Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова. Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Коко. Курс лекций по начертательной геометрии учебное пособие
 Скачать 7.31 Mb.
|
|
k (рис. 32). Очерк (k 1 ) — проекция контурной линии на плоскость проекций. Контурная линия делит поверхность на две части — видимую и невидимую. Рис. 32 30 При моделировании поверхности по методу Монжа различают фронтальный (k 1 ) и горизонтальный очерк поверхности (h 2 и g 2 ). Все поверхности можно разделить на два класса: линейчатые поверхности и нелинейчатые поверхности [7]. В каждом классе поверхностей можно выделить подклассы: поверхности вращения; поверхности параллельного переноса; винтовые поверхности и др. 4.1. Моделирование линейчатых поверхностей Линейчатая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая, в общем случае, пересекает три направляющие, в частном случае, — две или одну направляющую. Линейчатые поверхности с одной направляющей Линейчатые поверхности с одной направляющей образуются движением прямой линии, которая пересекает направляющую (кривую или ломаную линию) и вершину (собственную или несобственную точку). В таблице 1 представлены различные формы поверхности с одной направляющей в зависимости от вида направляющей и вершины. Таблица 1 Поверхность Направляющая Вершина коническая кривая собственная точка цилиндрическая кривая несобственная точка пирамидальная ломаная собственная точка призматическая ломаная несобственная точка Моделирование конической поверхности Для построения модели конической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей (кривая линия) и вершины (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. 31 Задача 4 На эпюре Монжа построить произвольную точку M, принадлежащую конической поверхности (f, S) (рис. 33). Алгоритм решения 1. Отмечаем произвольно проекцию M 1 точки M (рис. 33, а). 2. Через проекцию S 1 вершины S и M 1 проводим проекцию l 1 образующей l, принадлежащей поверхности (рис. 33, б), 3. Отмечаем проекцию 1 1 точки пересечения образующей l с направляющей f. а) б) в) Рис. 33 4. Находим проекцию 1 2 из условия принадлежности точки 1 линии f. 5. Строим вторую проекцию l 2 , соединяя точки S 2 и 1 2 (рис. 33, в). 6. Через точку M 1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l 2 , отмечаем искомую проекцию M 2 точки M, принадлежащей образующей l, а, следовательно, и поверхности Моделирование цилиндрической поверхности Для построения модели цилиндрической поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей f (кривая линия) и вершины S (несобственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки 32 поверхности. Задача построения произвольной точки цилиндрической поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 34). Рис. 34 Моделирование пирамидальной поверхности Для построения модели пирамидальной поверхности необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей f(ломаная линия) и вершины S (собственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки пирамидальной поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 35). Рис. 35 Моделирование призматической поверхности. Для построения модели призматической поверхности 33 необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера — направляющей f (ломаная линия) и вершины S (несобственная точка), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача построения произвольной точки призматической поверхности будет решаться аналогично задаче 4 (рис. 36). Рис 36 Следует отметить, что, умея строить одну точку поверхности, можно построить проекции любой линии, принадлежащей заданной поверхности, рассматривая эту линию как совокупность отдельных точек. Пример Построение линии l, принадлежащей цилиндрической поверхности (f, S) (рис. 37, а). Порядок построения: 1. Построение очерковых линий и определение видимости направляющей f (рис. 37, б). Для определения видимости линии f используются конкурирующие точки M и N. По расположению фронтальных проекций этих точек можно сделать вывод, что точка N, принадлежащая направляющей f, находится под точкой M, принадлежащей образующей m. Следовательно, участок линии f, содержащий точку N при проецировании на плоскость 2, будет 34 невидимым. На проекции f 2 этот участок отмечен штриховой линией. а) б) в) Рис. 37 2. Определение проекций точек изменения видимости линии l при проецировании на плоскость 2 (рис. 37, в). Проекция l 1 проведена произвольно. Построение начинается с горизонтальной проекции — с точек касания (1 2 и 2 2 ) очерковых прямых к кривой f 2 . Стрелками показана последовательность действий определения искомых проекций A 2 и B 2 3. Построение точек С и D (рис. 38 , а). Построение начинается с фронтальных проекций C 1 и D 1 Проекции C 2 и D 2 определяются по алгоритму решения задачи 4. 4. Построение проекций точек A*, B*, T и T* (рис. 38, б). Построение начинается с фронтальной проекции: точка T 1 (T 1 *) отмечается произвольно на l 1 , проекция T 2 (T 2 *) определяется по алгоритму решения задачи 4. Аналогично строятся остальные точки заданной линии. 5. Определение видимости линии l при проецировании на горизонтальную плоскость проекций. Видимость линии l определяется по конкурирующим точкам C и F цилиндрической поверхности. По расположению фронтальных 35 проекций этих точек можно сделать вывод, что точка F выше точки C. Следовательно, часть линии l, содержащая точку C, будет невидимой от точки A до точки B. а) б) Рис. 38 Линейчатые поверхности с двумя направляющими и плоскостью параллелизма. Такие поверхности образуются движением прямой, которая движется параллельно некоторой плоскости и пересекает при этом две направляющие m и n. В таблице 2 представлены различные формы поверхности с двумя направляющими в зависимости от вида направляющих. Таблица 2 Поверхность Направляющая (m) Направляющая (n) цилиндроид кривая кривая коноид кривая прямая косая плоскость прямая прямая Наибольшее применение из приведенных в Таблице 2 36 поверхностей в инженерной практике нашла косая плоскость. Косую плоскость также называют гиперболическим параболоидом, такт как ее каркас состоит не только из прямых линий, но также из семейств кривых второго порядка — гипербол и парабол. Моделирование косой плоскости Для построения модели косой плоскости необходимо задать на эпюре Монжа проекции направляющих m и n, а также проекции плоскости параллелизма , и решить задачу построения произвольной точки поверхности. Задача На эпюре Монжа построить недостающую проекцию M 1 точки M, принадлежащей косой плоскости (m, n, ) (рис. 39). Проекция M 2 выбрана произвольно. Плоскостью параллелизма в данной задаче является горизонтально-проецирующая плоскость а) б) в) Рис. 39 Алгоритм решения 1. Через M 2 параллельно проекции 2 плоскости параллелизма проводим горизонтальную проекцию l 2 образующей l, принадлежащей поверхности (рис. 39, а), 2. Строим фронтальную проекцию l 1 , используя для построения проекции точек пересечения A и B образующей l с направляющими m и n. 37 3. Через точку M 2 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l 1 , отмечаем искомую проекцию M 1 точки M, принадлежащей образующей l, а, следовательно, и поверхности На рисунках 39, б, в показано построение недостающей проекции M 2 точки M, принадлежащей косой плоскости. Проекция M 1 выбирается произвольно (рис. 39, б). Далее строятся проекции линий каркаса поверхности аналогично построению проекций прямой l (рис. 39, а). Через M 1 проводится произвольно проекция k 1 кривой k, принадлежащей поверхности При построении k 2 используются точки пересечения линии k с линиями каркаса. Искомая проекция M 2 определяется на пересечении линии проекционной связи с горизонтальной проекцией линии k. Линейчатые проецирующие поверхности Цилиндрическая и призматическая поверхности могут занимать проецирующее положение в том случае, если направление на вершину (несобственную точку) будет совпадать с направлением проецирования на одну из плоскостей проекций. Другими словами, образующие проецирующей поверхности будут перпендикулярны одной из плоскостей проекций. На рисунке 40 приведен пример фронтально-проецирующей цилиндрической поверхности. Рис. 40 Рис. 41 38 Фронтальная проекция любой точки, принадлежащей поверхности (f, S ) будет находиться на вырожденной проекции 1 , которая совпадает с проекцией f 1 направляющей линии f. На рис. 40 показано положение проекций точек M, N и линии m, принадлежащих цилиндрической поверхности. На рисунке 41 приведен пример горизонтально-проецирующей призматической поверхности. Горизонтальная проекция любой точки, принадлежащей поверхности ( f, S ) будет находиться на вырожденной проекции 2 , которая совпадает с проекцией f 2 направляющей линии f. На рис. 41 показано положение проекций точек M, N и линии m, принадлежащих призматической поверхности. 4.2. Моделирование поверхностей вращения Поверхность вращения образуется вращением какой-либо линии (образующей) вокруг неподвижной оси (рис. 42). Как правило, ось вращения располагается перпендикулярно одной из плоскостей проекций. Если образующая поверхности вращения — прямая линия, то образуется линейчатая поверхность. Если образующая — кривая, поверхность вращения будет относиться к классу нелинейчатых поверхностей. Репер поверхности вращения включает в себя ось вращения (i) и образующую линию (f). Каждая точка образующей линии вращается по окружности, которая называется параллелью. Плоскость этой параллели перпендикулярна оси вращения, а центр принадлежит оси вращения. Параллель наибольшего радиуса называется экватором, а параллель наименьшего радиуса — горлом. Меридиан — линия на поверхности, расположенная в одной плоскости с осью вращения. Главный меридиан — меридиан, 39 плоскость которого параллельна плоскости проекций. Если ось вращения перпендикулярна плоскости 2 , то главный меридиан параллелен 1 . Если же ось вращения перпендикулярна плоскости 1 , то главный меридиан параллелен 2 Один из очерков поверхности вращения определяется главным меридианом, а второй — экватором или экватором и горлом. а) б) Рис. 42 Рис. 43 Моделирование поверхности вращения общего вида Для построения модели поверхности вращения необходимо задать на эпюре Монжа проекции ее репера: оси вращения (i) и образующей линии (f) (рис. 43, а), а также решить задачу построения произвольной точки поверхности. Дополним эпюр фронтальным и горизонтальным очерками поверхности. На рис. 43, б основной линией изображены очерки поверхности, а также отмечены проекции точек A, B и C принадлежащих главному меридиану, горлу и экватору соответственно. Задача 5 На эпюре Монжапостроить произвольную точку M, 40 принадлежащую поверхности вращения (i, f). Алгоритм решения 1 1. Отмечаем произвольно проекцию M 1 точки M (рис. 44, а). 2. Через M 1 перпендикулярно i 1 проводим проекцию m 1 параллели m, принадлежащей поверхности 3. Находим проекцию 1 1 точки пересечения параллели m с образующей f. 4. Строим горизонтальную проекцию параллели m — окружность, проходящую через точку 1 2 ис центром в точке i 2 5. Через точку M 1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с окружностью m 2 , отмечаем две точки — проекцию M 2 точки M видимой части поверхности и M 2 * точки M*, принадлежащей невидимой части поверхности а) б) Рис. 44 Алгоритм решения 2 1. Отмечаем произвольно проекцию M 2 точки M (рис. 44, б). 2. Через M 2 строим окружность m 2 с центром в точке i 2 3. Находим проекцию 1 2 точки пересечения параллели m с образующей f. 4. Строим проекции m 1 и m 1 * — прямые, перпендикулярные i 1 , 41 проходящие через точки 1 1 и 1 1 * соответственно 5. Через точку M 2 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямыми m 1 и m 1 * , отмечаем точки M 1 и M 1 * — проекции точек M и M* видимой и невидимой части поверхности соответственно. Приведѐнные алгоритмы решения подобной задачи применимы для любой поверхности вращения. В зависимости от формы образующей линии f могут получаться различные виды поверхности вращения. Моделирование сферы Сфера образуется вращением окружности вокруг одного из ее диаметров (рис. 45 а). Один из реперов сферы — ось вращения (i) и образующая окружность (f) (рис. 45, б). Сфера также может быть задана экватором (h) и главным меридианом (f) (рис. 45, в). а) б) в) г) Рис. 45 На рис. 45, г показано построение точки M, принадлежащей сфере ( i, f ). Построение выполнено по первому алгоритму задачи 5. Моделирование торовой поверхности Торовая поверхность образуется вращением окружности вокруг оси, которая расположена в плоскости окружности, но не проходит через ее центр (рис. 46). 42 а) Открытый тор (кольцо) б) Закрытый тор Рис. 46 Репером торовой поверхности будут ось вращения (i) и образующая окружность (f). На рисунке 47 изображены три модели торовой поверхности в зависимости от взаимного положения оси вращения и образующей окружности, а также модели точек, принадлежащих контурным линиям торовой поверхности. Если ось вращения (i) не пересекает образующую окружность (f), то образуется открытый тор (кольцо) (рис. 47, а). Если же ось вращения (i) касается образующей окружности (f) или пересекает ее, то образуется закрытая торовая поверхность (рис. 47, б, в). а) б) в) Рис. 47 На рисунке 48, а показано построение произвольной точки |