Курсовая по механике. Курсовая. Курсоваяработ а по разделу Динамика Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы

• Название: Курсоваяработ а по разделу Динамика Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы
• Анкор: Курсовая по механике
• Дата: 07.12.2022
• Размер: 237.48 Kb.
• Имя файла: Курсовая.docx
• Тип: Курсовая; #832610

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФГБОУ ВПО

ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической механики
К У Р С О В А Я Р А Б О Т А

по разделу «Динамика»

«Исследование колебаний механической системы

с одной степенью свободы»

Вариант № 4

Т У Л А 2022
Оглавление
Введение…………………………………………………………………………...3

1. Построение расчетной схемы………………………………………………...5

2. Составление дифференциального уравнения движения механизма…...6

3. Решение дифференциального уравнения движения механизма……….12

4. Определение реакций внешних и внутренних связей…………………...15

Литература……………………………………………………………………….18

Введение
Задача заключается в исследовании движения механизма с одной степенью свободы, изображенного на рис. 1. Определить реакции внешних и внутренних свя­зей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно гибкими. В качестве координаты, определяющей положение систе­мы, принять перемещение груза 1 – S. Качение катка 3 происходит без скольжения. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t).



Рис. 1
Данные для вычислений принять следующие:

Содержание работы
Дана механическая система, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством нерастяжимых нитей. Система снабжена упругой внешней связью с жесткостью С. Заданы инерционные и геомет­рические характеристики тел механической системы.

Требуется исследовать динамическое поведение механической системы, Опре­делить реакции внешних и внутренних связей. Трением скольжения и качения пре­небречь.

В расчетах принять следующие данные:

1. 
   Построение расчетной схемы
   

Расчетная схема изображенного на рис. 1 механизма образуется на основе его освобождения от несущественных связей путем замещения их соответствую­щими реакциями в силу известного принципа освобождаемости связей. Образо­ванная таким образом расчетная схема представлена на рис. 2.




Рис. 2

2. 
   Составление дифференциального уравнения движения механизма
   

Поскольку рассматриваемая механическая система обладает одной степенью подвижности, положения ее звеньев будут однозначно определяться координатой S. Следовательно, эта координата будет выступать в качестве обобщенной координаты в процессе математического описания движения исследуемой системы.

Для составления дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в виде
(2.1)
где – кинетическая энергия системы;

– сумма мощностей внешних сил;

– сумма мощностей внутренних сил.
Кинетическая энергия системы, показанной на рис. 2, слагается из кинетичес­ких энергий трех, составляющих механическую систему тел, т.е.
(2.2)
Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна:
(2.3)
Блок 2 совершает вращательное движение. Его кинетическая энергия равна:
(2.4)
И наконец, каток 3 совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия равна:
(2.5)
Кинетическая энергия всего механизма будет равна:
(2.6)
Выразим , и через скорость груза . Получим:
(2.7)
Подставляя зависимости (2.7) в выражение (2.6), получим:
(2.8)
где последнее выражение в скобках представляет собой приведенную массу механи­ческой системы, а именно:
(2.9)
С учетом приведенной массы механической системы (2.9) выражение для кине­тической энергии системы принимает следующий вид:
(2.10)
Производная функции кинетической энергии повремени равна:
(2.11)
Теперь переходим к вычислению правой части уравнения (2.1).

Как известно, мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения:
(2.12)
Рассматриваемая механическая система является неизменяемой, т.е. тела, вхо­дящие в систему, не деформируемы, и скорости их точек друг относительно друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей внутренних сил будет равна нулю:
(2.13)
Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, такими силами являются:

Сумма мощностей остальных сил определяется:
(2.14)
или, раскрывая скалярные произведения, будем иметь
(2.15)
С учетом кинематических соотношений (2.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду
(2.16)
Выражение для суммарной мощности внешних сил запишем в форме:
(2.17)
где – приведенная сила, которая равна
(2.18)
Преобразуем выражение (2.18). Упругую силу будем считать пропорциональ­ной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического и динамического удлинений, т.е.

причем из выражений (2.7) для следует, что

Тогда упругая сила будет равна:
(2.19)
С учетом (2.19) выражение для приведенной силы (2.18) можно записать:
(2.20)
В состоянии покоя, т.е. при , приведенная сила должна быть равна нулю. Получаем условие равновесия системы:
(2.21)
откуда заключаем, что

(2.22)
После подстановки (2.22) в (2.20) получим:
(2.23)
Подставляем выражение для производной от кинетической энергии (2.11) и сумму мощностей всех сил (2.17) с учетом (2.23) в уравнение (2.1). Тогда получаем дифференциальное уравнение движение механической системы:
(2.24)
Запишем дифференциальное уравнение (2.24) в виде:
(2.25)
где – циклическая частота свободных колебаний.

Запишем начальные условия движения:
(2.26)
Дифференциальное уравнение (2.25) совместно с начальными условиями (2.26) представляют собой математическую модель заданной механической системы в связи с решением второй задачи динамики.

3. 
   Решение дифференциального уравнения движения механизма
   

Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (2.25) склады­вается из общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е.

Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неодно­родному дифференциальному уравнению, имеет вид:
(3.1)
Решение этого уравнения ищем в виде функции:
(3.2)
Подставляя (3.2) в (3.1), получим:
(3.3)
Поскольку корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то общее решение дифференциального уравнения (3.1) принимает вид:
(3.4)
где – произвольные постоянные интегрирования, подлежащие отысканию из начальных условий.
(3.5)
(3.6)
После подстановки (3.5) и (3.6) в (3.4) получим:
(3.7)
Определяем частное решение неоднородного дифференциального уравнения:
(3.8)
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.8) ищем в виде правой части (3.8):
(3.9)
Подставляя (3.9) в (3.8) будем иметь:
(3.10)
откуда вытекают два алгебраических уравнения относительно произвольных по­стоянных А и В
(3.11)
Следовательно, частное решение неоднородного дифференциального уравне­ния (3.8) принимает окончательный вид:
(3.12)
Складывая решения (3.7) и (3.12), получаем общее решение дифференциально­го уравнения (2.25):
(3.13)
Полученная зависимость обобщенной координаты S от времени выражает закон движения заданной механической системы.

4. 
   Определение реакций внешних и внутренних связей
   

Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изобра­жаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 3).


Рис. 3
Определение реакций связей проводим с помощью теоремы об изменении ко­личества движения и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс. Так, для катка 3 будем иметь:
(4.1)
и
(4.2)
В соответствии с расчетными схемами на рис. 3 записываем уравнения (4.1) и (4.2) в проекциях на оси координат.

Тело 1

(4.3)
Тело 2

(4.4)

(4.5)

(4.6)
Тело 3

(4.7)

(4.8)

(4.9)
С учетом кинематических соотношений (2.7) система уравнений (4.3) – (4.9) приводится к виду:
(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.15)

(4.16)

(4.17)
Уравнения (4.10) – (4.17) составляют систему алгебраических уравнений отно­сительно функций:

Разрешая систему уравнений (4.10) – (4.17) относительно перечисленных неиз­вестных, получаем дифференциальное уравнение движение материальной системы и выражения для определения неизвестных реакций связей.
Литература:
1. Методические указания.

2. Конспекты лекций по разделу " Динамика ".

3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990. – 607 с.

4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Т.2. - М.: Высшая школа, 1984. - 424 с.

5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.2. – М.: Наука, 1979. – 544 с.

5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1988. - 482 с.