Лабораторная работа 1 По дисциплине Основы теории управления Динамические характеристики типовых звеньев Студенты Белов А., Юдин Ф
![]()
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ КАФЕДРА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ ![]() Лабораторная работа №1 По дисциплине «Основы теории управления» Динамические характеристики типовых звеньев Студенты: Белов А., Юдин Ф. Дата сдачи: Преподаватель: Воевода А. А., д.т.н., профессор кафедры автоматики Оглавление1.Цель работы 3 2.Теоретические сведения 3 2.1 Апериодическое звено 3 2.2 Дифференцирующие звенья 8 2.3 Колебательное звено 9 2.4 Усилительное звено 11 2.5 Интегрирующее звено 11 2.6 Реально дифференцирующее звено 13 3.Ход работы 15 3.1 Апериодическое звено 15 3.2 Дифференцирующее звено 20 3.3 Колебательное звено 22 3.4 Усилительное звено 25 3.5 Интегрирующее звено 28 3.6 Реально дифференцирующее звено 31 Вывод 37 Цель работыИсследовать динамические характеристики типовых звеньев систем автоматического управления (САУ), а также познакомиться с представлением типовых звеньев структурными схемами. При выполнении лабораторных работ используется пакет программ Matlab/Simulink Теоретические сведения2.1 Апериодическое звеноОдно из самых часто встречающихся звеньев – апериодическое, которое описывается дифференциальным уравнением: ![]() и имеет передаточную функцию ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Они показаны на рисунке: ![]() Рисунок 1 — Переходная (2) и весовая (3) функции апериодического звена Обратите внимание, что предельное значение переходной характеристики равно ![]() ![]() ![]() примерно за время ![]() Частотная характеристика определяется выражением: ![]() Для каждой частоты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 2 – Диаграмма Найквиста; диаграмма Боде Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются на сопрягающей частоте ![]() ![]() На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен − 20 дБ/дек, так как степень знаменателя передаточной функции на единицу больше степени ее числителя. Фазовая характеристика меняется от 0 до −90°, причем на сопрягающей частоте ![]() Поскольку ЛАЧХ уменьшается на высоких частотах, апериодическое звено подавляет высокочастотные шумы, то есть обладает свойством фильтра низких частот. Для сравнения рассмотрим также неустойчивое апериодическое звено, которое задается уравнением ![]() Как видим, все отличие от (4) – только в знаке в левой части уравнения (плюс сменился на минус). Однако при этом кардинально меняются переходная и импульсная характеристики: ![]() ![]() ![]() Рисунок 3 – График переходной характеристики Обычно предполагается, что постоянная времени ![]() Интересно сравнить частотные характеристики устойчивого и неустойчивого апериодических звеньев с теми же коэффициентами усиления и постоянными времени. ![]() Рисунок 4 – ЛАЧХ и АФЧХ Из этого графика видно, что ЛАЧХ неустойчивого звена точно совпадает с ЛАЧХ аналогичного устойчивого, но отрицательный фазовый сдвиг значительно больше. Устойчивое апериодическое звено относится к минимально–фазовым звеньям, то есть его фаза по модулю меньше, чем фаза любого звена с такой же амплитудной характеристикой. Соответственно, неустойчивое звено – неминимально–фазовое. К неминимально–фазовым звеньям относятся все звенья, передаточные функции которых имеют нули или полюса в правой полуплоскости, то есть, с положительной вещественной частью. Для минимально–фазовых звеньев все нули и полюса передаточной функции находятся в левой полуплоскости (имеют отрицательные вещественные части). Например, при положительных постоянных времени ![]() ![]() – минимально–фазовое, а звенья с передаточными функциями ![]() ![]() – неминимально–фазовые. 2.2 Дифференцирующие звеньяДифференцирующее звено дает на выходе производную входного сигнала. Уравнение идеального дифференцирующего звена ![]() ![]() ![]() Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала ![]() ![]() ![]() ![]() Это физически нереализуемые функции, так как дельта-функцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное дифференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика дифференцирующего звена – прямая с наклоном 20 дБ/дек, пересекающая ось абсцисс ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 5 – Как-то надо подписать 2.3 Колебательное звеноКолебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида ![]() знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, ![]() Несложно представить передаточную функцию колебательного звена в форме ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() При ![]() ![]() Колебательное звено относится к позиционным звеньям, его статический коэффициент усиления равен ![]() Переходная и импульсная характеристики отличаются выраженной колебательностью, особенно при малых значениях параметра затухания ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 6 – Переходная и импульсная характеристики колебательного звена. Асимптотическая ЛАЧХ этого звена образована двумя прямыми, которые пересекаются на сопрягающей частоте ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 7 – Диаграмма Боде. На высоких частотах наклон ЛАЧХ равен − 40 дБ/дек, так как степень знаменателя передаточной функции на два больше степени ее числителя. Фазовая характеристика меняется от 0 до −180°, причем на сопрягающей частоте c ω она равна − 90°. При значениях ![]() ![]() ![]() В предельном случае при ![]() ![]() 2.4 Усилительное звеноЗвенья, имеющие конечный ненулевой коэффициент усиления постоянного сигнала, то есть ![]() Простейшее позиционное звено – идеальный (безынерционный) усилитель. Его передаточная функция ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в ![]() ![]() 2.5 Интегрирующее звеноПростейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую набирается вода. Входной сигнал – это поток воды через кран, выход системы – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень растет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал. Интегрирующее звено описывается уравнением ![]() которому соответствует передаточная функция ![]() ![]() Используя это решение для единичного скачка ( ![]() ![]() ![]() ![]() Для того, чтобы найти импульсную характеристику, вспомним, что интеграл от дельта-функции на любом интервале, включающем ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 8 – Переходная и импульсная характеристики. Частотная характеристика интегрирующего звена определяется формулой ![]() ![]() ![]() Рисунок 9 – ЛАЧХ и ЛФЧХ интегрирующего звена. На частоте ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.6 Реально дифференцирующее звеноВстречаются звенья, которые реагируют только на скорость изменения входного сигнала. Такие звенья называются реально дифференцирующими и описываются следующим уравнением: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Примером такого звена является RC-цепочка: ![]() Рисунок 10 – RC-цепочка. Формула передаточной функции: ![]() Частотные характеристики, а их графики приведены ниже: АФХ: ![]() АЧХ: ![]() ФЧХ: ![]() ![]() Рисунок 11 – частотные характеристики реального дифференцирующего звена, где а) – АЧХ, б) – ФЧХ, в) – АФХ. Из приведённых графиков об их поведении можно сделать следующие выводы: Верхний предел АЧХ реально дифференцирующего звена ограничен величиной, равной ![]() При увеличении частоты ФЧХ уменьшается от ![]() Для положительных частот АФХ является полуокружностью с ![]() ![]() Уравнение переходной функции в операторной форме можем получить следующим образом: ![]() ![]() Чтобы получить переходную функцию во временной области необходимо применить обратное преобразование Лапласа к предыдущей формуле: ![]() Весовая же функция находится путём взятия производной от ![]() ![]() Графики переходных функций можно увидеть ниже. ![]() Рисунок 12 – переходные характеристики реального дифференцирующего звена, где а) – переходная функция, б) – весовая функция. Ход работы3.1 Апериодическое звеноПостроим модель апериодического звена и выведем графики для различных характеристик. ![]() Рисунок 13 – Модель апериодического звена ![]() Рисунок 14 – Переходная характеристика апериодического звена h(t) ![]() Рисунок 15 – Импульсная характеристика апериодического звена w(t) ![]() Рисунок 16 – Синусоидальных сигнал апериодического звена ![]() Рисунок 17 – Диаграмма Боде ![]() Рисунок 18 – Диаграмма Найквиста ![]() Рисунок 19 – Точки, взятые для сравнения Разница -1,25 радиан (примерно -71 градус), что соответствует диаграмме Боде при частоте 1 ![]() Рисунок 20 – Сравнение ![]() Рисунок 21 – Перевод значения из радиан в градусы 3.2 Дифференцирующее звено![]() Рисунок 22 – Переходная характеристика дифференцирующего звена ![]() Рисунок 23 – Импульсная характеристика дифференцирующего звена ![]() Рисунок 24 – Синусоидальный сигнал дифференцирующего звена Из графика видно разницу между двумя сигналами: амплитуда та же, а фаза на 1.567 рад = 90 град сместилась, что подтверждается диаграммой боде. ![]() Рисунок 25 – Диаграмма боде для дифференцирующего звена при частоте 1 Колебательное звеноКолебательное звено – это звено второго порядка с передаточной функцией вида: ![]() Знаменатель которой имеет комплексно-сопряженные корни (то есть, ![]() ![]() Рисунок 26 – Схема переходной функции. ![]() Рисунок 27 – График переходной функции. ![]() Рисунок 28 – Схема импульсной характеристики. ![]() Рисунок 29 – График импульсной характеристики. ![]() Рисунок 30 – АЧХ и ФЧХ. ![]() Рисунок 31 – График диаграммы Найквиста. Усилительное звеноУсилительное звено – это звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна. Исследуем свойства модели усилителя: Его передаточная функция W(s) = k. При действии на вход единичного ступенчатого сигнала 1(t) (или дельта – функции ![]() ![]() Если на вход усилителя действует синусоидальный сигнал, на выходе он усиливается в k раз без изменения фазы, поэтому амплитудная и фазовая частотная характеристики не зависят от частоты входного сигнала: ![]() ![]() Рисунок 32 – Схема усилителя. ![]() Рисунок 33 – Переходная характеристика усилителя. ![]() Рисунок 34 – Схема усилителя (дельта-сигнал). ![]() Рисунок 35 – Переходная характеристика усилителя (дельта-сигнал). ![]() Рисунок 36 – Импульсная характеристика усилителя. ![]() Рисунок 37 – АЧХ и ФЧХ усилителя. 3.5 Интегрирующее звеноПостроим модель интегрирующего звена и выведем графики для различных характеристик. ![]() Рисунок 38 – Модель интегрирующего звена. ![]() Рисунок 39 – Переходная характеристика интегрирующего звена. ![]() Рисунок 40 – Импульсная характеристика интегрирующего звена. ![]() Рисунок 41 – ЛАЧХ (Диаграмма Боде) интегрирующего звена. ![]() Рисунок 42 – Диаграмма Найквиста интегрирующего звена. 3.6 Реально дифференцирующее звеноПостроим модель реального дифференцирующего (РД) звена для 2-х переходных функций ![]() ![]() ![]() Рисунок 43 – Модель реального дифференцирующего звена. ![]() Рисунок 44 – Переходная характеристика ![]() ![]() Рисунок 45 – Переходная характеристика ![]() ![]() Рисунок 46 – Амплитудно-частотная характеристика ![]() ![]() Рисунок 47 – Амплитудно-частотная характеристика ![]() ![]() Рисунок 48 – ЛАЧХ ![]() ![]() Рисунок 49 – ЛАЧХ ![]() ![]() Рисунок 50 – Диаграмма Найквиста для ![]() ![]() Рисунок 51 – Диаграмма Найквиста для ![]() ![]() Рисунок 52 – Сравнение графиков по синусоидальной характеристики для ![]() Фаза составила 1.481 рад, что равняется 84.85° и примерно равно значению 84.3°. ![]() Рисунок 53 – Сравнение графиков по синусоидальной характеристики для ![]() Фаза составила 1.549 рад, что равняется 88,75° и примерно равно значению 88.8°. ВыводВ ходе лабораторной работы были изучены динамические характеристики типовых звеньев систем автоматического управления и их вид в системе Matlab/Simulink. Новосибирск 2021 |