готовая курсовая 2. Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка)
![]()
|
1.5 Формула ОстроградскогоФормула Остроградского связывает тройной интеграл по пространственной области с поверхностным интегралом по границе области. Рассмотрим тело (V), ограниченное гладкими поверхностями ![]() и цилиндрической поверхностью( ![]() Допустим, что в области (V) определена некоторая функция R (x, y, z), непрерывная вместе со своей производной ![]() ![]() причем (S) есть поверхность, ограничивающая тело, и интеграл справа распространен на внешнюю ее сторону. Действительно, ![]() Если ввести в рассмотрение поверхностные интегралы, то, в силу формул ![]() причем первый из интегралов справа распространен на верхнюю сторону поверхности ![]() ![]() ![]() распространенный на внешнюю сторону поверхности ![]() Легко понять, что формула (1) верна для более широкого класса тел, которые могут быть разложены на части изученного типа. Можно доказать также, что формула (1) справедлива вообще для тел, ограниченных произвольными кусочно-гладкими поверхностями. Аналогично формуле (1) имеют место и формулы: ![]() ![]() если функции P и Q непрерывны в области (V) вместе со своими производными ![]() ![]() Сложив все три формулы (1), (2), (3), мы и придем к общей формуле Остроградского: ![]() Она выражает общего вида поверхностный интеграл второго типа, распространенный на внешнюю сторону замкнутой поверхности, через тройной интеграл, взятый по телу, ограниченному этой поверхностью. Если привлечь к рассмотрению поверхностные интегралы первого типа, то получим другой, весьма употребительный и легко запоминаемый вид формулы Остроградского: ![]() где ![]() ![]() ![]() (Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 340 – 342с) 1.6 Некоторые приложения формулы Остроградского1) Представление объема тела поверхностными интегралами. Можно различными способами подобрать функции P, Q, R так, чтобы подынтегральное выражение в тройном интеграле оказалось равным единице, так что этот интеграл сведется к объему V тела (V). Таким образом, объем V представится в виде поверхностного интеграла, распространенного на ограничивающую тело (V) поверхность (S). Так, полагая в (4) поочередно ![]() придем к формулам: ![]() причем все интегралы взяты по внешней стороне поверхности (S). Удобной является более симметричная формула, отвечающая ![]() она имеет вид ![]() или – если перейти к интегралу первого типа ![]() (здесь ![]() ![]() Можно представить эту формулу еще иначе: если рассмотреть вектор ![]() ![]() и, окончательно, ![]() 2) Равновесие жесткой замкнутой поверхности. Докажем, что жесткая замкнутая поверхность, подвергнутая всестороннему давлению, остается в равновесии. С этой целью установим, что равны нулю главный вектор и главный момент (относительно какой-либо точки) всей системы приложенных е поверхности сил. Выделим элемент dS поверхности. Если через p= const обозначить давление, т.е. силу, действующая на dS по нормали к этому элементу, будет иметь проекции на оси ![]() (знак минус поставлен потому, что давление направлено внутрь поверхности, а ![]() ![]() Проекции ![]() ![]() Но все эти интегралы равны нулю, что видно из формулы Остроградского, если положить в ней ![]() Итак, главный вектор равен нулю. Для определения главного момента системы элементарных сил, скажем, относительно начала координат, просуммируем проекции на оси моментов этих элементарных сил: ![]() Таким образом, проекции главного момента давлений относительно начала будут: ![]() ![]() Если в формуле Остроградского взять P=0, Q=pz, R= -py, то получим, что ![]() ![]() 3) Закон Архимеда. Известно, что давление жидкости на погруженную в нее площадку направлено по нормали к площадке и равно весу столба жидкости, основанием которого служит эта площадка, а высотой – глубина погружения площадки. Допустим теперь, что в жидкость погружено твердое тело V; на каждый элемент dS его поверхности S по указанному закону давит жидкость. Требуется определить равнодействующую элементарных давлений и ее точку приложения. Для решения этой задачи выберем координатную систему, совместив плоскость xy со свободной поверхностью жидкости, а ось z направив вертикально вниз. Пусть удельный вес жидкости равен p, а глубина погружения элемента dS есть z; тогда испытываемое этим элементом давление будет ![]() а проекции его на оси ![]() В таком случае для проекций главного вектора на оси имеем: ![]() С помощью формулы Остроградского, как и в предыдущей задаче, легко получить ![]() Таким образом, главный вектор давлений направлен вертикально вверх и равен весу вытесненной телом жидкости. Рассмотрим теперь моменты элементарных сил относительно центра тяжести ![]() ![]() ![]() а для составляющих главного момента (относительно точки C) получим: ![]() ![]() ![]() Применяя к интегралу формулу Остроградского, найдем ![]() ибо интеграл ![]() ![]() ![]() ![]() Итак, главный момент давлений относительно центра тяжести тела равен нулю. Сопоставляя это утверждение с ранее доказанным предположением о главном векторе, приходим к такому заключению: на тело, погруженное в жидкость, со стороны последней действует сила, равная весу жидкости, вытесненной телом; эта сила приложена к центру тяжести (геометрического) тела и направлена вертикально вверх. (Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 342 – 345с) |