готовая курсовая 2. Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка)
![]()
|
2.Решение задач, связанных с поверхностными интеграламиПример 1. Вычислить циркуляцию вектора ![]() ![]() ![]() Для точек, лежащих на кривой γ, справедливы равенства: ![]() Тогда координаты точек, лежащих на кривой γ, удовлетворяют соотношениям: z2 = R2 /2, x2 + y2 = R2 /2, т.е. кривая γ – это окружность радиуса ![]() ![]() Применим формулу Стокса. В качестве поверхности Ω возьмем круг радиуса ![]() ![]() ![]() ![]() На поверхности Ω имеем: dΩ = dxdy. Ротор вектора ![]() ![]() Проекция поверхности Ω на плоскость OXY представляет собой круг D радиуса ![]() ![]() Рисунок 6. К примеру 1 ![]() ![]() Пример 2 Вычислить циркуляцию вектор-функции ![]() вдоль линии γ пересечения параболоида ![]() Воспользуемся формулой Стокса. В качестве поверхности Ω с границей γ примем часть параболоида, лежащую в первом октанте, т.е. при x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0. Таким образом, γ = Г(Ω). Положительным направлением обхода контура будем считать движение против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали к параболоиду: ![]() На поверхности Ω имеем: ![]() Найдем теперь ротор вектора ![]() ![]() Проекция поверхности Ω на плоскость OXY представляет собой четверть круга D: ![]() ![]() На поверхности Ω в цилиндрических координатах ![]() ![]() ![]() (Последний интеграл может быть вычислен с помощью замены переменных ![]() ![]() ![]() Рисунок 7. К примеру 2 Пример 3. Вычислить поток вектора ![]() ![]() ![]() Рисунок 8. К примеру 3 Пусть Ω – поверхность куба V, а ![]() ![]() Пример 4. Пусть по поверхности Ω сферы ![]() ![]() Разобьем поверхность Ω на части Ωk столь мелкие, что в пределах каждой из них плотность можно считать постоянной. Выберем в каждой части Ωk по произвольной точке Mk. Тогда масса поверхности приближенно равна значению ![]() и представляет собой интегральную сумму поверхностного интеграла I-го рода от функции ρ(M) по поверхности Ω. Чем меньше части разбиения, тем точнее получается формула. В пределе для массы поверхности получаем: ![]() Введем сферические координаты: ![]() Тогда ![]() ![]() ![]() Найдем гауссовские коэффициенты поверхности Ω: ![]() ![]() ![]() Тогда по формуле получаем искомую массу поверхности сферы: ![]() Пример 5. ![]() ![]() Рисунок 9. К примеру 5 Вычислить площадь части параболоида ![]() В этом примере ![]() ![]() Тогда получаем: ![]() ![]() ЗаключениеИнтеграл – одно из основных понятий математического анализа возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным, например, находить длину пути, пройденного движущейся точкой, по её скорости. С другой стороны, измерять площади, объемы, работу сил за определенный промежуток времени и т.п. В заключение можно сказать, что тема поверхностных интегралов важна для изучения в учебных заведениях, так как имеет отражение не только в геометрии и алгебре, а также и в физике. Понятие поверхностного интеграла используют такие задачи как задача нахождения массы поверхности, имеющей поверхностную плотность, применяется при нахождении циркуляции векторного поля, нахождение объема тела, нахождение потока векторного поля по замкнутой поверхности и т.д. Были рассмотрены основные теоремы, применяемые при решении задач, формулы, связывающие поверхностные интегралы с криволинейными интегралами по контуру границы поверхности и тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом по границе этой области. Поверхностный интеграл является таким же обобщением двойного интеграла, каким криволинейный интеграл является по отношению к определенному интегралу. Собрав и систематизировав материал по поверхностным интегралам, я проделал большую работу в сфере анализа, интегрального исчисления, физических приложений. Данный материал можно демонстрировать в университетах, как на математических дисциплинах – алгебра, математический анализ, геометрия; так и на физических дисциплинах – теоретическая механика и электростатика. Список использованной литературы1.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997.[Электронный ресурс]- https://vk.com/doc44301783_509485129?hash=4396565930922fa48c&dl=1b99edf9ef9e0a845d 2. Калинин В.В., Петрова И.В. К 18 Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи: Учеб. пособие. − М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. Вып. 3. Часть 2: Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. [Электронный ресурс]- http://kvm.gubkin.ru/vip3p2/beg2.pdf 3.Феоктистов, Ю. А. Ф-42 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы / Ю. А. Феоктистов. – Белгород: Изд-во БГТУ, 2019. [Электронный ресурс]- https://www.elibrary.ru/download/elibrary_39278777_44418465.pdf 4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.1. М.: Наука, 1995. [Электронный ресурс]- https://studfile.net/preview/9245228/ 5.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т.2. М.: Наука, 1995 1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 6.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.3. Санкт – Петербург: Лань, 1997. [Электронный ресурс]- https://e.lanbook.com/book/180824 7.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Астрель, 2006. [Электронный ресурс]-http://pm-pu.ru/stuff/analiz/books/demidovich_sbornik.pdf 8.Виленкин В.А., Бохан К.А., Марон И.А. Задачник по курсу математического анализа в 2-х частях. М.: Просвещение, 1971. [Электронный ресурс]- https://edu-lib.com/matematika-2/dlya-studentov/zadachnik-po-kursu-matematicheskogo-an-2 9.Фильчаков П.Ф. Справочник по высшей математике. – Киев: Наукова думка, 1973. Мурманск 2021 |