готовая курсовая 2. Курсоваяработ а по дисциплине Математический анализ Поверхностные интегралы и их приложения Выполнил(а) студент (ка)
![]()
|
1.3 Поверхностный интеграл II-го родаПоверхностный интеграл II-го рода определяется только для двусторонних поверхностей с заданной на них ориентацией. Определение поверхностного интеграла II-го рода. Пусть на гладкой двусторонней поверхности Ω выбрана некоторая сторона, в каждой точке M которой определено направление нормали ![]() ![]() Пусть поверхность Ω задается уравнением ![]() Обозначим через Dk проекции частей Ωk на плоскость OXY. В интегральную сумму будем включать площадь ![]() ![]() Таким образом, для верхней стороны поверхности интегральная сумма записывается в виде: ![]() а интегральная сумма для нижней стороны поверхности отличается знаком. Условимся обозначать верхнюю сторону поверхности Ω символом ![]() ![]() Определение 1. Пусть существует предел интегральных сумм (1) при бесконечном увеличении количества частей Ωk разбиения поверхности Ω и бесконечном уменьшении диаметров разбиения dT, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения поверхности Ω, ни от выбора точек Mk на частях Ωk. Тогда этот предел называется поверхностным интегралом второго рода от функции f по верхней стороне поверхности Ω и обозначается: ![]() Поверхностный интеграл по нижней стороне поверхности отличается знаком: ![]() Здесь символ dxdy под знаком интеграла указывает на то, что проектирование частей Ωk проводилось на плоскость OXY. Аналогичным образом поверхностный интеграл II-го рода определяется и для случая произвольной поверхности (не обязательно задаваемой уравнением ![]() ![]() Рисунок 5. К определению поверхностного интеграла 2 рода при предельном переходе вклад таких слагаемых в интегральную сумму мал. ![]() Если вместо плоскости OXY части разбиения Ωk проектировать на плоскость OXZ или на плоскость OYZ, то возникнут поверхностные интегралы II-го рода, которые принято обозначать ![]() соответственно. Причем использование в интегралах Ω или Ω зависит от выбора той или иной стороны поверхности Ω, которые, в свою очередь, теперь определяются углом между направлением нормали и положительным направлением оси OY или оси OX. В приложениях чаще всего встречаются соединения интегралов всех трех видов: ![]() где P(x,y,z), Q(x,y,z) и R(x,y,z) непрерывные функции, заданные на поверхности Ω. Для удобства можно считать, что на поверхности Ω задана векторная функция: ![]() Тогда, как и в случае поверхностных интегралов I-го рода, верна теорема: Теорема 1. Если Ω – кусочно-гладкая поверхность и векторная функция ![]() R(x,y,z), то поверхностный интеграл II-го рода (3) существует и определен однозначно. (Основано на Калинин В.В., Петрова И.В. К 18 Математика в нефтегазовом образовании. Теория и задачи: Учеб. пособие. − М.: РГУ нефти и газа им. И.М. Губкина, 2005. Вып. 3. Часть 2: Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы – 139- 142с) |