Лаба 1 вм. Лабораторная работа 1 по предмету Вычислительная математика Численные методы решение нелинейных уравнений Факультет авт группа авт415
 Скачать 23.27 Kb.
|
Лабораторная работа №1 по предмету «Вычислительная математика» Численные методы решение нелинейных уравнений Факультет: АВТ Группа: АВТ-415 Студент: Слинько И.А. Вариант: 16 Преподаватель: Зыбарев В.М. НОВОСИБИРСК 2016 Оглавление 1. Описание задания 3 1.1 Цель работы 3 1.2 Исходные данные, соответствующие варианту. 3 1.3. Описание задачи 3 2. Описание численных методов 3 2.1. Метод половинного деления 3 2.2 Метод хорд 4 2.3 Метод Ньютона 4 2.4 Метод простых итераций 5 2.5 Метод хорд и касательных 6 3. Результаты вычислений по методам, различия количества итераций при разных точностях 7 3.1. Метод половинного деления 7 3.2. Метод хорд 8 3.3. Метод Ньютона 8 3.4. Метод простых итераций 9 3.5. Метод хорд и касательных 9 Выводы 9 1. Описание задания 1.1 Цель работы 1. В соответствии с вариантом контрольного задания найти корни заданного нелинейного уравнения с точностью  тремя методами из 5 или иным методом по выбору, например:• методом хорд (2); • методом касательных (метод Ньютона) (3); • методом простых итераций (4). 2. Для каждого метода исследовать влияние заданной точности ε на число потребовавшихся итераций. 3. Сравнить методы по скорости сходимости и выбрать наиболее быстро сходящийся вычислительный процесс 4. Применить и сформулировать рекомендации по использованию средств МСАД для решения нелинейных уравнений. 5. Проанализировать результаты работы и сделать выводы. 1.2 Исходные данные, соответствующие варианту.
1.3. Описание задачи Необходимо вычислить заданное уравнение различными численными методами, сравнить результаты с внутренней формулой среды Mathcad и проверить методы на разных точностях вычислений, узнать особенности методов, смотря на различие в количествах итераций. 2. Описание численных методов Сначала выполняется отделение корней при помощи построения графика заданной функции и графика функции y=0. Узнаем целочисленный интервал, где графики пересекаются. Потом всеми методами ищем корни уравнения в заданном промежутке. 2.2 Метод хорд Этот метод при тех же предположениях обеспечивает более быстрое нахождение корня, чем метод половинного деления. Для этого отрезок [a, b] делится не пополам, а в отношении |f(a)|:|f(b)|. Геометрически метод хорд эквивалентен замене кривой y=f(x) хордой, проходящей через точки (a,f(a)) и (b,f(b)). Уравнение хорды AB имеет вид: Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме: если на , то , , ; если на , то , , . Приближенное решение и погрешность приближения : , . 2.3 Метод Ньютона Классический метод Ньютона или касательных заключается в том, что если — некоторое приближение к корню уравнения , то следующее приближение определяется как корень касательной к функции , проведенной в точке . Уравнение касательной к функции в точке имеет вид: В уравнении касательной положим и . Тогда алгоритм последовательных вычислений в методе Ньютона состоит в следующем: Сходимость метода касательных квадратичная, порядок сходимости равен 2. Таким образом, сходимость метода касательных Ньютона очень быстрая. Геометрическая интерпретация метода Ньютона состоит в следующем. Задается начальное приближение x(0). Далее проводится касательная к кривой y=f(x) в точке x(0), т.е. кривая заменяется прямой линией. В качестве следующего приближения выбирается точка пересечения этой касательной с осью абсцисс. Процесс построения касательных и нахождения точек пересечения с осью абсцисс повторяется до тех пор, пока приращение не станет меньше заданной величины ε. Теорема о достаточных условиях сходимости метода Ньютона. Пусть выполняются следующие условия: 1. Функция f(x) определена и дважды дифференцируема на [a, b]. 2. Отрезку [a, b] принадлежит только один простой корень x∗, так что f(a)⋅f(b)<0. 3. Производные f′(x),f′′(x) на [a, b] сохраняют знак, и f′(x)≠0. 4. Начальное приближение x(0) удовлетворяет неравенству f(x(0))⋅f′′(x(0))>0 (знаки функций f(x) и f′′(x) в точке x(0) совпадают). Тогда с помощью метода Ньютона можно вычислить корень уравнения f(x)=0 с любой точностью. 2.4 Метод простых итераций Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме: - уравнение приводится к виду , где функция удовлетворяет условиям: , дифференцируема на данном отрезке и ; - строится итерационная последовательность вида , , где выбирается произвольно из данного отрезка, например, ; - полагая приближенное значение корня , для погрешности получим , а так как по условию , то итерационный процесс продолжим до выполнения условия , при этом приближенное значение корня определяется как . Приближенное решение и погрешность приближения : , . Ищем ф(х) в виде х + λ*f (х) . Подбираем такое значение параметра λ при котором выполняется достаточное условие сходимости метода: |ф'(х)| <1. Результаты подбора контролируем с помощью графиков. Выводы Комбинированный метод хорд и Ньютона среди показанных самый быстрый, так как использует быстродейственный метод Ньютона совместно с методом хорд. При увеличении точности количество итераций меняется заметно меньше, чем при использовании других методов. |
