Лабораторная работа 2 наилучшая аппроксимация результатов наблюдения. Постановка задачи

• Название: Лабораторная работа 2 наилучшая аппроксимация результатов наблюдения. Постановка задачи
• Дата: 19.12.2021
• Размер: 47.65 Kb.
• Имя файла: Lab-1.docx
• Тип: Лабораторная работа; #309160

Лабораторная работа №2

1. 
   НАИЛУЧШАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЯ.
   

1.1.Постановка задачи
Используя метод наименьших квадратов для опытных данных, определить наилучшую аппроксимацию из набора , , , .

Значения координат точек приведены в таблице 1.1

Координаты точек Таблица1.1

	1	2	3	4	5	6	7
	0.58	0.76	0.99	1.14	1.53	2.02	2.26
	0.91	0.06	0.85	0.57	0.57	1.76	2.85

Построить заданные точки и наилучшую аппроксимирующую кривую.

1.2 Теоретический материал
Поиск параметров аппроксимирующих функций происходит с использованием метода наименьших квадратов (МНК). В методе разыскивается минимум функций, составленный в виде суммы квадратов отклонений теоретических значений от экспериментальных.

(1.2)

С учётом (1.1) формула (1.2) перепишется:

(1.3)

Минимум функции (1.3) ищется из условий равенства нуля и ее частных производных по неизвестным квадратам.

(1.4)

Вычисляя производные получим следующие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).



(1.5)



В матричном виде система (1.5) запишется в виде:

(1.6)

Где , , (1.7)

Решение параметров аппроксимирующей функции по МНК сводится к решению СЛАУ (1.6) с матрицами (1.7).

МНК можно использовать для функций, которые не являются полиномами, но для этого изменяют начальные данные. Проводят линиаризацию.
1.3 Программирование МНК в Mathcad
Для построения аппроксимирующей функции в Mathcad необходимо следовать следующему алгоритму.

• 
  Задаём n – количество координат. Но не забываем, что отсчёт в программе ведётся с 0, поэтому задаём на одно значение меньше.
  
• 
  С помощью встроенной функции READPRN вывести в программу полученные столбцы х и у.
  
• 
  Так как аппроксимация P1(x) и P2(x) похожи, то объединим их в одну программу.
  
• 
  P1 присваиваем Add line и начинаем программу. Присваиваем X_k,j и Y_k формулы и соответственно. K и j задаём от 0 и в первом случае до 1 (так как Р1(х)- полином первого порядка), а во втором соответственно до 2
  
• 
  С помощью формулы (1.5) вычисляем C и С2.
  
• 
  Записываем формулы полиномов Р1(х) и Р2(х).
  

• 
  Находим среднеквадратичное отклонение Q для каждого полинома по формуле:
  

• 
  Так как мы можем вывести только одно значение, а нам нужно вывести Q1, Q2, P1, P2, то выведем всё матрицей Н.
  
• 
  Н_d,0 (где d- строки от 0 до n, а 0 – первый столбец) присваиваем P1(x_d). Второму столбцу присваиваем значение Q1, третьему – значение P2(x_d), а четвертому – Q2.
  
• 
  Выводим матрицу Н .
  
• 
  P1_0,1 выдаст нам значение Q1, P1_0,3 соответственно Q2.
  
• 
  Строим два графика. На одном по оси «игрек» задаём y (начальная функция) и Р1⁽⁰⁾ – первый столбец матрицы (значения P1(x)), а по оси «иксов» - x. На втором всё так же, но вместо Р1⁽⁰⁾ - Р1⁽²⁾
  
• 
  Так как аппроксимация U(x) и V(x) похожи, то объединим их в одну программу.
  
• 
  Логарифмируем значения x и y.
  
• 
  Далее делаем всё тоже самое как для полинома 1 порядка.
  
• 
  Когда нашли C3 и С4 вводи а3 и а4 и присваиваем им .
  
• 
  Записываем:
  

• 
  Среднеквадратичное отклонение Q3, Q4 находим по формуле выше.
  
• 
  Далее вводим так же матрицу и выводим её.
  
• 
  Проводим все те же действия и выводим графики.
  
• 
  Программа и полученные графики приведены на рис.1.1.
  

Рис.1.1. Решение в Mathcad


1.4 Вывод

В данной работе мы аппроксимировали данные в программе Matchad, из получившихся результатов построили графики. Наилучшей аппроксимацией оказался . Данный вывод был сделан по значению среднеквадратичного отклонения (оно наименьшее из всех), так же это наглядно видно по графикам.