Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова. Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Коко. Курс лекций по начертательной геометрии учебное пособие
 Скачать 7.31 Mb.
|
|
3 перпендикулярной горизонтали b плоскости , следовательно, на плоской модели ось x 23 будет перпендикулярна b 2 . При таком преобразовании чертежа очерк конической поверхности в поле 3 будет таким же, как и в поле 1 (рис. 89, а). По проекциям конической поверхности и плоскости в поле 3 видно, что сечение представляет собой параболу с вершиной в точке A. Далее, в системе плоскостей ( 2 - 3 ) строим горизонтальную проекцию l 2 параболы l — рис. 89, б. При построении фронтальной проекции l 1 (рис. 89, в) используем расстояния от оси x 23 до соответствующих проекций точек линии сечения в поле 3 Проекцию F 1 точки изменения видимости параболы при проецировании на плоскость 1 определим на фронтальном очерке k 1 конической поверхности. 83 а) б) с) Рис. 89 84 Задача 14 Преобразовать проецирующую плоскость (А, В, С) в плоскость уровня. Рис. 90 Исходя из определения плоскости уровня, дополнительная плоскость проекций 3 должна быть параллельна плоскости . Так как плоскость по условию задачи является фронтально- проецирующей (рис. 90), очевидно, что плоскость 3 будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций, а на плоской модели ось x 13 — параллельна 1 Алгоритм решения 1. Проведем ось x 13 параллельно проекции 1 на произвольном расстоянии от нее. 2. Определим проекции A 3 , B 3 и С 3 точек A, B и С в дополнительном поле проекций 3 в соответствии с рис. 83. В новой системе плоскостей ( 1 - 3 ) плоскость преобразовалась в плоскость уровня. По проекции треугольника в поле 3 можно определить все его метрические характеристики. Это преобразование используется в практике черчения для построения натуральной величины наклонного сечения детали. На 85 рисунке 91 приведен пример построения натуральной величины ортогонального сечения прямого кругового конуса плоскостью Рис. 91 Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня осуществляется в два этапа. На первом этапе плоскость общего положения преобразуется в проецирующую (задача 13). Затем, при введении еще одной дополнительной плоскости — 4 , проецирующая плоскость преобразуется в плоскость уровня (задача 14). Рис. 92 86 На рис. 92 приведен пример преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня. Используя это преобразование можно определить угол между пересекающимися прямыми m и n. Если плоскость общего положения будет задана некоторой фигурой (А, В, С, E, D) (рис. 93), то подобное преобразование позволит определить размеры и форму плоской фигуры. Рис. 93 Рассмотрим пример использования способа ДОП для построения горизонтальной проекции окружности t по ее вырожденной фронтальной проекции t 1 и проекции t 3 (рис. 94). Так как плоскость окружности по условию задачи является фронтально-проецирующей, очевидно, что на плоской модели ось x 13 будет параллельна t 1 В качестве оси отсчета x 13 возьмем прямую, проходящую через центр окружности t 3 , а ось отсчета x 12 в произвольном месте чертежа (рис. 95). Для построения горизонтальных проекций точек окружности измерим расстояния от оси x 13 до проекций точек в поле 3 и отложим эти расстояния на соответствующих линиях проекционной связи от оси x 12 87 Рис. 94 Рис. 95 9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ Аксонометрические проекции наряду с эпюром Монжа являются частным вариантом метода двух изображений, получившим широкое распространение в практике технического черчения. Аксонометрические проекции служат для получения наглядных изображений, дающих более полное представление о конструкции изображаемых объектов (рис. 96). Рис. 96 88 9.1. Аксонометрические проекции как частный случай метода двух изображений Аксонометрические проекции, как частный случай метода двух изображений, получаются при использовании следующего аппарата проецирования. Плоскости π 1 и π 2 образуют произвольный, в частности - прямой угол (рис. 97). При проецировании на плоскость π 1 используется параллельное проецирование, как косоугольное, так и ортогональное. При проецировании на плоскость π 2 используется только ортогональное проецирование. А 1 А A 2 A 21 8 S 1 8 S 2 B B 2 B 1 B 21 Рис. 97 Рассмотрим построение аксонометрической проекции некоторой произвольной точки пространства А. В результате проецирования точки А на плоскости π 1 и π 2 получим соответственно проекции А 1 и А 2 . Для перехода к одной картинной плоскости точку А 2 дополнительно проецируем на плоскость π 1 из центра S 1 . В результате проецирования точки А 2 на плоскость π 1 получим точку А 21 , т.е. проекцию точки А 2 на плоскость π 1 . Таким образом, плоской аксонометрической моделью точки А является 89 пара точек А 1 – А 21 . Точка А 1 называется главной (первичной) аксонометрической проекцией точки А, точка А 21 – вторичной проекцией. Обратим внимание на построение аксонометрической проекции точки В, принадлежащей плоскости проекций π 2 . Если точка В принадлежит плоскости π 2 , то проекция точки В 1 совпадает с точкой В и, как следствие, главная и вторичная проекции точки В совпадают (В 1 ≡ В 21 ). Для решения метрических задач в аксонометрии исходную точку пространства А свяжем с Декартовой системой координат Oxyz, расположенной так, что плоскость Oxy принадлежит плоскости π 2 (рис. 98). Затем проецируемисходную систему координат совместно с точкой А на аксонометрическую плоскость проекций π 1 . Обратим внимание, что начало координат (точка О) и координатные оси x и y принадлежат плоскости проекций π 2 , следовательно, их главные и вторичные проекций совпадают т.е. О 1 ≡ О 21 , x 1 ≡ x 21 , y 1 ≡ y 21 Главной аксонометрической проекцией оси z будет некоторая прямая линия z 1 , вторичная же проекция - z 21 совпадает с проекцией О 1 начала координат. Построение аксонометрической проекции точки А в аксонометрической проекции Декартовой системы координат O 1 x 1 y 1 z 1 включает в себя два этапа: - построение вторичной проекции А 21 точки А, используя одну из ортогональных проекций. - построение главной аксонометрической проекции А 1 (восстановление по вторичной проекции), используя третью координату точки А. Необходимо отметить, что вторичные проекции могут быть горизонтальными, фронтальными и профильными, и их использование зависит от удобства построения каждого 90 конкретного чертежа. Так, например, на рисунке 98 используется горизонтальная вторичная проекция. В исходной системе координат определим единичные отрезки по каждой оси – Е x , E y , E z . В аксонометрической системе координат проекциями единичных отрезков являются отрезки Е x1 , E y1 , E z1 А 1 А A 2 A 21 E x E z O;O 2 E x 1 E y 1 E z 1 O 1 E y X x;x 2 Y y;y 2 Z z X x 1 Y y 1 Z z 1 Z z 2 Z z 21 8 S 1 8 S 2 Рис. 98 Искажения по аксонометрическим осям определяются коэффициентами искажения, равными отношениям длин аксонометрических единичных отрезков к натуральным масштабным единицам по соответствующим осям: K x = Е x1 / Е x K y = E y1 / E y K z = E z1 / E z . 9.2. Теорема Польке При построении аксонометрических изображений необходимо знать, насколько произвольно могут быть выбраны аксонометрические оси и аксонометрические единичные отрезки. 91 Ответ на этот вопрос дает основная теорема аксонометрии, сформулированная немецким ученым Карлом Польке и соответственно именуемая теоремой Польке: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала. Таким образом, на основании этой теоремы можно утверждать, что аксонометрические оси и коэффициенты искажения по осям могут выбираться произвольно, т.е. аксонометрий можно построить бесконечно большое количество. Однако, доказано, что для любой произвольной аксонометрической проекции коэффициенты искажения связаны между собой соотношением, называемым основным уравнением аксонометрии K x 2 + K y 2 + K z 2 = 2 + ctg φ, где φ – угол характеризующий операцию параллельного проецирования. 9.3. Классификация аксонометрических проекций Классифицировать аксонометрические проекции возможно по двум признакам: по виду операции проецирования, используемой при построении аксонометрической проекции, и по показателям искажения. В зависимости от вида операции проецирования аксонометрии могут быть косоугольные (φ ≠ 90°) и прямоугольные (φ = 90°). В зависимости от соотношения показателей искажения аксонометрии могут быть: - триметрические (все показатели искажения различны); - диметрические (два показателя искажения равны, но не равны третьему; - изометрические (все показатели искажения равны). 92 9.4. Стандартные аксонометрические проекции В соответствии с теоремой Польке выбор аксонометрических осей и коэффициентов искажения может быть произвольным. Выполнять чертежи, пользуясь произвольным видом аксонометрии невозможно. Поэтому ГОСТ 2.317 – 69 устанавливает пять видов стандартных аксонометрических проекций (рис. 99). К x = K z = 1,0 K y = 0,5 а) Прямоугольная диметрия К x = K y = K z = 1,0 б)Прямоугольная изометрия К x = K y = K z = 1,0 в) Косоугольная фронтальная изометрия К x = K y = K z = 1,0 г) Косоугольная горизонтальная изометрия К x = K z = 1,0 K y = 0,5 д) Косоугольная фронтальная диметрия Рис.99 93 Из стандартных аксонометрий наиболее часто используются две прямоугольные – изометрическая и диметрическая и три вида косоугольных – фронтальная изометрическая, горизонтальная изометрическая, фронтальная диметрическая. При построении стандартных аксонометрических проекций используются приведенные коэффициенты искажения, равные, как правило, 1 или 0,5, т.е. большие, чем коэффициенты искажения, рассчитанные по основному уравнению аксонометрии. Задача Построить стандартные аксонометрические проекции (прямоугольную изометрию и косоугольную фронтальную диметрию) отрезка АВ, заданного на эпюре Монжа координатами точек А (40; 10; 40) и В (10; 50; 20), рис. 100. Рис.100 Алгоритм решения 1. Строим вторичные аксонометрические проекции точек А и В – точки А 21 и В 21 в плоскостях xOy по соответствующим координатам с учетом коэффициентов искажения по осям. 2. Имея вторичные проекции точек строим главные аксонометрические проекции А 1 и В 1 , откладывая значения координат точек А и В по оси z. В результате построений получим косоугольную фронтальную диметрию отрезка АВ, представленную 94 на рис. 101 а) и прямоугольную изометрию, представленную на рис. 101 б). а) Косоугольная фронтальная диметрия б) Прямоугольная изометрия Рис. 101 Сравнение изображений геометрических объектов на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже позволяет сделать следующие выводы: - изображения геометрических фигур на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже принципиально ничем не отличаются, так как в основе этих чертежей лежит единая схема метода двух изображений. Фигуры на обоих чертежах изображаются двумя проекциями; - эпюр Монжа проще и точнее аксонометрического чертежа, так как на эпюре Монжа все единичные отрезки изображаются без искажения, а в аксонометрии - с искажением; - аксонометрический чертеж нагляднее эпюра Монжа, так как проекции координатных плоскостей в аксонометрии являются невырожденными, а на двухкартинном эпюре Монжа изображение координатной плоскости zOy в обеих проекциях вырождается в прямую; - алгоритмы графического решения позиционных задач на эпюре Монжа и на аксонометрическом чертеже одинаковы. 95 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Волошинов В.А. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи на проекционных моделях трехмерного пространства: учеб. пособие / В.А. Волошинов. — СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2003. — 30 с. 2. Волошинов В.А. Основы проекционного моделирования: учеб. пособие / В.А. Волошинов, М.Д. Половинкин, Л.Н. Шерешкова. — Обнинск: Фабрика офсетной печати ВНИИГМИ- МЦД, 1989. — 86 с. 3. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: учебник / Г.С. Иванов — М.: ГОУ ВПО МГУЛ, 2008. — 338 с. 4. Иванова Н.С. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи на инцидентность геометрических элементов: учеб. пособие / Н.С. Иванова. — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2003. — 78 с. 5. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Позиционные задачи. Ч.1: учеб. пособие / Л.Б. Иванова [и др.] — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2013. — 86 с. 6. Начертательная геометрия. Инженерная графика. Проекционные модели трехмерного пространства. Моделирование геометрических объектов: учеб. пособие/ Ю.Я. Андрейченко [и др.] — СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2008. — 36 с. 7. Фролов С.А. Начертательная геометрия: учебник для втузов / С.А. Фролов. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1983. — 240 с. 96 ПРИЛОЖЕНИЯ 97 ПРИЛОЖЕНИЕ 1 ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ПО ТЕМЕ «МОДЕЛИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА» 1. Какая из заданных точек наиболее удалена от плоскости проекций π 2 (рис. 102)? Выберите ответ из предложенных вариантов: Рис. 102 Варианты ответа: a) точка А b) точка B c) точка С d) точка D 2. На эпюре Монжа (рис. 103) постройте проекции точек A, |