Курсовая работа по теме. Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке

• Название: Курсовая работа по теме Линейные представления конечных групп и теорема Машке
• Дата: 15.07.2019
• Размер: 312.7 Kb.
• Имя файла: Курсовая работа по теме.docx
• Тип: Курсовая; #84133
• страница: 1 из 5

Курсовая работа по теме «Линейные представления конечных групп и теорема Машке»

Оглавление

Введение 2

Глава 1. Общие сведения о линейных представлениях конечных групп 4

1.1 Основные определения 4

1.2 Подпредставления 8

1.3 Неприводимые представления 14

2.1 Теорема Машке 15

2.2 Следствие из теоремы Машке. 20

Заключение 23

Введение

Линейная алгебра — раздел алгебры, изучающий объекты линейной природы: векторные (или линейные) пространства, линейные отображения, системы линейных уравнений, среди основных инструментов, используемых в линейной алгебре — определители, матрицы, сопряжение. и тензорное исчисление обычно (в целом или частично) также считаются составными частями линейной алгебры. Такие объекты как квадратичные и билинейные формы, тензоры и операции как тензорное произведение непосредственно вытекают из изучения линейных пространств, но как таковые относятся к полилинейной алгебре. Линейная алгебра обобщена средствами общей алгебры, в частности, современное определение линейного (векторного) пространства опирается исключительно на абстрактные структуры, а многие результаты линейной алгебры обобщены на произвольные модули над кольцом. Более того, методы линейной алгебры широко используются и в других разделах общей алгебры, в частности, нередко применяется такой приём, как сведение абстрактных структур к линейным и изучение их относительно простыми и хорошо проработанными средствами линейной алгебры, так, например, реализуется в теории представлений групп. Функциональный анализ возник как применение методов математического анализа и линейной алгебры к бесконечномерным линейным пространствам, и во многом базируется на методах линейной алгебры и в дальнейших своих обобщениях. Также линейная алгебра нашла широкое применение в многочисленных приложениях (в том числе, в линейном программировании, в эконометрике) и естественных науках (например, в квантовой механике).

Цель курсовой работы – изучить теорию линейных представлений конечных групп.

Предмет исследования – линейная алгебра, объект исследования – линейные представления конечных групп и теорема Машке.

Данная цель подразумевает выделить следующие задачи исследования:

1. 
   Ввести понятия линейных представлений конечных групп;
   
2. 
   Изучить основные теоремы по теме и доказать их;
   
3. 
   Рассмотреть теорему Машке и следствие из нее.
   

Глава 1. Общие сведения о линейных представлениях конечных групп

1.1 Основные определения

Пусть V – векторное пространство над полем комплексных чисел С и GL(V) – группа его автоморфизмов над тем же полем. Каждый элемент группы GL(V)есть по определению такое линейное отображение а пространства V в себя, для которого существует отображение , также является линейным. В случае когда пространства V имеет конечный базис из n элементов , любое линейное отображение а: задается квадратной матрицей порядка n. Коэффициенты является здесь комплексными числами, они возникают как коэффициенты в разложении векторов по базису :

.

При этом отображение а тогда и только тогда является изоморфным, когда определитель отличен от нуля. Группа GL(V) отождествляется в таком случае с группой обратимых квадратных матриц порядка n.

Пусть теперь G – некоторая конечная группа. Линейным представлением группы G в пространстве V называется произвольный гомоморфизм группы G в группу GL(V). Другими словами, это такое сопоставление каждому элементу элемента группы GL(V), при котором выполняется равенство

для всех .

Заметим, что из предыдущего равенства вытекают следующие соотношения:

, .

При заданном пространство V называется пространством представления группы G. Всюду в дальнейшем мы ограничиваемся случаем, когда пространство V имеет конечную размерность. Это не очень стеснительное ограничение. В самом деле, в большинстве приложений интересно, как правило, поведение только конечного числа элементов пространство V, и всегда можно найти некоторое подпредставление конечной размерности, содержащие элементы : достаточно взять подпространство пространства V, порожденное образами элементов .

Будем предполагать, следовательно, что пространство V конечномерно, и пусть n – его размерность. Число n мы будем называть также степенью рассматриваемого представления. Пусть - некоторый базис пространства V и - матрица автоморфизма относительно этого базиса. Тогда

, , .

Если через обозначить коэффициенты матрицы , то вторая формула перепишется в виде

.

<sub>Обратно, задание обратимых матриц , удовлетворяющих предыдущим тождествам, определяет некоторое линейное представление группы G в пространстве V: это так называемое представление «в матричной форме».

Пусть и - два линейных представления группы G в пространстве V и V’ соответственно. Говорят, что представления и подобны (эквивалентны или изоморфны), если существует такой линейный изоморфизм : , который «переводит» представление в , иначе говоря, который удовлетворяет следующему условию:



для любого . В случае когда представление и заданы в матричной форме и соответственно, это эквивалентно существованию такой обратимой матрицы Т, что

или

для всех .

Ничто не мешает отождествлять подобные представления (сопоставляя каждому элементу элемент ); в частности, они имеют одну и ту же степень.</sub>