Курсовая работа комплексные числа Студентка заочного отделения 401 гр

• Название: Курсовая работа комплексные числа Студентка заочного отделения 401 гр
• Дата: 29.05.2022
• Размер: 95.74 Kb.
• Имя файла: 1.docx
• Тип: Курсовая; #555309

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КУРСОВАЯ РАБОТА

Комплексные числа

Выполнила:

Студентка заочного отделения 401 гр

Хамитова Ю.Е.

 

Научный руководитель:

Коротина В.А.

ОРЕНБУРГ 2013

Оглавление

Введение…………………………………………………………………… 3

1.История возникновения комплексных чисел…………………………...5

2.Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические действия над ними…………………………………………………………………………10

2.1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами……………………………………………………………………...10

2.2 Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрические действия над ними………………………………………………………….12

2.3. Операция сопряжения комплексных чисел………………………….14

2.4. Извлечение корня из комплексного числа…………………………. .15

2.5. Геометрический смысл алгебраических операций…………………..15

2.6. Умножениекомплексных чисел в тригонометрической форме……16

2.7. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме……… .16

2.8.Возведение в целую степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме………………………………………………. .17

2.9. . Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме………………………………………………...17

3. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней…………………………………………………………...18

4.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел………………………………………………………….20

5.Заключение………………………………………………………………...22

6. Использованная литература……………………………………………...23

«Помимо и даже против воли того или

другого математика, мнимые числа снова и

снова появляются на вкладках, и лишь

постепенно по мере того как обнаруживается

польза от их употребления, они получают более

и более широкое распространение» Ф. Клейн.

Введение

Алгебраические уравнения с одним неизвестным и связанные с ним вопросы в нахождении решений относятся к числу наиболее важных в программе. В общем виде изучаются лишь уравнения 1-ой степени (линейные) и уравнения 2-ой степени (квадратные), поскольку для таких уравнений существуют простые формулы, выражающие корни уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечения корней.

Именно, если дано:

а) Линейное уравнение ax+b=0,где a≠0,то x= – единственный корень;

б) Квадратное уравнение ax+bx+c=0,где a,b,c –действительные числа,a≠0,то , при этом число корней зависит от величины D=b²-4ac,называемой дискриминантом квадратного уравнения, а именно:

При D>0,два действительных корня,D=0 – один двукратный корень (или, что то же ,два совпадающих корня), D<0 – нет действительных корней.

Обычно из уравнений более высоких степеней в курсе алгебры рассматриваются лишь некоторые частные их типы – трехчленные (например, биквадратные), симметрические,…Однако никаких методов для решения произвольных уравнений 3-ей и 4-ой степени (хотя соответствующие формулы известны),в школьной алгебре не дается, т.к. эти методы существенно опираются на теорию комплексных чисел.  Выбор темы курсовой работы“комплексные числа и работа с ними ”  представляется актуальной, так как в школьном курсе они не изучаются, хотя комплексные числа имеют широкое применение в других разделах математики.

Объектом  изучения в данной работе является развитие комплексных чисел в разных разделах математики.

    Предметом изучения стали теоретические положения  о комплексных числах.

Цель данной курсовой работы состоит в том, чтобы рассмотреть возникновение понятия комплексного числа, а также показать, насколько эффективно его применение при решении некоторых задач, в том числе и в первую очередь, при решении уравнений.

  Задачи  данного исследования:

Ознакомится с историей возникновения и развития комплексных чисел

1.Дать понятие комплексного числа и рассмотреть свойства комплексных чисел

2.Изучить действия с комплексными числами

3.Решить задачи на применение комплексных переменных

4.Сделать выводы о проделанной работе

1.История возникновения комплексных чисел

Древнегреческие математики считали «настоящими» только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как .Наряду с натуральными числами применяли дроби- числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до нашей эры в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа , или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что «…элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорийцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно для того, чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта , не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных чисел – это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применял в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное , а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя : нет такого числа x, чтобы x²= - 9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида x³+px+q=0 кубические и квадратные корни: +

Это формула безотказно действует в случае , когда уравнение имеет один действительный корень (x³+3x-4=0), а если оно имеет три действительных корня (x³-7x+6=0), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4- ой степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-ой степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0 нельзя решить алгебраически; точнее :нельзя выразить его корень через буквенные величины a,b,c,d,e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, деление, возведение в степень, извлечения корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение , степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое уравнение n-ой степени имеет (если рассматривать комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаях), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж.Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал , что система уравнений не имеющая решений во множестве действительных чисел ,имеет решения вида x= 5 , y= 5 , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что = -a.

Кардано называл такие величины «чисто отрицательными», считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой- нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р.Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами , вплоть до извлечения из них кубических корней. Название «мнимые числа» ввел в 1637 году французский математик и философ Р.Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л.Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire(мнимый) для обозначения числа ( мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К.Гауссу. Термин «комплексные числа» так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus ) означает связь , сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т.д. , образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А.Муавра (1707): . С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг.

Л.Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: =cosx + i , которая связывала воедино показательную функцию с геометрической. С помощью формулы Л.Эйлера можно было возводить число е в любую комплексную степень. Любопытно, например, что = -1. Можно находить sin и cos комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я.Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. Поэтому французский ученый П.Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

«Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы, иероглифы нелепых количеств» (Л. Карно).

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число точкой М(a,b) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой М, а вектором , идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор можно задавать не только его координатами a и b, но также длиной r и углом , который он образует с положительным направлением оси абсцисс. При этом и число z принимает вид , который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r называют модулем комплексного числа z и обозначают . Число называют аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим ,что если z=0, значение ArgZ не определено, а при z 0, оно определено с точностью до кратного 2 . Упомянутая ранее формула Эйлера позволяет записать число z в виде (показательная форма комплексного числа).

Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах ,где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости , задач теории упругости.

После создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании «гиперкомплексных» чисел – чисел с несколькими «мнимыми» единицами . Такую систему вида где i²=j²=k²= -1, построил в 1843 году ирландский математик У.Гамильтон, который назвал их «кватернионами». Правила действия над кватернионами напоминают правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности (переместительности): например, а . Гиперкомплексные числа не являются темой моей курсовой работы, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.

Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н.И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости , М.В. Келдыш и М.А. Лаврентьев – к аэро- и гидродинамике, Н.Н Богомолов и В.С. Владимиров – к проблемам квантовой теории поля.

К настоящему времени изучение комплексных чисел развилось в важнейший раздел современной математики – теорию функций комплексного переменного ( ТФКП).

2. Геометрический смысл комплексных чисел. Алгебраические действия над ними

2.1. Основные понятия и арифметические действия над комплексными числами

Логически строгую теорию комплексных чисел построил в XIX в (1835 г) ирландский математик Вильям Роумен Гамильтон. По Гамильтону комплексные числа- это упорядоченные пары z=(x,y) действительных чисел, для которых следующим образом определены операции сложения и умножения: (x_1,y₁)+(x_2,y₂)=(x₁+x₂ ,y₁+y₂); (1)

(x₁,y₁) (x₂,y₂)=(x₁ x₂ – y₁ y₂, x₁ y₂+x₂ y₁) (2)

Действительные числа x и y называются при этом действительной и мнимой частями комплексного числа z=(x,y) и обозначают символами Rez и Imz, действительный и мнимый, соответственно.

Два комплексных числа z₁=(x₁,y₁) и z₂=(x₂,y₂) называются равными только в том случае, когда x₁=x₂, y₁=y₂. Из определения следует, что всякое комплексное число (x,y) может быть представлено в следующем виде (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0) (3)

Числа вида (x,0) отождествляются с действительными числами х ,т.е. (х,0)= х, число (0,1), называемое мнимой единицей, обозначается символом i , т.е. (0,1)=i, причем i²= -1,равенство (3) принимает вид z=x+iy и называется алгебраической формой записи комплексного числа z=(x,y).

Операция сложения и умножения комплексных чисел имеют следующие свойства:

а)z₁+z₂=z₂+z₁ (переместительный закон или коммутативность сложения и умножения)

б)z₁z₂=z₂z₁

в)z₁+(z₂+z₃)=(z₁+z₂)+z₃

д)(z₁+z₂)z₃=z₁z₃+z₂z₃ (распределительный закон или дистрибутивность)

Вычитание и деление комплексных чисел z₁=x₁+iy₁ и z₂=x₂+iy₂ определяют, причем однозначно, их разность z₁-z₂ и частное z₁/z₂ как решения соответствующих уравнений z₁+z₂=z₁ и zz₂=z₁(при z₂ 0). Отсюда следует, что разность и частное от деления z₁ на z₂ вычисляют по формулам:

z₁-z₂=(x₁-x₂)+i(y₁-y₂), (4)

z₁/z₂=(x₁x₂+y₁y₂)/(x₂²+y₂²)+i((y₁x₂-x₁y₂)/(x₂²+y₂²)) (5)

Данное определение можно выразить и в других терминах ,а именно, вычитание – как действие, обратное сложению: z=z₁+(-z₂), где число (-z₂) называется противоположным z₂ ; деление, как действие ,обратное умножению : z=z₁(z₂^-1), где z₂^-1 –число, обратное для z₂ (z₂ 0). Таким образом, анализ определений и свойств арифметических операций над комплексными числами приводит к следующим выводам:

- множество комплексных чисел (С) является расширением множества R действительных чисел, т.е. действительные числа содержатся как частный случай среди комплексных (точно так же как, например, целые числа содержатся среди действительных);

- комплексные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить по правилам, которым подчиняются действительные числа, заменяя в итоге (или в процессе вычислений ) i²= -1.

2.2 Геометрическое изображение комплексных чисел. Тригонометрические действия над ними

Замечание. Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла(не принято никакого соглашения).

Если на плоскости введена декартова система координат Оxy, то всякому комплексному числу z=x+iy может быть поставлена в соответствие некоторая точка М(x,y) с абсциссой «x» и ординатой «y», а также радиус- вектор . При этом говорят, что точка М(x,y) ( или радиус –вектор ) изображает комплексное число z=x+iy. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа называется комплексной плоскостью, ось Оy –мнимой осью.

Число ,равное длине вектора, изображающего комплексное число , т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом .

Угол между положительным направлением оси Оx и вектором , изображающим комплексное число z=x+iy 0,называется его аргументом.



Из определения видно, что каждое комплексное число ( , имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2 и обозначаются единичным символом Argz (для числа z аргуме определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной некоторого угла, на который следуе повернуть действительную ось (ось Ох) до совпадения ее направления с направлением с радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z есть всякое решение системы уравнений ; . Значение Argz при условии называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значение , выделяемое неравенством .

Между алгебраическими x,y и геометрическими r, характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами следовательно, . Последнее выражение, т.е. (6) называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z может быть представлено в тригонометрической форме. Для практики число вида удобнее записывать короче, с помощью символа (7). Доказанное для любых чисел (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме (8)

2.3. Операция сопряжения комплексных чисел

Для данного комплексного числа число = (отличающиеся от z лишь знаком при мнимой части) называются сопряженным и обозначается символом .Переход от числа z к числу называется сопряжением, а сами эти числа сопряженными ( друг к другу), т.к. )=z. Из определения следует, что только действительное число сопряжено самому себе. Геометрически сопряженные числа изображаются точками, симметричными относительно действительной оси (рис. 2)

Отсюда следует, что = , argz= -argz. Кроме того ,



А также : ; ; ;P(z)=P(z), где P(z) – любой многочлен с действительными коэффициентами ; (P(z)/Q(z))=(P(z)/Q(z)), где P и Q –многочлены с действительными коэффициентами.

2.4. Извлечение корня из комплексного числа

Извлечение корня из комплексного числа есть действие , обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель степени корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения для нахождения z. В множестве комплексных действие извлечения корня всегда выполнимо, хотя причем и неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель степени корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения , которые можно найти по формуле :

= = ,где знак «+» в скобках берется при «-» - при

2.5. Геометрический смысл алгебраических операций

Пусть даны два комплексных числа z₁ и z₂. В результате сложения этих чисел получается число z₃, изображаемое вектором ОС диагонали параллелограмма ОАСВ ( по правилу параллелограмма сложения векторов): .

Рис.3

Разность (z₁-z₂) данных чисел , соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора , изображающего число z₁ и вектора OD= - OB,противоположного вектору ( симметричного ему относительно начала координат): - . Таким образом, разности ( данных чисел соответствует вектор другой диагонали параллелограмма ОАВС.

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

2.6.Умножениекомплексных чисел в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа и . Перемножая их получим Следовательно, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило верно и для любого числа сомножителей.

2.7.Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

Если требуется разделить то выполняем следующие преобразования: ( , т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

2.8.Возведение в целую степень комплексного числа, записанного в тригонометрической форме

Умножая число само на себя «n» раз, получаем согласно правилу умножения . Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводится его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени). В частном случае, если r=1, то предыдущее равенство принимает вид (9) Полученная формула называется формулой Муавра (1667-1754).

2.9. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.

Пусть , . Решаем уравнение для вычисления = . Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое кратное числу получаем: = (причем Таким образом, , где - арифметический корень ,а т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет «n» различных значений (исключение представляет z=0. В этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел и постоянна и равна : - = . Отсюда следует, что все значения располагаются на комплексной плоскости в вершинах правильного n- угольника с центром в начале координат.

3.Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений 3-ей и 4-ой степеней

Формула Кардано. Рассмотрим приведенное алгебраическое уравнение 3-ей степени: (общее уравнение 3-ей степени сводится к приведенному делением на коэффициент при старшей степени). С помощью замены это уравнение примет вид : , где p и q- новые коэффициенты, зависящие от a,b,c. Пусть - какой либо корень уравнения (11*). Представим его в виде , где - неизвестные пока числа, и подставим в уравнение. Получим 12). Выберем теперь ,так чтобы . Такой выбор чисел возможен, т.к. они (вообще говоря комплексные) удовлетворяют системе уравнений :

а значит, существуют.

: , а т.к. еще , то получаем систему: из которой по т.Виета следует, что являются корнями уравнения . Отсюда находим : означает одно из возможных значений квадратного корня. Отсюда следует, что корни уравнения (11*) выражаются формулой +

+ , причем для каждого из трёх значение первого корня соответствующее значения второго корня нужно брать так, чтобы было выполнено условие . Полученная формула называется формулой Кардано.

Метод Феррари для уравнения 4-ой степени. Рассмотрим приведенное уравнение 4-ой степени x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 (13). Сделав замену переменной х=у-а/4, получим уравнение у⁴+ру²+qy+r=0 (14) c коэффициентами p,q,r, зависящими от a,b,c,d. Преобразуем это уравнение к виду (y²+p/2)²+qy+(r-p²/4)=0, а затем, введя произвольное пока число α, представим его левую часть в равносильной форме (y²+p/2+α)²-[2α(y²+p/2)+α²-qy+p²/4-r]=0 (15)

Выберем теперь число α так, чтобы выражение в квадратных скобках 2αy²-qy+(αp+α²+p²/4-r) стало полным (точным) квадратом относительно у. Для этого нужно, чтобы его дискриминант был равен нулю, т.е. чтобы q²-8α(αp+α²+p²/4-r)=0, или 8α³+8pα²+8α(p²/4-r)-q²=0. Таким образом, для нахождения α получается уравнение 3-ей степени, и задача сводится к предыдущей. Если в качестве «α» взять один из корней этого уравнения, то левая часть уравнения (15) будет разностью квадратов и поэтому может быть разложена в произведение двух многочленов 2-ой степени относительно «у».

4.Дополнительные задачи и упражнения, связанные с использованием комплексных чисел

1. Вычислить: ii²i³…i¹⁰=?

Решение: ii²i³…i¹⁰=i^1+2+…+10=i^11∙10/2=i⁵⁵=ii⁵⁴=i(i²)²⁷=i(-1)²⁷=-i.

2. Найти действительные решения уравнения (3+i)x+(-5+2i)y=4+16i.

Решение: (3x-5y)+i(x+2y)=4+16i

3 x-5y=4 x=8,

x+2y=16 y=4.

Ответ: z=8+4i.

3. Доказать, что (а²+1)(b²+1)(c²+1) можно представить в виде суммы квадратов целых чисел (a,b,c – целые числа).

Доказательство: заметим, что а²+1=|a+i|², тогда имеем: (а²+1)(b²+1)(c²+1)=(a+i)(a-i)(b+i)(b-i)(c+i)(c-i)=(a+i)(b+i)(c+i)(a+i)(b+i)(c+i)= =((ab-1)+i(a+b))(c+i)((ab-1)+i(a+b))(c+i)=(((ab-1)c-a-b)+i((a+b)c+ab-1))((ab-1)c-a-b+i((a+b)c+ab-1)=(abc-(a+b+c))²+(ab+bc+ca-1)².

4. Доказать тождество:

(2x-z)²+(2x-z)²=2Re(z²).

Доказательство:

а)(2x-z)²+(2x-z)²=4x²-4xz+z²+4x²-4xz+z²=8x²-4x(z+z)+z²+z²=8x²-4x2x+(z+z)²-

-2zz=(2x)²-2|z|²=4x²-2(x²+y²)=2(x²+y²)=2Re(z²).

б) 2Re(z²)=2Re(x+iy)²=2Re(x²-y²+2ixy)=2(x²-y²).

5. Доказать тождество |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²=2(|z₁|²+|z₂|²) и вычислить его геометрический смысл.

Доказательство: |z₁+z₂|²+|z₁-z₂|²= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+( z₁-z₂)( z₁-z₂)= (z₁+z₂)( z₁+z₂)+( z₁-z₂)( z₁-z₂)=2 z₁ z₁+2 z₂ z₂=2(|z₁|²+|z₂|²).

Геометрический смысл: сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов всех сторон параллелограмма.

5.Заключение

Проанализировав множество математической литературы, я изучила тему «Комплексные числа».

Комплексные числа, имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, а также в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Это говорит о том, что актуальность их с каждым годом возрастает.
Именно поэтому нам нужно расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях. 
Хотя комплексные числа не входят в базовую школьную программу алгебры но, тем не менее, являются серьёзным разделом элементарной математики.
В данной курсовой работе было раскрыто понятие комплексных чисел, история их возникновения. Рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Приведены примеры решения уравнений с комплексным переменным.

Материал, изложенный в этой работе, может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе. Я считаю, что достигла своей цели и выполнила поставленные перед собой задачи.

6.Использованная литература

1. 
   Курош А.Г. «Алгебраические уравнения произвольных степеней». М., «Наука», 1983.
   
2. 
   Курош А.Г. «Курс высшей алгебры». М., «Наука»,1968.
   
3. 
   Сидоров Ю.В.,Федорюк М.В., Шабунин М.И. «Лекции по теории функций комплексного переменного». М., «Наука»,1989
   
4. 
   Стройк Д.Я. «Краткий очерк истории математики». М., «Наука», 1969.
   
5. 
   Яглом И.М. « Комплексные числа и их применение в геометрии». М., Физматгиз, 1963.