Курсовая работа по теме. Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке

• Название: Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке
• Дата: 15.07.2019
• Размер: 312.7 Kb.
• Имя файла: Курсовая работа по теме.docx
• Тип: Курсовая; #84133
• страница: 3 из 5

1.3 Неприводимые представления

Пусть : - некоторое линейное представление группы G. Представление называется неприводимым, если пространство V отлично от нуля и не имеет G-инвариантных подпространств, кроме 0 и V, разумеется. В силу теоремы 1 это эквивалентно утверждению, что V не разлагается в прямую сумму двух представлений. Очевидно, каждое представление степени 1 неприводимо. В дальнейшем мы покажем, что каждая некоммутативная группа обладает по крайней мере одним неприводимым представлением степени . Из неприводимых представлений с помощью прямых сумм можно составить любое другое представление. Точнее, имеет место

Теорема 2. Каждое представление является прямой суммой неприводимых представлений.

Доказательство. Пусть V – произвольное линейное представление группы G. Воспользуемся индукцией по размерности V. Если , то утверждение теоремы тривиально (так как 0 есть прямая сумма пустого множества неприводимых представлений). Предположим, следовательно, что . Если представление V неприводимо, то нечего доказывать. В противном случае по теореме 1 мы можем разложить V в прямую сумму , где и . Тогда по предположению индукции представления и являются прямыми суммами неприводимых представлений, а, значит, то же самое верно и для V. Теорема доказана.

Замечание. Пусть V – некоторое представление и - его разложение в прямую сумму неприводимых представлений. Возникает вопрос: однозначно ли это разложение? Легко убедиться, что в случае, когда все равны 1, это разложение, вообще говоря, не однозначно. Однако число представлений , изоморфных данному неприводимому представлению W, не зависит от выбора разложения.

Глава 2. Теорема Машке и ее следствие.