лабораторная. Лабораторная работа 1 Исследование типовых динамических звеньев Цель работы Изучение моделей типовых элементов в Simulink
![]()
|
Лабораторная работа № 1 Исследование типовых динамических звеньев Цель работы 1. Изучение моделей типовых элементов в Simulink. 2. Изучение команд создания моделей типовых элементов в Matlab. 3. Изучение влияния изменения параметров передаточных функций на вид временных и частотных характеристик типовых звеньев. Теоретическое обоснование В системах автоматического управления используют типовые звенья: усилительное; – интегрирующее; дифференцирующее; – реальное дифференцирующее; запаздывания; – форсирующее; инерционно-форсирующее; – апериодическое первого порядка; апериодическое второго порядка; – колебательное. Усилительное звено описывается уравнением y(t) = Ku(t), (1.1) которому соответствует передаточная функция ![]() где u(t), y(t) – входной и выходной сигналы, соответственно, K – коэффициент усиления, s – оператор Лапласа. Интегрирующее звено описывается интегральным уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция ![]() где U(s), Y(s) - изображение входного и выходного сигналов, соответственно. Дифференцирующее звено описывается уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция W(s) = TДs (1.6) где ТД- постоянная времени дифференцирования. Передаточная функция реального дифференцирующего звена имеет вид ![]() Звено чистого запаздывания определяет выходной сигнал как y(t) = u(t - ), (1.8) которому соответствует передаточная функция W(s) = e-s, (1.9) где - постоянная времени запаздывания. Форсирующее звено описывается дифференциальным уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция W(s) = K(1 + Ts). (1.11) Инерционно-форсирующее звено описывается уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция ![]() где Т0, Т – постоянные времени. Апериодическое звено первого порядка описывается уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция ![]() Апериодическое звено второго порядка описывается уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция ![]() Колебательное звено описывается дифференциальным уравнением второго порядка ![]() которому соответствует следующая передаточная функция ![]() где Т1, Т2 – постоянные времени. Описание работы На рис. 1.1 представлены модели типовых динамических звеньев, реализованные с помощью библиотеки моделей Simulink. ![]() Рис. 1.1. Моделирование временных характеристик типовых звеньев При подаче на вход звена ступенчатой функции в окне блока Scope, подключенного к выходу звена, появится изображение его переходной функции. На рис. 1.2 представлены результаты моделирования переходных функций типовых звеньев. При подаче на вход типового звена -функции в окне блока Scope появится изображение весовой функции. На рис. 1.3 представлены результаты моделирования весовых функций типовых звеньев. ![]() ![]() а) б) в) г) ![]() ![]() д) е) ж) з) ![]() и) к) Рис. 1.2. Результаты моделирования переходных функций типовых звеньев Пакет символьной математики (Symbolic Math Toolbox) предоставляет возможности аналитического исследования временных и частотных характеристик динамических звеньев. Программа исследования поведения апериодического звена ![]() k=3; %Коэффициент усиления T=2; %Постоянная времени h1=tf([k],[T,1]); %Передаточная функция при k=3 h2=tf([2*k],[T,1]); %Передаточная функция при k=6 h3=tf([4*k],[T,1]); %Передаточная функция при k=12 figure(1) %Задание области графиков step(h1,h2,h3),grid %Переходные функции figure(2) %Задание области графиков impulse(h1,h2,h3),grid %Весовые функции figure(3) %Амплитудные и фазовые bode(h1,h2,h3),grid %частотные характеристики figure(4) %Задание области графиков nyquist(h1,h2,h3),grid %Амплитудно-фазовые характеристики syms s %Ввод символьных переменных hp1=ilaplace(k/(s*(T*s+1))) %Обратное преобразование Лапласа hp2=ilaplace(2*k/(s*(T*s+1))) %изображений переходных функций hp3=ilaplace(4*k/(s*(T*s+1))) hi1=ilaplace(k/(T*s+1)) %Обратное преобразование Лапласа hi2=ilaplace(2*k/(T*s+1)) %изображений весовых функций hi3=ilaplace(4*k/(T*s+1)) ltiview(h1,h2,h3) %Просмотр характеристик. ![]() ![]() а) б) в) г) ![]() ![]() д) е) ж) з) ![]() и) к) Рис. 1.3. Результаты моделирования весовых функций типовых звеньев На рисунках 1.4 – 1.7 представлены результаты исследования апериодического звена в зависимости от коэффициента усиления k. Программа исследования поведения апериодического звена в зависимости от его постоянной времени представлена ниже. ![]() Рис.1.4. Переходные функции Рис. 1.5. Весовые функции ![]() Рис. 1.6. АЧХ и ФЧХ Рис. 1.7. Амплитудно-фазовые характеристики h1=tf([k],[T,1]); %Передаточная функция при Т=2 h2=tf([k],[2*T,1]); %Передаточная функция при Т=4 h3=tf([k],[4*T,1]); %Передаточная функция при Т=8 figure(1),step(h1,h2,h3),grid %Переходные функции figure(2),impulse(h1,h2,h3),grid %Весовые функции figure(3),bode(h1,h2,h3),grid %АЧХ и ФЧХ figure(4),nyquist(h1,h2,h3),grid %Амплитудно-фазовые характеристики syms s %Ввод символьных переменных hp1=ilaplace(k/(s*(T*s+1))) %Обратное преобразование Лапласа hp2=ilaplace(k/(s*(2*T*s+1))) %изображений переходных функций hp3=ilaplace(k/(s*(4*T*s+1))) hi1=ilaplace(k/(s+1)) %Обратное преобразование Лапласа hi2=ilaplace(k/(2*s+1)) %изображений весовых функций hi3=ilaplace(k/(4*s+1)) ltiview(h1,h2,h3) %Просмотр характеристик. Результаты исследования представлены на рис. 1.8 – 1.11. ![]() Рис.1.8. Переходные функции Рис. 1.9. Весовые функции ![]() Рис. 1.10. АЧХ и ФЧХ Рис. 1.11. Амплитудно-фазовые характеристики Определение временных и частотных характеристик инерционно-форсирующего звена ![]() k=3; %Коэффициент усиления T0=0.2; %Постоянная времени Т0 T=3; %Постоянная времени Т h1=tf(k*[T0,1],[T,1]); %Передаточная функция при k=3 h2=tf(2*k*[T0,1],[T,1]); %Передаточная функция при k=6 h3=tf(4*k*[T0,1],[T,1]); %Передаточная функция при k=12 figure(1),step(h1,h2,h3),grid %Переходные функции figure(2),impulse(h1,h2,h3),grid %Весовые функции figure(3),bode(h1,h2,h3),grid %АЧХ и ФЧХ figure(4),nyquist(h1,h2,h3),grid %АФХ syms s %Ввод символьных переменных hp1=ilaplace(k*(T0*s+1)/(s*(T*s+1))) %Обратное преобразование hp2=ilaplace(2*k*(T0*s+1)/(s*(T*s+1))) %Лапласа изображений hp3=ilaplace(4*k*(T0*s+1)/(s*(T*s+1))) %переходных функций hi1=ilaplace(k*(T0*s+1)/(T*s+1)) %Обратное преобразование hi2=ilaplace(2*k*(T0*s+1)/(T*s+1)) %Лапласа изображений hi3=ilaplace(4*k*(T0*s+1)/(T*s+1)) %весовых функций ltiview(h1,h2,h3) %Просмотр характеристик. Результаты исследования представлены на рис. 1.12 – 1.15. ![]() Рис.1.12. Переходные функции Рис. 1.13. Весовые функции ![]() Рис. 1.14. АЧХ и ФЧХ Рис. 1.15. Амплитудно-фазовые характеристики Определение характеристик инерционно-форсирующего звена в зависимости от постоянной времени представлены на рис. 1.16 – 1.19: h1=tf(k*[T0,1],[T,1]); %Передаточная функция при T=3 h2=tf(k*[T0,1],[2*T,1]); %Передаточная функция при T=6 h3=tf(k*[T0,1],[4*T,1]); %Передаточная функция при T=12 figure(1),step(h1,h2,h3),grid %Переходные функции figure(2),impulse(h1,h2,h3),grid %Весовые функции figure(3),bode(h1,h2,h3),grid %АЧХ и ФЧХ figure(4),nyquist(h1,h2,h3),grid %АФХ syms s %Ввод символьных переменных hp1=ilaplace(k*(T0*s+1)/(s*(T*s+1))) %Обратное преобразование hp2=ilaplace(k*(T0*s+1)/(s*(2*T*s+1))) %Лапласа изображений hp3=ilaplace(k*(T0*s+1)/(s*(4*T*s+1))) %переходных функций hi1=ilaplace(k*(T0*s+1)/(T*s+1)) %Обратное преобразование hi2=ilaplace(k*(T0*s+1)/(2*T*s+1)) %Лапласа изображений hi3=ilaplace(k*(T0*s+1)/(4*T*s+1)) %весовых функций ltiview(h1,h2,h3) %Просмотр характеристик ![]() Рис.1.16. Переходные функции Рис. 1.17. Весовые функции ![]() Рис. 1.18. АЧХ и ФЧХ Рис. 1.19. Амплитудно-фазовые характеристики Определение временных и частотных характеристик колебательного звена ![]() k=3; %Коэффициент усиления T1=0.1; %Постоянная времени Т1 T2=0.2; %Постоянная времени Т2 h1=tf(k,[T1*T2,T2,1]); %Передаточная функция при k=3 h2=tf(2*k,[T1*T2,T2,1]); %Передаточная функция при k=6 h3=tf(4*k,[T1*T2,T2,1]); %Передаточная функция при k=12 figure(1),step(h1,h2,h3),grid %Переходные функции figure(2),impulse(h1,h2,h3),grid %Весовые функции figure(3),bode(h1,h2,h3),grid %АЧХ и ФЧХ figure(4),nyquist(h1,h2,h3),grid %Амплитудно-фазовые характеристики syms s %Ввод символьных переменных hp1=ilaplace(k/(s*(T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Обратное преобразование hp2=ilaplace(k/(s*(2*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Лапласа изображений hp3=ilaplace(k/(s*(4*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %переходных функций hi1=ilaplace(k/(T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Обратное преобразование hi2=ilaplace(k/(2*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Лапласа изображений hi3=ilaplace(k/(4*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %весовых функций ltiview(h1,h2,h3) %Просмотр характеристик Результаты исследования представлены на рис. 1.20 – 1.23. ![]() Рис.1.20. Переходные функции Рис. 1.21. Весовые функции Определение временных и частотных характеристик колебательного звена ![]() k=3;T1=0.1;T2=0.2; %Коэффициент усиления, постоянные времени Т1,Т2 h1=tf(k,[T1*T2,T2,1]); %Передаточная функция при T1=0.1 h2=tf(k,[2*T1*T2,T2,1]); %Передаточная функция при T1=0.2 h3=tf(k,[4*T1*T2,T2,1]); %Передаточная функция при T1=0.4 figure(1),step(h1,h2,h3),grid %Переходные функции figure(2),impulse(h1,h2,h3),grid %Весовые функции figure(3),bode(h1,h2,h3),grid %АЧХ и ФЧХ figure(4),nyquist(h1,h2,h3),grid %АФХ syms s %Ввод символьных переменных hp1=ilaplace(k/(s*(T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Обратное преобразование hp2=ilaplace(k/(s*(2*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Лапласа изображений hp3=ilaplace(k/(s*(4*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %переходных функций hi1=ilaplace(k/(T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Обратное преобразование hi2=ilaplace(k/(2*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %Лапласа изображений hi3=ilaplace(k/(4*T1*T2*s^2+T2*s+1)) %весовых функций ltiview(h1,h2,h3) %Просмотр характеристик Результаты исследования представлены на рис. 1.24 – 1.27. ![]() Рис. 1.22. АЧХ и ФЧХ Рис. 1.23. Амплитудно-фазовые характеристики ![]() Рис.1.24. Переходные функции Рис. 1.25. Весовые функции ![]() Рис. 1.26. Амплитудно-частотные и Рис. 1.27. Амплитудно-фазовые характеристики фазо-частотные характеристики В пакете МАТLAB корни характеристического уравнения знаменателя определяют следующими командами: p=[2,1]; roots(p) %Корни апериодического звена p=[3,1]; roots(p) %Корни инерционно-форсирующего звена p=[0.1*0.2,0.2,1] %Корни колебательного звена roots(p). Задание 1. В соответствии с индивидуальным заданием в пакете Simulink построить модели типовых звеньев. Определить временные характеристики типовых звеньев при подаче ступенчатого и одиночного импульсного (-функции) входного сигнала. Моделирование одиночного импульсного сигнала осуществить с помощью последовательного соединения генератора ступенчатого сигнала и дифференцирующего звена. 2. В соответствии с индивидуальным заданием определить временные и частотные характеристики апериодического, инерционно-форсирующего и колебательного звена. Определить влияние на временные и частотные характеристики звеньев их параметров. Определить корни их характеристических уравнений. Выполнить обратные преобразования Лапласа переходных и весовых функций указанных звеньев. Содержание отчета Переходные и весовые функции типовых звеньев, полученные в пакете Simulink (рис. 1.1, 1.2, 1.3). Значения корней характеристических уравнений передаточных функций апериодического, инерционно-форсирующего и колебательного звеньев. Переходные и весовые функции, амплитудно-частотные, фазо-частотные и амплитудно-фазовые характеристики апериодического звена с анализом влияния коэффициента усиления k и постоянной времени Т. Переходные и весовые функции, амплитудно-частотные, фазо-частотные и амплитудно-фазовые характеристики инерционно-форсирующего звена с анализом влияния коэффициента усиления k и постоянной времени Т. Переходные и весовые функции, амплитудно-частотные, фазо-частотные и амплитудно-фазовые характеристики колебательного звена с анализом влияния коэффициента усиления k и постоянной времени Т1. Контрольные вопросы Дифференциальные уравнения и передаточные функции, описывающие типовые динамические звенья. Как создать в пакете Simulink модель реального дифференцирующего звена? Как создать в пакете Simulink модель колебательного звена? Как создать в пакете Simulink модель интегрирующего звена? Как создать в пакете Simulink модель реального дифференцирующего звена? С помощью, какой команды определяют переходные функции? С помощью, какой команды определяются весовые функции? С помощью, какой команды строят ЛАХ и ЛФХ? С помощью, какой команды строят АФХ? С помощью какой команды осуществляют обратное преобразование Лапласа изображения переходной функции? С помощью какой команды осуществляют обратное преобразование Лапласа изображения весовой функции? Напишите программу, позволяющую определять корни характеристического уравнения. |