Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова. Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Коко. Курс лекций по начертательной геометрии учебное пособие
 Скачать 7.31 Mb.
|
|
M, принадлежащей торовой поверхности (i, f). Построение выполняется по первому алгоритму задачи 5. На рис. 48, б показано построение точки M по второму алгоритму задачи 5. 43 а) б) Рис. 48 Линейчатые поверхности вращения При вращении прямой линии, которая пересекает ось вращения в собственной или несобственной точке, образуются, соответственно, коническая или цилиндрическая поверхности. Если прямая линия f скрещивается с осью вращения i, образуется поверхность, называемая однополостным гиперболоидом вращении. а) б) Рис. 49 Эта поверхность также может быть получена путѐм вращения 44 гиперболы вокруг еѐ мнимой оси. На рисунке 49, а показано построение произвольной точки M, принадлежащей поверхности однополостного гиперболоида вращения (i, f ), а на рис. 49, б — построение фронтального очерка заданной поверхности. Через точку 1, принадлежащую образующей прямой f, проводится параллель k поверхности вращения, после чего определяется точка 2, принадлежащая главному меридиану. Аналогично строятся все остальные точки гиперболы. 5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ Рассмотрим три варианта, а, соответственно, и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с плоскостью: 1. Прямая — проецирующая, плоскость — общего положения 2. Прямая — общего положения, плоскость — проецирующая 3. Прямая и плоскость общего — положения 5.1. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения При решении задач на определение точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Вырожденная проекция прямой совпадает с одноименной проекцией искомой точки. Другая проекция точки пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной плоскости. Задача На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения проецирующей прямой l с плоскостью общего положения (a || b) (рис. 50). 45 Алгоритм решения 1. Так как прямая l — горизонтально-проецирующая, то вторая проекция точки пересечения заданной прямой с плоскостью совпадает с вырожденной проекцией прямой l. Отметим горизонтальную проекцию K 2 ≡ l 2 2. Фронтальную проекцию K 1 определим по принадлежности точки K плоскости (задача 3). Видимость прямой l относительно плоскости при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 3 и 4. Рис. 50 Рис. 51 5.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью При решении задач на определение точки пересечения проецирующей плоскости с прямой общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Одна из проекций искомой точки определяется на пересечении вырожденной проекции плоскости с одноименной проекцией заданной прямой. Другая проекция точки 46 пересечения прямой с плоскостью определяется по принадлежности точки заданной прямой. Задача На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с проецирующей плоскостью (рис. 51). Алгоритм решения 1. Так как точка K — общий элемент прямой и плоскости, а плоскость — фронтально-проецирующая, следовательно, проекция K 1 определится на пересечении фронтальных проекций прямой и плоскости (K 1 = l 1 1 ). 2. Горизонтальную проекцию K 2 определим по принадлежности точки K прямой l (задача 1). Видимость прямой l относительно плоскости при проецировании на горизонтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1 и 2. 5.3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения Для построения точки пересечения прямой l общего положения с плоскостью общего положения выполним следующие операции: 1. Заключим прямую l во вспомогательную плоскость (рис. 52). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость. 2. Строим линию пересечения заданной плоскости и вспомогательной плоскости — прямую m. 3. Определим точку пересечения K прямой линии l с построенной линией m. 47 Рис. 52 Так как линия m принадлежит заданной плоскости , следовательно, точка K будет искомой точкой пересечения прямой l с плоскостью Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа пункта 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения рис. 53, а. Задача 6 На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения плоскости общего положения (ABC) с проецирующей плоскостью а) б) Рис. 53 48 При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Алгоритм решения 1. Определим фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (m 1 ≡ 1 ) (рис. 53, б). 2. Горизонтальную проекцию линии m построим, учитывая ее принадлежность плоскости (задача 2). Задача 7 На эпюре Монжа построить проекции точки пересечения прямой общего положения l с плоскостью общего положения (ABC) (рис. 54, а). Алгоритм решения 1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии l совпадет с вырожденной проекцией плоскости (l 1 ≡ 1 ) (рис. 54, б). а) б) Рис. 54 49 2. Построим проекции линии пересечения m заданной плоскости и вспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 6 (рис. 53). 3. Определим проекции точки пересечения K прямой линии l с построенной линией m (рис. 55, а) следующим образом: - отметим проекцию K 2 (K 2 = l 2 m 2 ); - на пересечении l 1 и линии проекционной связи отметим проекцию K 1 (рис. 55, б) 4. Определим видимость прямой l относительно плоскости Точка K делит прямую l на две части — видимую и невидимую (плоскость считаем бесконечной и непрозрачной). Невидимая часть прямой может находиться за плоскостью при проецировании на 1 и под плоскостью при проецировании на 2 (рис. 56, а). Невидимая часть прямой отмечается на эпюре Монжа штриховой линией. а) б) Рис. 55 Определим видимость прямой l при проецировании на плоскость 1 по конкурирующим точкам 1 и 3 (рис. 56, б). По расположению горизонтальных проекций 1 2 и 3 2 можно сделать 50 вывод, что точка 3, принадлежащая l, — видимая (ближе к центру проецирования), следовательно, часть прямой, содержащая точку 3, тоже видимая. На плоскости проекций 1 эту часть прямой l отметим основной линией, а другую часть прямой (за точкой пересечения K) — штриховой линией. Видимость прямой l при проецировании на плоскость 2 определим по конкурирующим точкам 4 и 5. По расположению фронтальных проекций 4 1 и 5 1 можно сделать вывод, что точка 4, принадлежащая l — видимая, следовательно, часть прямой, содержащая точку 4, тоже видимая. На плоскости проекций 2 этот участок прямой l отметим основной линией. а) б) Рис. 56 6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ Рассмотрим три варианта, а соответственно и три алгоритма решения задачи по определению точки пересечения прямой с поверхностью: 51 1. Прямая — проецирующая, поверхность – общего положения. 2. Прямая — общего положения, поверхность – проецирующая. 3. Прямая и поверхность — общего положения. 6.1. Пересечение проецирующей прямой с поверхностью общего положения При решении задач на определение точек пересечения проецирующей прямой с поверхностью общего положения используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей прямой. Задача На эпюре Монжа построить проекции точек пересечения проецирующей прямой l с поверхностью общего положения (f, h) (рис. 57). При решении задачи используется алгоритм построения точки, принадлежащей поверхности. Рис. 57 Рис. 58 52 Алгоритм решения 1. Так как прямая l горизонтально-проецирующая, то вторые проекции точек пересечения прямой с поверхностью совпадают с вырожденной проекцией прямой l. Отметим горизонтальные проекции K 2 , L 2 ≡ l 2 2. Фронтальные проекции K 1 , L 1 определим из условия принадлежности точек K, L поверхности (i, f) (задача 5). Видимость прямой l относительно поверхности при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 2 и 3. 6.2. Пересечение прямой общего положения с проецирующей поверхностью При решении задач на определение точек пересечения прямой общего положения с проецирующей поверхностью используется собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей поверхности. Задача На эпюре Монжа построить проекции точек пересечения прямой общего положения l с проецирующей поверхностью (f, S) (рис. 58). Алгоритм решения 1. Так как точки K, L — общие для прямой и поверхности, а поверхность (f, S) — горизонтально-проецирующая, проекции K 2 , L 2 определим на пересечении горизонтальных проекций прямой и поверхности (K 2 , L 2 = l 2 2 ). 2. Фронтальные проекции K 1 , L 1 определим по принадлежности точек K, L прямой l (задача 1). Видимость прямой l относительно поверхности при проецировании на фронтальную плоскость проекций определим с помощью конкурирующих точек 1, 2 и 3, 4. 53 6.3. Пересечение прямой общего положения с поверхностью общего положения Для построения точки пересечения прямой l общего положения с поверхностью общего положения выполним следующие операции: 1. Заключим прямую l во вспомогательную плоскость (рис. 59). Как правило, плоскость — проецирующая плоскость. 2. Построим линию пересечения заданной поверхности и вспомогательной плоскости — линию m. 3. Определим точку (точки) пересечения прямой l с построенной линией m. Так как линия m принадлежит заданной поверхности , точка K будет искомой точкой пересечения прямой l с поверхностью Рис. 59 Перед решением задачи по определению точки пересечения прямой общего положения с поверхностью общего положения рассмотрим отдельно реализацию на эпюре Монжа пункта 2 — построение линии пересечения проецирующей плоскости с поверхностью общего положения. Задача 8 На эпюре Монжа построить проекции линии пересечения проецирующей плоскостью с поверхностью общего положения (f, S) (рис. 60). 54 При решении этой задачи используем собирательное свойство вырожденной проекции проецирующей плоскости. Рис. 60 Рис. 61 Алгоритм решения 1. Определяем фронтальную проекцию линии m. Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии m совпадает с вырожденной (фронтальной) проекцией плоскости (m 1 ≡ 1 ). 2. Горизонтальную проекцию линии m строим, исходя из условия принадлежности ее поверхности (f, S). Задача 9 Построить проекции точек пересечения прямой общего положения l с поверхностью общего положения (f, S) (рис. 61). Алгоритм решения 1. Заключим прямую линию l во вспомогательную проецирующую плоскость (рис. 62, а). Так как плоскость — фронтально-проецирующая, то первая проекция линии l совпадет с вырожденной проекцией плоскости (l 1 ≡ 1 ). 55 2. Строим линию пересечения m заданной поверхности (f, S) и вспомогательной плоскости в соответствии с алгоритмом решения задачи 8. 3. Определим точки пересечения K, L прямой линии l с построенной линией m следующим образом (рис. 62, б): - отметим проекции K 2 , L 2 (K 2 , L 2 = l 2 m 2 ); - на пересечении l 1 и линий проекционной связи отметим проекции K 1 и L 1. а) б) Рис. 62 4. Определим видимость прямой l относительно плоскости . Невидимая часть прямой может находиться за поверхностью при проецировании на 1 и под поверхностью при проецировании на 2 Для определения видимости прямой при проецировании на плоскость 1 используем конкурирующие точки 1 и 4, а также точки 3 и 5 (рис. 63). По расположению горизонтальных проекций 1 2 и 4 2 можно сделать вывод, что точка 3, принадлежащая l — видимая. Следовательно, часть прямой от точки 4 до точки K — тоже видимая. На плоскости проекций 1 этот участок прямой l отметим 56 основной линией. На основании расположения горизонтальных проекций 3 2 и 5 2 можно сделать вывод, что точка 5, принадлежащая l — невидимая. Следовательно, часть прямой l от точки K до точки 5 находится за поверхностью. На плоскости проекций 1 этот участок прямой l отметим штриховой линией. Для определения видимости прямой при проецировании на плоскость 2 используем конкурирующие точки 6 и 7, а также точки 8 и 9 (рис. 64). По расположению фронтальных проекций 6 1 и 7 1 можно сделать вывод, что точка 6, принадлежащая l — видимая. Следовательно, часть прямой l, содержащая точку 6, — тоже видимая. На плоскости проекций 2 этот участок прямой l отметим основной линией. Аналогично определим видимость участка прямой l, содержащего точку 8. Рис. 63 Рис. 64 7. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ В этом разделе рассмотрим решение задач по определению линии пересечения: 57 - плоскостей как простейших видов поверхностей; - плоскости с поверхностью; - поверхностей. В зависимости от формы поверхностей, их взаимного положения и положения относительно плоскостей проекций используются различные способы построения их линии пересечения [3], [7]. В данном пособии рассмотрим следующие способы построения линии пересечения поверхностей: 1. Алгоритм построения линии, принадлежащей поверхности (плоскости). Этот способ используется в случае, когда одна из двух заданных поверхностей — проецирующая. 2. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Этот способ рационально применять тогда, когда есть возможность пересечь обе поверхности плоскостью по графически простым линиям (прямым, окружностям). 3. Способ вспомогательных концентрических сфер. Этот способ применяется для определения линии пересечения поверхностей вращения, оси вращения которых пересекаются. |