cos kxdx A ; EB CE CEB x d F cos kxdx x d F cos kxdx A ; ) x x ( 2 k kxdx kxdx A 2 2 2 1 x x EB CEB 2 1 , (3.6) так как косинус угла между направлением силы и перемещением равен 1 на участке ЕВ и нулю на участке СЕ. Сопоставляя выражения (3.5) (3.6) можно сделать вывод, что работа упругой силы не зависит от пути, по которому произошло перемещение, а определяется только положением начальной и конечной точек перемещения. Из определения работы (3.1) можно установить единицы её измерения. В системе СИ единицей работы является джоуль (Дж [А]=Дж=Нм. Джоуль – это работа силы в 1 Н на пути 1 м. Работа, совершаемая в единицу времени, называется мощностью dt dA N или t A N , где dA - работа, совершаемая за время dt. Единица мощности в системе СИ – ватт (Вт Вт с Дж N Приняв во внимание, что dt ds есть скорость , получим ) F ( ) dt Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки приложения силы. 3.2. Кинетическая энергия механической системы и её связь с работой Рассмотрим простейшую систему, состоящую из одной частицы материальной точки) массы m, движущейся под действием сил, результирующая которых равна Запишем уравнение движения частицы 28 F dt Умножим скалярно обе части этого равенства на элементарное перемещение частицы dt s d : ) s d F ( dt dt d m , ) s d F ( d m . (3.7) Скалярное произведение ) d ( m распишем через модули векторов и косинус угла между ними d cos Поскольку косинус угла между векторами и d равен единице, то равенство (3.7) перепишется в виде ) s d F ( d m . (3.8) Произведение md равно производной от величины 2 m 2 , те. 2 m d d Заменив полученным выражением левую часть формулы (3.8), придем к соотношению ) s d F ( 2 m d 2 (3.9) Если результирующая сил, действующих на частицу, равна нулю, 0 2 m d 2 , то сама величина к (3.10) остается постоянной. Эта величина называется кинетической энергией частицы. Приняв во внимание, что произведение равно модулю импульса частицы р, выражению (3.10) можно придать вид m 2 р E 2 к 29 Если сила F, действующая на частицу неравна нулю, кинетическая энергия получит за время dt приращение ) s к, (3.11) где ds - перемещение частицы за время dt. Величина ) s называется работой, совершаемой силой F на пути s d (ds - модуль перемещения s d ). Из (3.11) следует, что работа характеризует изменение кинетической энергии, обусловленное действием силы на движущуюся частицу dA dE к Проинтегрируем (те. просуммируем) обе части равенства (3.9) вдоль траектории движения частицы от точки 1 до точки 2: 2 1 2 1 2 ) s d F ( 2 m d (3.12) Левая часть равенства представляет собой приращение кинетической энергии частицы 1 к к 1 2 2 E E 2 m 2 m (3.13) Правая часть есть работа А силы F на пути 1-2 2 1 12 ) s d F ( A . (3.14) Подставляя (3.13) ив соотношение (3.12), получим 1 к к 12 Е Е А Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии частицы. Энергия, также, как и работа, в системе СИ измеряется в джоулях (Дж Дж с кгм Е 2 к. Потенциальная энергия материальной точки во внешнем силовом поле и ее связь с силой, действующей на материальную точку Если частица в каждой точке пространства подвержена воздействию других тел, то говорят, что частица находится в поле сил. Так, например, 30 частица вблизи поверхности Земли находится в поле сил тяжести. В каждой точке пространства на нее действует сила, равная произведению массы на ускорение силы тяжести, те. mg. Пусть заряженная частица находится в электрическом поле точечного заряда q. Это поле характерно тем, что направление силы, действующей на частицу в любой точке пространства, проходит через неподвижный центр заряда величина силы зависит только от расстояния до этого центра F=F(r). Поле сил, обладающих таким свойством, называется центральным. Поле сил тяжести является частным случаем центрального поля сил (с центром, расположенным в бесконечности. Если в каждой точке поля сила, действующая на частицу, одинакова по величине и направлению (с, поле называется однородным. Силовое поле можно описать с помощью функции П) такой, что компоненты силы в декартовой системе координат равны z П F , y П F , x П F z y x . (3.15) Такое поле называется потенциальным. Функция П) носит название потенциальной функции или потенциала. Полене изменяющееся со временем, называется стационарным. В этом случае П=П(x,y,z). Поле, изменяющееся со временем, называется нестационарным. В этом случае П=П(x,y,z,t). Известно, что если обозначить - скалярную функцию координат x, y, z, то z y x e z e y e x grad , (3.16) где z y x e , e , e - орты координат. Вектор с компонентами называется градиентом функции и обозначается символом grad или символический вектор, (набла) - называется оператором Гамильтона. читается набла фи. Сравнивая (3.15) и (3.16), можно видеть, что в случае потенциального силового поля П П П П y x (3.17) Подставляя (3.17) в выражение для работы, получим П s d F dA , dz П П П 31 Если поле стационарно, то правая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал функции П. Следовательно, работа, совершенная над частицей в стационарном силовом поле П (3.18) Проинтегрируем соотношение (3.18) вдоль некоторой траектории от точки 1 до точки 2: 2 1 2 1 dП dA Левая часть этой формулы дает работу А, совершенную силами поляна пути 1-2. Сумма элементарных приращений П функции П равна полному приращению этой функции на пути 1-2: 2 1 1 2 П П dП Таким образом, работа на пути 1-2 равна полному приращению функции П на пути 1-2: А 12 =П 2 -П 1 . (3.19) Форма траектории, по которой осуществлялось интегрирование, была совершенно произвольна. Отсюда заключаем, что работа, совершаемая над частицей силами стационарного потенциального поляне зависит от пути, по которому движется частица, а определяется только начальными конечным положением частицы в пространстве. Силы, работа которых не зависит от пути, по которому частицы переходят из одного положения в другое, называется консервативными. Силы, действующие на частицу в стационарном потенциальном поле, являются консервативными. Работа консервативных сил на замкнутом пути равна нулю. Консервативными силами являются силы тяготения, силы упругости, силы электростатического происхождения, так каких работа не зависит от формы пути. В формуле (3.19), определяющей работу, совершенную силами поляна пути (1-2) Пи П – значения потенциальной функции П) в начальной и конечной точках. Эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы 1 к к П П Е Е 1 2 . (3.20) Обозначим – П(x,y,z)=E п . Соотношение (3.20) примет вид 2 1 1 п п к к 1 1 2 п к п к 32 Полученный результат означает, что величина (E к +E п ) для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной (является интегралом движения. Слагаемое к есть кинетическая энергия частицы. Все величины в (3.19) имеют одинаковую размерность – размерность энергии. Функцию п) называют потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил. Величину Е, равную сумме кинетической и потенциальной энергии частицы, называют полной механической энергией частицы. В равенстве (3.19) П) заменим на п, получим 2 п п 12 E E A Работа, совершаемая над частицей консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии частицы. Иначе, работа, совершается за счет запаса потенциальной энергии. Заменив в соотношении (3.18) функцию П) потенциальной энергией, найдем связь между потенциальной энергией и силой п п п п z E e y E e Таким образом, сила, действующая на частицу в стационарном потенциальном силовом поле, равна градиенту потенциальной энергии в данной точке, взятому с обратным знаком. Компоненты силы определяются следующими выражениями п п п Конкретный вид функции п) зависит от характера силового поля. Чтобы найти потенциальную энергию частицы в поле силы тяжести рис, вспомним, что работа, совершаемая над частицей силами этого поля, равна 2 1 cos mgds A ; 2 С другой стороны, 2 п п 33 h 2 h 2 dh s d h 1 1 mg s Рис Сравнивая эти соотношения, можно видеть, что потенциальная энергия частицы в поле силы тяжести определяется выражением п, где h - отсчитывается от произвольного уровня. |