Курсовая работа по теме. Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке

• Название: Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке
• Дата: 15.07.2019
• Размер: 312.7 Kb.
• Имя файла: Курсовая работа по теме.docx
• Тип: Курсовая; #84133
• страница: 2 из 5

1.2 Подпредставления

<sub>Пусть : - некоторое линейное представление и W – векторное подпространство пространства V. Предположим, что подпространство W инвариантно относительно действия группы G в представлении , т.е. для каждого элемента все элементы вида , также принадлежат подпространству W. Тогда ограничение автоморфизма на W является автоморфизмом этого подпространства и, очевидно, . Таким образом, является линейным представление группы G в пространстве W. Мы будем называть его подпредставлением представления .

Пример. Рассмотрим регулярное представление группы G в пространстве V, и возьмем в качестве W одномерное подпространство пространства V, порожденное элементом . Тогда , откуда следует, что W определяет подпредставление представления , которое изоморфно единичному представлению.

Пусть V – векторное пространство и W, W’ – подпространства пространства V. Говорят, что V есть прямая сумма подпространств W и W’, если для каждого вектора существует однозначное разложение вида , где и ; это равносильно тому, что пересечение равно нулю и . Будем писать тогда и называть подпространство W’ дополнением к подпространству . Отображение , сопоставляющее каждому вектору его компоненту из подпространства W, называется проектором пространства V на пространство W. Образом проектора является все подпространство W и для каждого вектора . Обратно, если некоторое линейное отображение обладает этими свойствами, то пространство V, как легко видеть, представляется в виде прямой суммы образа W и ядра W’ отображения ; при этом является проектором. Этим способом устанавливается взаимно однозначное соответствие между проекторами пространства V на подпространство W и дополнениями W’ к подпространству .

Теорема1. Пусть : - линейное представление группы G в пространстве V и W – некоторое подпространство векторного пространства V, инвариантное относительно G. Тогда существует дополнение к подпространству W в V, которое также инвариантно относительно G.

Доказательство. Пусть - какое-нибудь дополнение к подпространству W в V и : - соответствующий проектор. Рассмотрим усреднение образов проектора при действии элементов группы G,



(где g – порядок группы G). Поскольку отображает V на W и переводит подпространство W в себя, то также отображает V в W. С другой стороны, если , то , откуда , и . Таки образом, является проектором, соответствующим некоторому дополнению к подпространству W в V. При этом для каждого элемента . В самом деле,

.</sub>

Если же и , то , откуда , т.е. . Это означает, что подпространство инвариантно относительно G. Теорема доказана.

Замечание. Предположим, что пространство V снабжено некоторым скалярным произведением , удовлетворяющим обычным условиям: линейность по у, полулинейность по х и при . Предположим, кроме того, что это скалярное произведение инвариантно относительно действия группы G, иначе говоря, справедливо равенство для всех и . Этого мы всегда можем добиться, заменяя в случае необходимости на . При этих предположениях ортогональное дополнение к инвариантному подпространству W в V будет, очевидно, инвариантным относительно G дополнением к W, и мы получим другое доказательство теоремы 1. Отметим, что инвариантность скалярного произведения означает, что в ортонормированном базисе пространства V все матрицы , является унитарными.

Сохраним обозначения и предположения теоремы 1. Пусть - произвольный вектор и - его проекции на подпространства W и соответственно. Тогда , откуда , и поскольку подпространства W и инвариантны относительно группы G, то и . Следовательно, и являются проекциями вектора на подпространства W и . Из этого следует, что знание представлений W и позволяет восстановить представление V. В таком случае говорят, что представление V есть прямая сумма представлений W и и обозначается это так: . Каждый элемент пространства V отождествляется при этом с парой , где и . Если представление W и заданы в матричной форме и , то представление задается матрицей вида

.

Аналогично определяется прямая сумма любого конечного семейства представлений.