решение уравнений маткад. Нелин_уравнения. Практическая работа 5 Численное решение нелинейных уравнений в Mathcad (метод простых итераций)

Название	Практическая работа 5 Численное решение нелинейных уравнений в Mathcad (метод простых итераций)
Анкор	решение уравнений маткад
Дата	24.02.2021
Размер	318.5 Kb.
Формат файла
Имя файла	Нелин_уравнения.doc
Тип	Практическая работа #179215

Практическая работа №5

Численное решение нелинейных уравнений в Mathcad (метод простых итераций)

Цель работы:

научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода простых итераций;

Задание №1. Решить нелинейное уравнение методом итераций.

Метод простых итераций является одним из наиболее важных способов численного решения уравнений. Этот метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение

f(x)=0, (1)

где f(x)  непрерывная функция, требуется определить вещественные корни этого уравнения. Запишем уравнение (1) равносильным уравнением

x= (x) (2)

Выберем каким-либо способом, например графически, приближенное значение корня x₀ и подставим его в правую часть уравнения (2). Получим некоторое число

x₁= (x₀) (3)

Подставим теперь в правую часть уравнения (3) вместо x₀ число x₁. Получим новое число x₂= (x₁). Повторяя этот процесс, получим последовательность чисел x_n= (x_n_-1) (n=1,2,…). Если эта последовательность сходится, то найдется число

, которое и будет корнем уравнения (2). Итерационный процесс x_n= (x_n_-1) сходится, если . Критерием окончания итерационного процесса является выполнение неравенства

, где ε<1  погрешность вычислений.

Рассмотрим реализацию алгоритма метода простых итераций в Mathcad на следующем примере.

Найти действительные корни уравнения

x-sin(x)=0.25

с точностью до трех значащих цифр.

Установим формат чисел так, чтобы результаты вычислений отображались с нужным количеством знаков после десятичной точки (запятой).
Для получения приближенного значения корня данного уравнения запишем его следующим образом:

f(x):sin(x)+0.25

g(x):x

Заметим, что функция f(x) является итерирующей функцией метода простых итераций.
Построим графики функций f(x) и g(x), точка пересечения которых и даст приближенное значение корня исходного уравнений. Этим значением будет x₀=1.2.
Определим начальное значение для вычислений следующим образом: x₀:1.2.
Определим функцию первой производной итерирующей функции f(x) для проверки условия сходимости, вызвав, оператор дифференцирования из палитры вычислений (Calculus Palette):

d(x):

.

Вычислим значение функции d(x) в точке x₀=1.2. Так как d(1.2)=0.3624<1, можно продолжать вычисления.

Определим дискретный аргумент i:=0..9, задающий количество вычисляемых значений x_i.
Определим функцию вычисления приближений методом последовательных приближений в векторной форме:

x_i+1:f(x_i)

Для получения вектора результатов в свободном месте рабочего пространства Mathcad напишите: x=. Обратим внимание на то, что начиная с четвертого значения элементы вектора результатов остаются неизменными до трех знаков после десятичной точки (запятой). Это говорит о том, что сходимость результата с точностью до трех знаков достигнута на пятой итерации. Введите условие оценки погрешности вычислений . Результат вычислений погрешности выведите на экран. Корнем уравнения будет x₄=1.1719.

Результат на экране:

Система уравнений для поиска приближенного решения графическим способом.

Графики функций f(x) и g(x). Точка пересечения этих графиков дает при-ближенное решение уравнения

Начальное значение для вычисления приближений.

роверка условия сходимости приближений.

Д

искретный аргумент, задающий количество вычисляемых значений x_i.

Функция вычисления приближений.
Вектор результатов Оценка погрешности вычислений

Так как по условию погрешность вычислений не должна различаться в трех значащих цифрах после десятичной точки (ε₄ и ε₅ не различаются в трех цифрах после десятичной точки), в качестве корня уравнения выбираем x₄

К

орень исходного нелинейного уравнения.

Задачи для самостоятельного решения.

Методом простых итераций с точностью до трех значащих цифр решить следующие уравнения.

x³-x-1=0
x⁵-x-0.2=0

Практическая работа №6

Численное решение нелинейных уравнений в Mathcad (метод бисекции)

Цель работы:

научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода бисекции (половинного деления).

Задание №1. Решить нелинейное уравнение методом бисекции.

Метод бисекции (половинного деления) состоит в следующем.

Пусть дано уравнение

f(x)=0, (1)

где f(x)  непрерывная функция на [a, b] и f(a)f(b)<0. Требуется определить вещественные корни этого уравнения. Для нахождения корня уравнения на отрезке [a, b] нужно разделить этот отрезок пополам. Если

, то

является корнем уравнения. Если

, то выбираем ту из половин отрезка [a, b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый, суженный отрезок [a1, b1] снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т. д.

Рассмотрим реализацию алгоритма метода половинного деления в

Mathcad на следующем примере.

Найти действительный корень уравнения

x⁴+2x³-x-1=0.

Деление продолжать до получения отрезка длиной ε ≤ 10^-3.

Определите левую часть нелинейного уравнения как функцию f(x).
Построим график функции f(x), точка пересечения которого с осью и даст приближенное значение корня исходного уравнения. Определим по графику значения концов отрезка, содержащего корень уравнения: a=0, b=1.
Задайте значения концов отрезка [a, b] в векторной форме. Для этого, используя палитру векторов и матриц, получите, оператор вектора на два элемента и заполните его идентификаторами концов отрезка a₀ и b₀. При помощи клавиши пробела выведите курсор за знак оператора, нажмите клавишу :, введите еще один оператор вектора на два элемента и заполните его значениями концов отрезка: 0 и 1.
Задайте дискретную переменную i (от 0 до 10), определяющую количество этапов деления отрезка [a, b], за которое мы рассчитываем получить решение уравнения.
Определите формулы вычисления концов отрезка на каждом этапе деления его пополам. На отрезке [a_i, b_i] серединой будет точка .

Если

(знаки функции на концах разделенного отрезка разные), то начало нового отрезка для вычислений a_i₊₁ совпадет с a_i, т.е. a_i₊₁=a_i. В противном случае (знаки функции на концах разделенного отрезка одинаковые) a_i₊₁ совпадет с точкой половинного деления отрезка, т.е.

.

Подобная операция необходима для другого конца отрезка [a_i, b_i], для b_i. Если

, то конец нового отрезка для вычислений b_i₊₁ совпадет с точкой половинного деления отрезка, т.е.

; в противном случае b_i₊₁ совпадет с концом отрезка [a_i, b_i], т.е. b_i₊₁=b_i. Если же

, то точка будет являться корнем нелинейного уравнения. Для реализации описанного процесса в Mathcad запишем формулы для определения начала и конца разделенного отрезка, воспользовавшись условным оператором if в векторной форме. Такая форма записи позволяет в вычислениях Mathcad использовать результаты предыдущих операций. Введем оператор вектора на три элемента и заполним его идентификаторами искомых величин a_i₊₁, b_i₊₁, g_i (g_i  для вычисления

). Введем знак присвоения и еще один оператор вектора на три элемента. Последний оператор заполните следующими формулами:

Условный оператор if работает следующим образом. Если логическое выражение, записанное в скобках, истинно, то переменная слева от знака := принимает значение выражения или величины, стоящей первой после логического выражения, в противном случае переменной присваивается значение выражения, или величины, стоящей на втором месте после логического выражения.

Чтобы увидеть результат вычислений, введите последовательно a=, b=, g=. Вектор a покажет начала всех разделенных отрезков, b  концы этих отрезков. Вектор g содержит значения функции f(x) в серединах всех отрезков [a, b]. Среди значений вектора a или вектора b будет корень исходного уравнения.
Определим корень уравнения следующим образом. Вычислим длину отрезка [a_i, b_i] i=0,…,10, определив ее как . Проанализируем значения вектора ε. Найдем элемент вектора, значение которого меньше заданной в условии задачи минимальной длины отрезка [a_i, b_i]. В нашем примере это значение элемента ε₁₀. Корнем уравнения будет значение .

Результат на экране:

Л

евая часть нелинейного уравнения, определенная как функция f(x).

Локализация корня уравнения.

Значения концов отрезка [a, b] в векторной форме

Д

искретная переменная i.

Формулы для определения начала и конца отрезка и определения значения f(x) в середине отрезка.

Значения длины вычисляемых отрезков.
Р

езультаты вычислений.

Длина отрезка [a₁₀, b₁₀] < 10^-3.
З

начение f(x) наиболее близкое к нулю.

К

орень уравнения, который можно принять для десяти этапов деления отрезка.
Задачи для самостоятельного решения.

Методом бисекции (половинного деления) уточнить корень уравнения.

x³+x-1000=0 с точностью до 10^-4.
tg(x)=x на отрезке с точностью до 0.0001.

Практическая работа №7

Численное решение нелинейных уравнений в Mathcad (метод Ньютона)

Цель работы:

научиться решать нелинейное уравнение в Mathcad, используя вычислительный алгоритм метода Ньютона (метод касательных).

Задание №1. Решить нелинейное уравнение методом Ньютона.

Знаменитый метод Ньютона является одним из наиболее эффективных способов численного решения нелинейных уравнений. Этот метод состоит в следующем. Пусть дано уравнение

f(x)=0, (1)

где f(x)  непрерывная функция, требуется определить вещественные корни этого уравнения с точностью ε. Расчетная формула метода Ньютона имеет следующий вид

(2)

Выберем каким-либо способом, например, графически, приближенное значение корня x₀ и, подставляя его в правую часть уравнения (2), можем начать итерационный процесс вычисления корня уравнения.

Условием завершения итерационного процесса является выполнение условия

(3)

В случае выполнения неравенства (3), корнем уравнения (1) будем считать значение x_k₊₁.
Рассмотрим реализацию алгоритма метода Ньютона в Mathcad на следующем примере.

Найти действительные корни уравнения

с точностью до трех значащих цифр.

Установим формат чисел так, чтобы результаты вычислений отображались с нужным количеством знаков после десятичной точки (запятой).
Преобразуем заданное уравнение к виду (1) и определим его правую часть как функцию f(x).
Определим приближенное значение корня уравнения графически. Для этого построим график функции . Этим значением будет значение x=a в точке пересечения графика функции с осью абсцисс.
Определим начальное значение для вычислений следующим образом:

x₀:a.

Определим дискретный аргумент k:=0..9, задающий количество итераций (вычисляемых значений x_k).
Определим первую производную функции f(x) как функцию d(x):

Определим вычислительную формулу Ньютона в векторной форме:

Для получения вектора результатов в свободном месте рабочего пространства Mathcad напишите: x=. Введите условие оценки погрешности вычислений . Результат вычислений погрешности выведите на экран. Корнем уравнения будет x₂=1.171.