Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Кокорин_Иванова. Начертательная геометрия(краткий курс лекций)_Красильникова_Коко. Курс лекций по начертательной геометрии учебное пособие
 Скачать 7.31 Mb.
|
|
z 1 (x 13 ) отложить расстояние, равное по значению координате y A , или, другими словами, измерить расстояние от проекции А 2 до оси x 12 и отложить это значение по линии связи от оси x 13 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИНИИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА В этом разделе рассмотрим моделирование прямой и кривой линии, способы их задания на чертеже и свойство инцидентности точек и линий. 2.1. Моделирование прямой линии Прямая, в общем случае, моделируется двумя парами точек (рис. 12, а) или парой прямых (рис. 12, б). Прямую линию, не параллельную и не перпендикулярную плоскостям проекций, будем называть прямой общего положения. Задача 1 На эпюре Монжа построить модель произвольной точки М, принадлежащей прямой a. Алгоритм решения 1. Отметим произвольно на a 1 проекцию M 1 (рис. 12, б). 2. Проведем через M 1 линию проекционной связи, которая при пересечении с a 2 определит вторую проекцию М 2 точки М. 15 а) б) Рис. 12 Прямые частного положения Различают две группы прямых частного положения: 1) Проецирующие прямые Проецирующие прямые — прямые, проходящие через один из центров проецирования. Одна из проекций проецирующей прямой вырождается в точку (рис. 13). Прямая a — фронтально- проецирующая прямая. Прямая b — горизонтально-проецирующая прямая. Рис. 13 Конкурирующие точки Две точки, лежащие на одной проецирующей прямой, называются конкурирующими. На эпюре Монжа с помощью проекций конкурирующих точек можно определять взаимную видимость геометрических объектов. 16 На рисунке 14, а представлены две пары конкурирующих точек A, B (АВ 1 ) и C, D (CD 2 ). Стрелками показано направление взгляда наблюдателя из центров проецирования на плоскости проекций. Видимой считают ту точку, которая находится ближе к центру проецирования. При проецировании на плоскость 1 видимой будет точка A, а при проецировании на плоскость 2 — точка С. На рисунке 14, б представлены модели конкурирующих точек на эпюре Монжа. В скобках указаны проекции невидимых точек при проецировании на соответствующую плоскость проекций. а) б) Рис. 14 2) Линии уровня Линии уровня — прямые, параллельные одной из плоскостей проекций (рис. 15, а). Прямая f(f 1 , f 2 ), параллельная плоскости проекций 1 , называется фронталью. Вторая проекция фронтали параллельна оси проекций (f 2 || x 12 ) (рис. 15, б). Прямая h(h 1 , h 2 ), параллельная плоскости проекций 2 , называется горизонталью. Первая проекция горизонтали параллельна оси проекций (h 1 || x) 12 (рис. 15, в ). 17 а) б) в) Рис. 15 Прямая d, параллельная плоскости проекций 3 ( 1 3 2 ), называется профильной прямой (рис. 16, а). Обе проекции этой прямой лежат на линии проекционной связи, перпендикулярной x 12 Наличие проекций двух точек С и D, принадлежащих этой прямой, делают ее модель однозначной. Для построения произвольной точки M, принадлежащей профильной прямой d, можно воспользоваться проекцией прямой на плоскость 3 (рис. 16, б) или пятым свойством параллельного проецирования — свойством пропорциональности (рис. 16, в). а) б) в) Рис. 16 18 Взаимное положение прямых Рассмотрим три случая взаимного положения прямых в пространстве: 1) Пересекающиеся прямые (рис. 17, а). Проекции пересекающихся между собой прямых пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых, т. е., если K = a b , то K 1 = a 1 b 1 , K 2 = a 2 b 2 (рис. 17, б). а) б) Рис. 17 2) Параллельные прямые (рис. 18, а). Проекции параллельных прямых параллельны между собой, т. е., если a || b , то a 1 || b 1 , a 2 || b 2 (рис. 18, б). а) б) Рис. 18 3) Скрещивающиеся прямые (рис. 19, а) Проекции скрещивающихся между собой прямых пересекаются в точке, которая является проекцией конкурирующих точек, принадлежащих этим прямым (рис. 19, б). 19 а) б) Рис. 19 По расположению горизонтальных проекций 1 2 и 2 2 конкурирующих точек 1 и 2 можно сделать вывод, что прямая b находится за прямой a, а по расположению фронтальных проекций 3 1 и 4 1 конкурирующих точек 3 и 4 можно сделать вывод, что прямая b находится под прямой a. 2.2. Моделирование кривой линии Кривую линию можно рассматривать как траекторию движущейся точки или как совокупность точек, обладающих каким- либо общим для них свойством. Кривая линия может являться результатом взаимного пересечения поверхностей. Кривая линия может быть плоской или пространственной. Если все точки кривой расположены в одной плоскости, то такая линия называется плоской. Кривая линия, которая не может быть совмещена с плоскостью всеми своими точками, называется пространственной, например винтовая линия. Моделью кривой линии в общем случае является пара кривых линий f ( f 1 , f 2 ) (рис. 20, а). В частном случае, когда плоская кривая принадлежит проецирующей плоскости, она моделируется прямой и кривой 20 линией (рис. 20, б). а) б) Рис. 20 Построение произвольной точки M, принадлежащей кривой линии f, выполняется по тем же правилам, как и для прямой линии (рис. 20, а, б). Моделирование замкнутой кривой При моделировании замкнутой кривой линии нужно учитывать то, что порядок следования точек на проекциях сохраняется. Кривая на эпюре Монжа задается двумя проекциями и точкой (B) (рис. 21, а) , или двумя проекциями и направлением обхода (рис. 22, а). а) б) Рис. 21 21 а) б) Рис. 22 На рисунках 21, б и 22, б показано построение произвольной точки R, принадлежащей замкнутой кривой линии f. Порядок кривой линии Наибольшее число точек пересечения плоской кривой с прямой линией определяет порядок плоской кривой. Наибольшее число точек пересечения пространственной кривой линии с плоскостью определяет порядок пространственной кривой. В общем случае порядок проекции кривой равен порядку самой кривой. В частном случае проекция может иметь меньший порядок, как, например, в случае плоской кривой, лежащей в проецирующей плоскости (рис. 20, б). Рассмотрим некоторые кривые линии, наиболее широко применяемые на практике. Кривые второго порядка Кривые второго порядка называются коническими сечениями, так как они могут быть получены при пересечении поверхности прямого кругового конуса плоскостью. В зависимости от положения секущей плоскости по отношению к образующим конуса получаются различные кривые второго порядка: - эллипс или окружность, когда плоскость пересекает все образующие (рис. 23, а); 22 - парабола, когда секущая плоскость параллельна одной образующей (рис. 23, б); - гипербола, когда плоскость параллельна двум образующим (рис. 23, в). а) эллипс б) парабола в) гипербола Рис. 23 Когда плоскость проходит через вершину конуса кривая распадается на пару прямых. При параллельном проецировании проекцией эллипса и окружности является эллипс или, в частном случае, окружность, проекцией параболы является парабола, проекцией гиперболы — гипербола. Винтовая линия Из пространственных кривых линий широкое применение в инженерной практике получила цилиндрическая винтовая линия, представляющая собой траекторию движения точки, которая равномерно вращается вокруг некоторой оси i и одновременно перемещается вдоль этой оси с постоянной скоростью (рис. 24). Величина перемещения точки в направлении оси i, соответствующая одному полному обороту вокруг оси, называется шагом винтовой линии. Репер винтовой линии состоит из величины шага p и радиуса R. Рассмотрим пример построения модели винтовой линии f (f 1 , f 2 ) на эпюре Монжа. 23 Пример Построение модели винтовой линии f (f 1 , f 2 ). Рис. 24 Порядок построения 1. Проведем ось вращения i (i 1 , i 2 ) перпендикулярно плоскости проекций 2 2. В первом поле на i 1 отложим величину шага p, а во втором поле из центра — проекции оси i 2 проведем окружность радиуса R, которая является второй проекцией f 2 винтовой линии f. 3. Разделим окружность f 2 на одинаковое количество равных частей (в данном случае — на 8); интервал шага p также разделим на 8 равных частей. 4. Через точки деления окружности 1 2 , 2 2 ,..., 8 2 проводим линии проекционной связи. 5. Находим первые проекции точек деления окружности 1 1 –8 1 6. Соединяем последовательно точки 1 1 –8 1 и получаем первую проекцию винтовой линии f 1 24 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ НА ЭПЮРЕ МОНЖА Плоскость является простейшей поверхностью. Способы задания плоскости общего положения (произвольно расположенной относительно плоскостей проекций), представлены на рисунке 25: - три точки, не лежащие на одной прямой — (A, B, C). - прямая и точка, не принадлежащая этой прямой — (N, a). - две пересекающиеся или две параллельные прямые — (m, n), (c, d). Рис. 25 Задача 2 На эпюре Монжа построить модель какой-либо прямой, принадлежащей плоскости (А, В, С). Предпосылка для решения задачи: прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки этой плоскости. Алгоритм решения 1. Проводим произвольно проекцию l 1 прямой l (рис. 26, а) 2. Соединяем между собой соответствующие проекции точек A и B, B и C (рис. 26, б) 3. Отмечаем точки 1 1 и 2 1 пересечения проекции прямой l 1 с проекциями прямых В 1 А 1 и В 1 С 1 4. Находим горизонтальные проекции точек 1 2 и 2 2 , проводим через них проекцию l 2 прямой l. 25 а) б) Рис. 26 Задача 3 На эпюре Монжа построить модель точки, принадлежащей плоскости (А, В, С). Построение недостающей проекции точки, принадлежащей плоскости, основано на условии принадлежности этой точки прямой, лежащей в плоскости. а) б) Рис. 27 Алгоритм решения 1. Отмечаем произвольно проекцию К 1 точки К (рис. 27, а). 2. Через К 1 проводим первую проекцию l 1 прямой l, принадлежащей плоскости 3. Строим вторую проекцию l 2 прямой l (см. задачу 2). 26 4. Через точку К 1 проводим линию проекционной связи и, при пересечении ее с прямой l 2 , отмечаем искомую проекцию K 2 точки К, принадлежащей прямой l, а следовательно и плоскости Плоскости частного положения Проецирующие плоскости Плоскость, проходящая через проецирующую прямую, называется проецирующей плоскостью. Очевидно, что фронтально-проецирующая плоскость перпендикулярна плоскости проекций 1 (рис. 28), а горизонтально- проецирующая плоскость — плоскости проекций 2. Рис. 28. Одна из проекций проецирующей плоскости вырождается в прямую. Эта прямая обладает собирательным свойством. На рисунке 28 видно, что фронтальные проекции всех элементов плоскости (a,b) расположены (собраны) на одной прямой a 1 а) б) в) Рис. 29 27 На рис. 29, а и рис. 29, б представлены проекции фронтально-проецирующей плоскости (a b), перпендикулярной 1 , и горизонтально-проецирующей плоскости (a||b), перпендикулярной 2 . Чаще всего, проецирующие плоскости задаются на эпюре Монжа своими вырожденными проекциями ( рис. 29, в ). Плоскости уровня Плоскость уровня — плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций. Рис. 30 На рисунке 30 изображена плоскость , параллельная горизонтальной плоскости проекций. Треугольник ABC, принадлежащий плоскости , будет проецироваться на плоскость 2 без искажения, т. е. по горизонтальной проекции треугольника можно судить об его истинных размерах. а) б) Рис. 31 28 На рисунке 31, а представлены проекции плоскости уровня , параллельной плоскости 2, а на рис. 31, б — плоскости , параллельной плоскости 1 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА ЭПЮРЕ МОНЖА В начертательной геометрии при моделировании поверхностей преимущественно используют кинематический и каркасный способы их образования. При кинематическом способе поверхность рассматривается как совокупность всех последовательных положений некоторой линии — образующей, перемещающейся в пространстве по определенному закону. Линия, которую пересекают все образующие поверхности, называется направляющей. Упорядоченное множество линий, принадлежащих поверхности, называется ее каркасом. Обычно в качестве линий каркаса используют семейство образующих или семейство направляющих. При каркасном способе поверхность рассматривается как совокупность некоторого числа линий, образующих каркас. Основное отличие каркасных поверхностей от кинематических состоит в том, что для первых задается определенное число линий каркаса — дискретный каркас, а у вторых в любой точке поверхности может быть построена линия каркаса, т. е. поверхность имеет непрерывный каркас. При моделировании поверхности важную роль играет ее определитель. Определитель поверхности Совокупность условий, задающих поверхность, называется определителем поверхности. Определитель состоит из двух частей: геометрической и алгоритмической. 29 Геометрическая часть определителя включает в себя геометрические элементы, участвующие в образовании поверхности. Такой набор элементов называется репером (от французского слова repere — метка, ориентир). Алгоритмическая часть определителя содержит перечень операций, позволяющих реализовать переход от репера к остальным точкам поверхности. При моделировании поверхности необходимо: 1) Промоделировать репер. 2) Реализовать алгоритм, посредством которого осуществляется переход от модели репера к модели произвольной точки, принадлежащей данной поверхности. На эпюре Монжа поверхность задается проекциями ее репера. Построение произвольной точки, принадлежащей поверхности, осуществляется с помощью простейших линий каркаса поверхности, проходящих через эту точку. При моделировании поверхности возникает понятие очерка поверхности. Очерк поверхности Совокупность точек касания проецирующих прямых поверхности образует контурную линию |