ЛР № 48. Лабораторная работа 48 изучение спектра атома водорода. Определение постоянной ридберга цель работы Исследовать спектр атомарного водорода, вычислить постоянную Ридберга. Теоретическое введение
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
1 ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 48 ИЗУЧЕНИЕ СПЕКТРА АТОМА ВОДОРОДА. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННОЙ РИДБЕРГА Цель работы: Исследовать спектр атомарного водорода, вычислить постоянную Ридберга. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ Изолированные атомы излучают спектр, состоящий из отдельных спектральных линий. Линии в спектрах атомов расположены не беспорядочно, а объединяются в группы, называемые спектральными сериями. Каждый элемент излучает характерный только для него спектр. Наиболее простой спектр имеет атом водорода. Длины волн его спектральных линий с достаточной точностью могут быть рассчитаны по формуле Бальмера: 1 𝜆 = 𝑅 ( 1 𝑛 𝑖 2 − 1 𝑛 𝑗 2 ), (1) где 𝜆 − длина волны спектральной линии, R − постоянная Ридберга, 𝑛 𝑖 , 𝑛 𝑗 − целые числа. Каждой серии спектра атома водорода соответствует свое определенное значение 𝑛 𝑖 Значения 𝑛 𝑗 представляют собой последовательный ряд целых чисел от ( 𝑛 𝑗 + 1) до ∞. Экспериментально установлено, что спектр водорода представляет собой совокупность спектральных серий, соответствующих значениям 𝑛 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5. Видимая область спектра описывается серией Бальмера, для которой 𝑛 𝑖 = 2, 𝑛 𝑗 = 3, 4, 5, … . Для объяснения закономерностей, наблюдаемых в спектре атома водорода, Бор выдвинул следующие постулаты. 1. Среди бесчисленного множества круговых электронных орбит, возможных с точки зрения классической механики, осуществляются в действительности только те орбиты, называемые стационарными, находясь на которых электроны не испускают энергии. 2 Стационарными могут быть только те орбиты, на которых момент импульса электрона принимает дискретный ряд значений: 𝑚𝑣𝑟 = 𝑛ℏ, (2) ℏ = ℎ 2𝜋 − постоянная Планка, 𝑚 − масса электрона, 𝑣 − скорость электрона на стационарной орбите, 𝑛 − номер орбиты, 𝑟 − радиус орбиты. 2. Атом излучает или поглощает энергию, если электрон переходит из одного стационарного состояния в другое. Величина энергии излучаемого светового кванта равна разности энергии тех стационарных состояний, между которыми происходит переход электрона. 𝐸 𝑗 − 𝐸 𝑖 = ℎ𝜈. (3) Рис. 1. Применяя классическую механику к движению электрона в атоме водорода, получим уравнение движения электрона в поле ядра: 𝑚𝑣 2 𝑟 = 𝑘 𝑍𝑒 2 𝑟 2 ; 𝑍 = 1, (4) где 𝑘 = 1 4𝜋𝜀 0 = 9 ∙ 10 9 м Ф , 𝑒 − заряд электрона, равный − 1,6 ∙ 10 −19 Кл. Решая совместно уравнения (2) и (4), получим для радиусов стационарных орбит электрона 3 𝑟 𝑛 = 𝑛 2 ℏ 2 𝑘𝑚𝑒 4 , где 𝑛 − номер орбиты. Это выражение можно записать в виде: 𝑟 𝑛 = 𝑛 2 𝑟 1 , где 𝑟 1 = ℏ 2 𝑘𝑚𝑒 4 = 53 пм − радиус первой орбиты. Полная энергия электрона, равная сумме кинетической 𝐸 𝑘 = 𝑚𝑣 2 2 и потенциальной 𝐸 𝑝 = −𝑘 𝑒 2 𝑟 , определяется следующим выражением: 𝐸 𝑛 = − 1 𝑛 2 ∙ 𝑘 2 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 . (5) Следовательно, 𝐸 𝑛 = 𝐸 1 𝑛 2 , где 𝐸 1 = − 𝑘 2 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 = −13,55 эВ – энергия электрона на первой орбите. Таким образом, радиус и полная энергия электрона в атоме водорода квантуются, то есть принимают дискретный ряд значений. На рисунке 2 приведена схема энергетических уровней атома водорода. Подставляя выражение (5) в (3), получаем: ℎ𝜈 = 𝑘 2 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 ( 1 𝑛 𝑖 2 − 1 𝑛 𝑗 2 ). Так как ℏ = ℎ 2𝜋 и 𝜈 = с 𝜆 , получаем: 1 𝜆 = 𝑘 2 𝑚𝑒 4 2𝜋 2 ℎ 3 𝑐 ( 1 𝑛 𝑖 2 − 1 𝑛 𝑗 2 ), Откуда постоянная Ридберга: 𝑅 = 𝑘 2 𝑚𝑒 4 2𝜋 2 ℎ 3 𝑐 = 1,097 ∙ 10 7 м −1 (6) Чем больше электронов имеет атом, тем сложнее схема его энергетических уровней и спектр. 4 Рис. 2. Схема энергетических уровней атома водорода Наиболее полно спектры излучения атомов объясняет квантовая механика. Теория Бора сыграла роль переходного этапа от классической физики к квантовой теории. В основе развития квантовой механики лежали теория Бора и гипотеза де Бройля, согласно которой всем микрочастицам, кроме корпускулярных свойств, присущи также и волновые свойства. В квантовой механике введена волновая функция 𝛹(х, у, 𝑧, 𝑡), описывающая поведение частиц в микромире. Физический смысл имеет квадрат модуля волновой функции | 𝛹| 2 , который определяет вероятность 𝑑𝑊 того, что частица находится в пределах объема 𝑑𝑉 𝑑𝑊 = |𝛹| 2 = 𝛹𝛹 ∗ 𝑑𝑉, 5 где 𝛹 ∗ − функция комплексно сопряженная функции 𝛹. Пси-функция удовлетворяет условию нормировки: ∫ 𝛹𝛹 ∗ 𝑑𝑉 ∞ ∞ = 1. Данный интеграл дает вероятность достоверного события, так как микрочастица находится где-то в пространстве, а интегрирование проводится по всему пространству. То обстоятельство, что | 𝛹| 2 характеризует плотность вероятности местонахождения микрочастицы, накладывает на волновую функцию совокупность требований, называемых стандартными условиями. По стандартным условиям функция должна быть однозначной, непрерывной, конечной и иметь непрерывную и конечную производную. Волновую 𝛹 − функцию находят решая основное уравнение квантовой механики – уравнение Шредингера: − ℏ 2 2𝑚 ∆𝛹 + 𝑈(х, у, 𝑧, 𝑡)𝛹 = 𝑖ℏ 𝜕𝛹 𝜕𝑡 , где ∆ = 𝜕 2 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝜕𝑧 2 − оператор Лапласа, 𝑚 − масса частицы. Для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит явно от времени, то есть: 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝛹(х, у, 𝑧, 𝑡) = 𝛹(х, у, 𝑧, 0) = 𝛹(х, у, 𝑧) и 𝐸 = 𝑝 2 2𝑚 + 𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 – система консервативна и уравнение Шредингера принимает вид: ∆𝛹 + 2𝑚 ℏ 2 (𝐸 − 𝑈)𝛹 = 0 𝛹 = 𝛹(х, у, 𝑧). Здесь Е – полная энергия частицы, 𝑈 − потенциальная энергия частицы. Потенциальная энергия электрона в атоме водорода равна: 𝑈 = − 𝑘𝑒 2 𝑟 6 и уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода можно записать в виде: ∆𝛹 + 2𝑚 ℏ 2 (𝐸 + 𝑘𝑒 2 𝑟 ) 𝛹 = 0. (7) Решая уравнение (7), мы получим, при любых положительных значениях Е > 0 (что соответствует энергии электрона вне атома), энергия свободного электрона может принимать любые значения. При Е < 0, (что соответствует энергии электрона, находящегося в поле ядра, то есть в пределах атома), решение уравнения (7) ищется в сферических координатах. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнение такого вида имеет решения, удовлетворяющие условиям однозначности, конечности и непрерывности, не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых дискретных его значениях. В частности, для уравнения (7) при значениях энергии: 𝐸 𝑛 = − 1 𝑛 2 ∙ 𝑘 2 𝑚𝑒 4 2ℏ 2 , n = 1, 2, 3… (8) Это выражение в точности совпадает с выражением (5), полученным Бором. Кроме того, решение уравнения Шредингера в сферических координатах определяет величину момента импульса электрона и его проекцию на выбранное направление. Детальный анализ показывает, что момент импульса электрона может иметь только дискретные, квантованные значения, определяемые орбитальным квантовым числом ℓ. При данном значении главного квантового числа n, орбитальное квантовое число ℓ может принимать следующие значения: ℓ =0, 1, 2, 3, …, (n-1). Момент импульса электрона: | 𝐿| = ℏ√ℓ(ℓ − 1). Проекция момента импульса электрона на выбранное направление также принимает дискретный ряд значений, определяемых магнитным квантовым числом m: m = −ℓ, −(ℓ − 1), … , −2, −1, 0, 1, 2, …, (ℓ − 1), ℓ; всего 2ℓ + 1 значение. 𝐿 𝑧 = 𝑚ℏ. В квантовой механике показывается, что момент импульса частицы не может иметь определенное значение одновременное с его проекцией. Это 7 означает, что «вектор» момента импульса не имеет определенного направления. Каждому значению энергии электрона в атоме водорода 𝐸 𝑛 (кроме энергии основного состояния с n = 1), соответствует несколько волновых функций, отличающихся значением квантовых чисел ℓ и 𝑚. То есть атом водорода может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях с разными ℓ и 𝑚. Эти состояния имеют разную форму электронных облаков и/или различную их ориентацию в пространстве. Такие уровни энергии называются вырожденными, а число различных состояний, отвечающих одному и тому же значению энергии 𝐸 𝑛 , называется кратностью вырождения энергетического уровня. Кратность вырождения энергетических уровней атома водорода равна: ∑ (2ℓ + 1) = 𝑛 2 𝑛−1 𝑖=1 Состояние электрона в атоме с различными значениями орбитального квантового числа ℓ отличаются величиной момента импульса. В атомной физике применяются заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными моментами импульса. Электрон, находящийся в состоянии с ℓ = 0, называются 𝑠 −электроном (соответствующее состояние - 𝑠 −состоянием), с ℓ = 1 𝑝 −электроном, с ℓ = 2 𝑑 −электроном, с ℓ = 3 𝑓 −электроном и так далее. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа ℓ. Таким образом, электрон в состоянии с 𝑛 = 1 и 𝑠 = 1 обозначается символом 1𝑠, с 𝑛 = 3 и ℓ = 1 − 3𝑝 и так далее. Поскольку ℓ всегда меньше 𝑛, то возможны следующие состояния электрона: 1𝑠 2𝑠, 2𝑝 3𝑠, 3𝑝, 3𝑑 4𝑠, 4𝑝, 4𝑑, 4𝑓 и т.д. На рисунке 3 приводится схема энергетических уровней электрона в атоме водорода с учетом возможного состояния электрона. В квантовой механике доказывается, что возможны только те переходы электронов из одного состояния в другое, при которых квантовое число ℓ изменяется на единицу: ∆ℓ = ±1. Это условие называется правилом отбора. Существование правила отбора объясняется тем, что фотон обладает собственным моментом импульса, равным примерно ℏ. При испускании 8 фотон уносит из атома момент импульса, при поглощении привносит. Так что правило отбора является следствием закона сохранения импульса. Рис. 3. Схема энергетических уровней электрона в атоме водорода с учетом возможного состояния электрона На рисунке 3 показаны переходы электрона в атоме водорода, разрешенные правилом отбора. Пользуясь условными обозначениями состояний электрона в атоме: серии Лаймана соответствуют переходы 𝑛𝑝 → 1𝑠, 𝑛 = 2, 3, …. серии Бальмера − 𝑛𝑠 → 2𝑝, 𝑛𝑑 → 2𝑝, 𝑛𝑝 → 2𝑠, 𝑛 = 3, 4, …. Состояние 1𝑠 является основным состоянием атома водорода. В этом состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное ему необходимо сообщить энергию. 9 Плотность вероятности нахождения электрона внутри атома определяют по значениям волновой функции 𝛹, полученным из решения уравнения Шредингера в сферической системе координат { 𝑟, 𝛩, 𝜑}. Здесь 𝑟 − радиус-вектор электрона, 𝛩 − угол между осью z и радиус-вектором, 𝜑 −азимутальный угол. Пси-функция для 𝑠 −состояния (ℓ = 0) не зависит от углов 𝛩 и 𝜑, то есть является сферически симметричной: 𝛹 = 𝛹(𝑟). Вероятность найти 𝑠 −электрон в тонком шаровом слое радиуса 𝑟 и толщиной 𝑑𝑟 равна (рис. 4): 𝑑𝑊 = 𝛹𝛹 ∗ 𝑑𝑉 = 𝛹(𝑟)𝛹 ∗ (𝑟)4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟, так как 𝑑𝑉 = 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟. Рис. 4. Выражение 𝛹(𝑟)𝛹 ∗ (𝑟)4𝜋𝑟 2 представляет собой плотность вероятности найти электрон на расстоянии 𝑟 от ядра. Волновые функции 𝛹(𝑟, 𝛩, 𝜑) для ℓ отличных от нуля распадаются на два множителя, один из которых зависит только от 𝑟, а другой только от углов 𝛩 и 𝜑. Таким образом, и в этом случае можно ввести понятие плотности вероятности нахождения электрона на расстоянии 𝑟 от ядра, подразумевая под 𝜓(𝑟) ту часть 𝛹 −функции, которая зависит от 𝑟. На рисунке 5 приведены: слева − три вида орбиталей атома водорода для случаев: 1) 𝑛 = 1, ℓ = 0; 2) 𝑛 = 2, ℓ = 0; 3) 𝑛 = 3, ℓ = 0; справа − зависимости плотности вероятности нахождения электрона от расстояния до ядра. Таким образом, если в квантовой механике теряется представление об орбите или траектории электрона, то имеется вероятность обнаружить электрон ближе или дальше от ядра. Чем больше главное квантовое число 𝑛, тем на большем расстоянии от ядра находится максимум вероятности обнаружить электрон. 10 Рис. 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ Методика эксперимента В работе с помощью универсального монохроматора УМ-2 наблюдают спектры газов в видимой области. 1. Градуируют спектроскоп по известному спектру ртути. 2. Измеряют длины волн в спектре атома водорода. 3. По измеренным длинам волн в спектре водорода определяют уровни энергии электронов, при переходах между которыми испускаются кванты света. Определяются соответствующие этим уровням квантовые числа 𝑛 𝑖 и 𝑛 𝑗 , далее вычисляют постоянную Ридберга. Приборы и принадлежности: 1.Универсальный монохроматор УМ-2. 2. Ртутная лампа. 3. Водородная лампа. 4. Пусковое устройство для ртутной и водородной ламп. Порядок включения и правила работы с ртутной и водородной лампами описаны в инструкции на рабочем месте. Схема монохроматора УМ-2 и правила работы с ним также имеются на рабочем месте. 11 Следует помнить, что в установке используется опасное для жизни высокое напряжение, поэтому необходимо проверить целостность всех проводов перед включением! Задание 1. Градуирование шкалы монохроматора 1. Включить монохроматор. 2. Расположить выходное отверстие ртутной лампы против объектива монохроматора. Включить ртутную лампу. 3. Наблюдая спектр и вращая барабан монохроматора, совместить визир (острие) с линией спектра и произвести считывание показание монохроматора (в делениях барабана). 4. По барабану монохроматора провести измерения положения всех линий спектра ртути. Результаты измерений занести в таблицу 1. Таблица 1 №№ п/п Окраска линии Относительная яркость Длина волны (нм) Число делений монохроматора 1. Красная 10 623,4 2. Желтая 10 579,0 3. Зеленая яркая 12 546,0 4. Зелено-голубая 7 491,6 5. Синяя 8 435,8 6. Фиолетовая 1-я 6 407,8 7. Фиолетовая 2-я 8 404,7 5. По окончании измерений выключить ртутную лампу. 6. Пользуясь полученными данными, построить градуировочный график (вручную или используя возможности специальных программ построения графиков). По оси абсцисс отложить число делений барабана монохроматора, по оси ординат – длины волн наблюдаемых спектральных линий ртути. Задание 2. Измерение длин волн спектра атома водовода 1. Расположить выходное отверстие водородной лампы против объектива монохроматора. Включить водородную лампу. 2. Наблюдая спектр и вращая барабан монохроматора, совместить визир (острие) с линией спектра и произвести считывание показание монохроматора (в делениях барабана). 3. По барабану монохроматора провести измерения положения всех линий спектра водорода. Результаты измерений занести в таблицу 2. 12 Таблица 2 №№ п/п Окраска линии Число делений монохро матора Длина волны по градуиро вочному графику (нм) ∆Е, эВ 𝑛 𝑖 и 𝑛 𝑗 Постоянная Ридберга, м −1 1. 2. 3. 4. 5. 4. По градуировочному графику определить длины волн измеренных линий атома водорода и результаты занести в таблицу 2. Задание 3. Исследование спектра атома водовода в видимой области 1. По полученным значениям длин волн линий в спектре водорода вычислить энергию фотонов, соответствующую этим линиям: ∆Е = ℎ𝜈 = ℎ 𝑐 𝜆 2. По схеме энергетических уровней атома водорода (рисунок 1) найти уровни энергии, при переходах между которыми испускаются линии спектра; определить соответствующие этим уровням квантовые числа (𝑛 𝑖 , 𝑛 𝑗 ) и занести результаты в таблицу 2. 3. По формуле (1), используя полученные значения длин волн и квантовые числа (𝑛 𝑖 , 𝑛 𝑗 ), вычислить постоянную Ридберга для каждой линии спектра атома водорода. Найти среднее значение постоянной Ридберга. Сравнить полученное экспериментально значение с теоретическим значением, вычисленным по формуле (6). 13 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (1 курс и 2 курс 1 модуль) 1. Воспользовавшись квазиклассической теорией Бора, получить формулу для энергии электрона Е n в однократно ионизированном атоме гелия. В чём, по вашему мнению, основной недостаток теории Бора? 2. Пользуясь энергетической диаграммой для атома водорода, представленной на рисунке 1, определите энергию ионизации атома водорода. Определить по той же диаграмме первый потенциал возбуждения атома водорода. 3. Что такое линейчатый и сплошной спектр? Какой спектр вы наблюдали в этом опыте? 4. Почему спектр водорода и других газов линейчатый, а спектр лампы накаливания сплошной? 5. Получите обобщенную формулу Бальмера (8) и выражение R теоретич. через основные константы. 6. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на основной. 7. Во сколько раз минимальная длина волны в серии Пашена спектра водорода больше максимальной длины волны в серии Бальмера? 8. Вычислить наибольшие длины волн в сериях Лаймана, Бальмера, Пашена в спектре водорода. 9. Объясните причины размытия энергетических уровней электрона в атоме. Какой уровень будет «размыт» в наименьшей степени. Почему? 10. Какой метод возбуждения атомов для получения спектра используется в данной установке? Объясните методику эксперимента: необходимость в монохроматоре, принцип его устройства, принцип работы излучателя. 11. Как вы думаете, как меняется после включения высокого напряжения сопротивление газоразрядного промежутка в лампах, заполненных парами ртути и водорода? Чему равно сопротивление этого промежутка до включения и после? Почему происходит резкое изменение сопротивления трубки? С какими физическими явлениями, происходящем в газе, заполняющим трубку, это связано? КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ (2 курс 2 модуль) 1. В чем ньютоновская механика противоречит квантовой механике? 2. Запишите стационарное уравнение Шредингера для атома водорода. Почему наиболее подходящей координатной системой для рассмотрения атома водорода является сферическая? 3. Проанализируйте (качественно) ход решения стационарного уравнения Шредингера для атома водорода в сферических координатах. Какие выводы следуют из его решения? 14 4. Запишите собственные значения энергии электрона в атоме водорода, определяемые решением уравнения Шредингера, и проанализируйте их. В чем отличие и сходство с результатами теории Бора? 5. Чему равна кратность вырождения состояния, соответствующего n = 3? 6. Какие величины для электрона в атоме определены, если известны квантовые числа n, ℓ и 𝑚 ℓ ? 7. Почему квантовая механика не использует представление об электронных орбитах? Что характеризуют квантовые числа n, ℓ и 𝑚 ℓ ? 8. Какие величины, характеризующие электрон в атоме водорода, квантуются? Запишите соответствующие формулы. 9. Представьте символическую запись электронов в состояниях с: 1) n = 3, ℓ = 0, 1 ; 2) n =4, ℓ =2; 3) n =2, ℓ =1. 10. Каков физический смысл распределения плотности заряда в электронном облаке? 11. Сформулируйте правила отбора орбитального и магнитного квантовых чисел. Всегда ли они выполняются? Как может изменяться главное квантовое число? 12. Какие переходы соответствуют серии Пашена? Используйте символическую запись состояний. 13. Запишите уравнение Шредингера для 1S-состояния электрона в атоме водорода и решите его. Прокомментируйте значения для а и Е. Каков квантово-механический смысл первого боровского радиуса? 14. Нарисуйте и объясните направления орбитальных механического и магнитного моментов. 15. Запишите выражение для модуля орбитального магнитного момента 16. Какие значения может принимать проекция орбитального магнитного момента на заданное направление? Что представляет собой магнетон Бора? 17. Чему равно отношение проекций орбитальных магнитного и механического моментов электрона на произвольную ось z? 18. Что называется спином электрона? Запишите закон квантования спина электрона. 19. Чему равен модуль спинового магнитного момента электрона? Почему наряду с другими квантовыми числами обычно используется магнитное спиновое квантовое число, а не спиновое квантовое число? |