готовая курсовая 2. Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка)

• Название: Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка)
• Дата: 04.02.2023
• Размер: 0.52 Mb.
• Имя файла: готовая курсовая 2.docx
• Тип: Курсовая; #920250
• страница: 2 из 6

1.2 Физические приложения поверхностных интегралов первого типа

1. С помощью поверхностных интегралов можно определять массы, моменты, координаты центров тяжести и т.п. величины для материальных поверхностей, вдоль которых распределены массы с определенной в каждой точке поверхностной плотностью.

• 
  Масса оболочки
  

Пусть S представляет собой тонкую гладкую оболочку. Распределение массы оболочки описывается функцией плотности  . Тогда полная масса оболочки выражается через поверхностный интеграл первого рода по формуле:

• 
  Центр масс и моменты инерции оболочки
  

Пусть распределение массы m в тонкой оболочке описывается непрерывной функцией плотности  . Координаты центра масс оболочки определяются формулами

, , , где



так называемые моменты первого порядка относительно координатных плоскостей x=0, y=0 и z=0, соответственно.

Моменты инерции оболочки относительно осей   выражаются, соответственно, формулами:

.



Моменты инерции оболочки относительно плоскостей   определяются формулами

• 
  Сила притяжения поверхности
  

Рисунок3

Рисунок 4
П
усть задана поверхность S, а в точке  , не принадлежащей поверхности, находится тело массой m (рисунок 3,4)

Сила притяжения между поверхностью S и точечным телом m определяется выражением

,

где  , G −гравитационная постоянная,   − функция плотности.

• 
  Сила давления
  

Предположим, что поверхность S задана вектором r и находится под воздействием некоторой силы давления (это может быть плотина, крыло самолета, стенка баллона со сжатым газом и т.д.). Полная сила F, созданная давлением  , находится с помощью поверхностного интеграла по формуле:



Давление, по определению, действует в направлении вектора нормали к поверхности S в каждой точке. Поэтому, мы можем записать

, где n − единичный нормальный вектор к поверхности S.

• 
  Поток жидкости и поток вещества
  

Если в качестве векторного поля рассматривается скорость жидкости  , то поток через поверхность S называется потоком жидкости. Он равен объему жидкости, проходящей через поверхность S в единицу времени и выражается формулой



Аналогично, поток векторного поля  , где ρ − плотность, называется потоком вещества и определяется выражением



Он численно равен массе вещества, проходящего через поверхность S в единицу времени.

(Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 337 – 339с)
2. Притяжение простого слоя. Поверхностные интегралы первого типа естественно входят в рассмотрение при изучении притяжения масс, распределенных на поверхности.

Пусть по поверхности (S) непрерывным образом распределены массы с заданной в каждой точке M (x, y, z) поверхности плотностью

Пусть, далее, в точке находится единица массы. Требуется определить, с какой по величине и по направлению силой притягивается точка А поверхностью (S), если в основу положен ньютонов закон притяжения (закон всемирного тяготения).

Если бы точка А притягивалась одной лишь материальной точкой М (x, y, z) с сосредоточенной в ней массой m, то величина силы притяжения была бы равна



где r есть расстояние , т.е.



Так как эта сила направлена от А к М, то ее направляющие косинусы будут



В случае системы притягивающих материальных точек эти выражения заменились бы суммами подобных выражений; наконец, при непрерывном распределении масс по поверхности появится вместо суммы интегралы.

Применяя обычный прием изложения, можно было бы рассмотреть элемент dS поверхности с массой , как бы сосредоточенной в одной из его точек М (x, y, z). Оказываемое им на точку А притяжение будет иметь проекции на оси:



где r означает расстояние , выражаемое формулой (*). Теперь остается лишь просуммировать эти выражения, что приведет к следующим формулам для проекции силы притяжения простого слоя на оси :



Этим сила определена полностью как по величине, так и по направлению.

Если бы притягиваемая точка А и сама лежала на поверхности (S), то проекции притяжения на оси по-прежнему выражались бы этими интегралами, но на этот раз интегралы эти были бы несобственными, поскольку вблизи точки А подынтегральные функции все перестают быть ограниченными.
3.Потенциал простого поля
(Основано на Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. Санкт – Петербург: Лань, 1997 – 316 – 319с)