Курсовая по механике. Курсовая. Курсоваяработ а по разделу Динамика Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы
![]()
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФГБОУ ВПО ТУЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра теоретической механики К У Р С О В А Я Р А Б О Т А по разделу «Динамика» «Исследование колебаний механической системы с одной степенью свободы» Вариант № 4 Т У Л А 2022 Оглавление Введение…………………………………………………………………………...3 1. Построение расчетной схемы………………………………………………...5 2. Составление дифференциального уравнения движения механизма…...6 3. Решение дифференциального уравнения движения механизма……….12 4. Определение реакций внешних и внутренних связей…………………...15 Литература……………………………………………………………………….18 Введение Задача заключается в исследовании движения механизма с одной степенью свободы, изображенного на рис. 1. Определить реакции внешних и внутренних связей. Массами нитей и упругих элементов пренебречь. Нити считать нерастяжимыми и абсолютно гибкими. В качестве координаты, определяющей положение системы, принять перемещение груза 1 – S. Качение катка 3 происходит без скольжения. К грузу 1 приложена возмущающая сила F(t). ![]() Рис. 1 Данные для вычислений принять следующие: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Содержание работы Дана механическая система, представляющая собой совокупность абсолютно твердых тел, связанных друг с другом посредством нерастяжимых нитей. Система снабжена упругой внешней связью с жесткостью С. Заданы инерционные и геометрические характеристики тел механической системы. Требуется исследовать динамическое поведение механической системы, Определить реакции внешних и внутренних связей. Трением скольжения и качения пренебречь. В расчетах принять следующие данные: ![]() ![]() ![]() ![]() Построение расчетной схемы Расчетная схема изображенного на рис. 1 механизма образуется на основе его освобождения от несущественных связей путем замещения их соответствующими реакциями в силу известного принципа освобождаемости связей. Образованная таким образом расчетная схема представлена на рис. 2. ![]() Рис. 2 Составление дифференциального уравнения движения механизма Поскольку рассматриваемая механическая система обладает одной степенью подвижности, положения ее звеньев будут однозначно определяться координатой S. Следовательно, эта координата будет выступать в качестве обобщенной координаты в процессе математического описания движения исследуемой системы. Для составления дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в виде ![]() где ![]() ![]() ![]() Кинетическая энергия системы, показанной на рис. 2, слагается из кинетических энергий трех, составляющих механическую систему тел, т.е. ![]() Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия равна: ![]() Блок 2 совершает вращательное движение. Его кинетическая энергия равна: ![]() И наконец, каток 3 совершает плоскопараллельное движение. Его кинетическая энергия равна: ![]() Кинетическая энергия всего механизма будет равна: ![]() Выразим ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляя зависимости (2.7) в выражение (2.6), получим: ![]() где последнее выражение в скобках представляет собой приведенную массу механической системы, а именно: ![]() С учетом приведенной массы механической системы (2.9) выражение для кинетической энергии системы принимает следующий вид: ![]() Производная функции кинетической энергии повремени равна: ![]() Теперь переходим к вычислению правой части уравнения (2.1). Как известно, мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки ее приложения: ![]() Рассматриваемая механическая система является неизменяемой, т.е. тела, входящие в систему, не деформируемы, и скорости их точек друг относительно друга равны нулю. Поэтому сумма мощностей внутренних сил будет равна нулю: ![]() Будут равняться нулю и мощности некоторых внешних сил, приложенных в точках, скорости которых равны нулю. Как видно из расчетной схемы, такими силами являются: ![]() Сумма мощностей остальных сил определяется: ![]() или, раскрывая скалярные произведения, будем иметь ![]() С учетом кинематических соотношений (2.7) сумму мощностей внешних сил преобразуем к виду ![]() Выражение для суммарной мощности внешних сил запишем в форме: ![]() где ![]() ![]() Преобразуем выражение (2.18). Упругую силу будем считать пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины f равно сумме статического ![]() ![]() ![]() причем из выражений (2.7) для ![]() ![]() Тогда упругая сила будет равна: ![]() С учетом (2.19) выражение для приведенной силы (2.18) можно записать: ![]() В состоянии покоя, т.е. при ![]() ![]() откуда заключаем, что ![]() После подстановки (2.22) в (2.20) получим: ![]() Подставляем выражение для производной от кинетической энергии (2.11) и сумму мощностей всех сил (2.17) с учетом (2.23) в уравнение (2.1). Тогда получаем дифференциальное уравнение движение механической системы: ![]() Запишем дифференциальное уравнение (2.24) в виде: ![]() где ![]() Запишем начальные условия движения: ![]() Дифференциальное уравнение (2.25) совместно с начальными условиями (2.26) представляют собой математическую модель заданной механической системы в связи с решением второй задачи динамики. Решение дифференциального уравнения движения механизма Общее решение S неоднородного дифференциального уравнения (2.25) складывается из общего решения однородного ![]() ![]() ![]() Однородное дифференциальное уравнение, соответствующее данному неоднородному дифференциальному уравнению, имеет вид: ![]() Решение этого уравнения ищем в виде функции: ![]() Подставляя (3.2) в (3.1), получим: ![]() Поскольку корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные, то общее решение дифференциального уравнения (3.1) принимает вид: ![]() где ![]() ![]() ![]() После подстановки (3.5) и (3.6) в (3.4) получим: ![]() Определяем частное решение неоднородного дифференциального уравнения: ![]() Частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.8) ищем в виде правой части (3.8): ![]() Подставляя (3.9) в (3.8) будем иметь: ![]() откуда вытекают два алгебраических уравнения относительно произвольных постоянных А и В ![]() Следовательно, частное решение неоднородного дифференциального уравнения (3.8) принимает окончательный вид: ![]() Складывая решения (3.7) и (3.12), получаем общее решение дифференциального уравнения (2.25): ![]() Полученная зависимость обобщенной координаты S от времени выражает закон движения заданной механической системы. Определение реакций внешних и внутренних связей Для решения этой задачи расчленяем механизм на отдельные части и изображаем расчетные схемы отдельно для каждого тела (рис. 3). ![]() Рис. 3 Определение реакций связей проводим с помощью теоремы об изменении количества движения и теоремы об изменении кинетического момента относительно центра масс. Так, для катка 3 будем иметь: ![]() и ![]() В соответствии с расчетными схемами на рис. 3 записываем уравнения (4.1) и (4.2) в проекциях на оси координат. Тело 1 ![]() Тело 2 ![]() ![]() ![]() Тело 3 ![]() ![]() ![]() С учетом кинематических соотношений (2.7) система уравнений (4.3) – (4.9) приводится к виду: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнения (4.10) – (4.17) составляют систему алгебраических уравнений относительно функций: ![]() Разрешая систему уравнений (4.10) – (4.17) относительно перечисленных неизвестных, получаем дифференциальное уравнение движение материальной системы и выражения для определения неизвестных реакций связей. Литература: 1. Методические указания. 2. Конспекты лекций по разделу " Динамика ". 3. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1990. – 607 с. 4. Яблонский А.А. Курс теоретической механики. Т.2. - М.: Высшая школа, 1984. - 424 с. 5. Бутенин Н.В., Лунц Я.Л., Меркин Д.Р. Курс теоретической механики. Т.2. – М.: Наука, 1979. – 544 с. 5. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Наука, 1988. - 482 с. |