Курсовая работа по теме. Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке
 Скачать 312.7 Kb.
|
2.1 Теорема МашкеОдной из основополагающих теорем теории представления является Теорема Машке. Любое приводимое представление (комплексное) конечной группы вполне приводимо. Доказательство. Пусть Р – приводимое представление группы G на  , где  - ортонормированный базис V,  - скалярное произведение на V, относительно которого все операторы  унитарны. Пусть L – нетривиальное подпространство, инвариантное относительно операторов . - ортогональное дополнение к подпространству L, для которого  . Тогда - инвариантное подпространство относительно всех операторов . Действительно, если  , то  для всех  по определению . Надо показать, что  . Но для каждого имеем ,так как  . Итак, для каждого следует, что .Если представление Р группы G приводимо на одном из подпространств L, или каждом из них, то проводя аналогичные разложения подпространств в прямую сумму инвариантных, относительно операторов , подпространств до тех пор, пока представления на слагаемых подпространствах не окажутся неприводимыми, получим разложение представления в сумму неприводимых представления. Теорема доказана. Матрица  приводимого представления будет иметь квазидиагональный вид, на главной диагонали которой будут расположены квадратные клетки разных размеров, являющиеся матрицами сужения оператора на подпространствах, при специально подобранном базисе пространства V.Теорема Машке позволяет изучение линейных представлений свести к изучению неприводимых представлений, так как приводимые представления просто конструируются из неприводимых, имеющих конечную размерность. Действительно, линейная оболочка системы векторов в пространстве представления V  ,  , …,  ,где  , а  - элементы группы G, является конечномерным подпространством пространства V, инвариантным относительно операторов .Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий доказанную теорему. Двумерным представлением циклической группы  является: ,  , ,  .Найдем собственные значения оператора , совпадающие с собственными значениями операторов , .  , откуда  , то есть  . Для  собственными будут векторы вида  ; для , соответственно,  ,  . Выберем базис в пространстве :  ,  . Тогда имеем: ,  ; ,  ; ,  .Следовательно, в базисе  пространства матрицы представления Р будут иметь вид:,  ,,  .Итак, представление Р является прямой суммой двух одномерных представлений и :  ,  ,  ,  или  ,  ,  ,  .Заметим, что свойство неприводимости представления может утрачиваться при расширении поля. Рассмотрим подгруппу группы движений пространства, имеющих неподвижную точку, которую называют ортогональной группой и обозначают SO(2). Она имеет естественное неприводимое представление  над полем действительных чисел. Однако над полем С комплексных чисел  будет прямой суммой двух неэквивалентных одномерных представлений в силу равенства ,  . |