Лекальные и коробовые кривые

• Название: Лекальные и коробовые кривые
• Дата: 10.11.2019
• Размер: 5.05 Mb.
• Имя файла: Lektsia_8_Lekalnye_krivye.ppt
• Тип: Документы; #94347

Лекальные и коробовые кривые

Эллипс ‑ это плоская кривая линия, у которой сумма расстояний от любой точки этой кривой до двух её фокусов (F1 и F2) есть величина постоянная, равная большой оси эллипса. Заданы оси эллипса АВ (большая) и CD (малая), требуется построить эллипс.


Проводят две взаимно перпендикулярные прямые и от точки их пересечения (точка О) откладывают вверх и вниз по половине малой оси, а влево и вправо - по половине большой оси. Из точки О описывают две концентрические окружности: одну - через концы малой оси, а вторую - через концы большой оси.


Большую окружность делят на любое число равных частей, например, двенадцать, все точки деления соединяют прямыми с точкой О. Эти двенадцать радиусов тоже разделят малую окружность на двенадцать равных частей. Из всех двенадцати точек, лежащих на большой окружности, проводят прямые, параллельные малой оси, а из точек, лежащих на малой окружности, проводят прямые, параллельные большой оси эллипса, до пересечения друг с другом. В пересечении этих прямых получают точки, принадлежащие эллипсу. Затем эти точки соединяют от руки плавной линией и обводят по лекалу.

Парабола

Парабола - это плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной точки F (фокус) и заданной прямой АВ (директриса). Парабола имеет одну ось симметрии. Между директрисой и фокусом задается расстояние. Вершина параболы (точка О) всегда находится посередине этого расстояния, потому что она, как и любая точка параболы, должна находиться на одинаковом расстоянии от фокуса и директрисы. Существует несколько способов построения параболы.


Построение эллипса по заданным осям.


На рисунке показано построение параболы, где задано расстояние между директрисой и фокусом (отрезок KF ). Через точку К проводят директрису, параллельно директрисе произвольно проводят несколько прямых. Первая прямая проведена через точку F. Из точки F радиусом R1 проводят дугу до пересечения с прямой в точках D и D1. Эти точки будут принадлежать параболе, так как они находятся на одинаковом расстоянии (R1) от директрисы и фокуса. Вторая прямая проведена на расстоянии R2 от директрисы. Из точки F проводят дугу радиусом – R2 до пересечения с этой прямой в точках М и М1,


R3


R2


R2


R3


R1


R1


К


F


O


D


D1

Построение параболы

Построение параболы по оси СD, вершине О и точке В, принадлежащей параболе. Из вершины параболы (точка О) перпендикулярно оси CD параболы проводят прямую. Из точки В параллельно оси проводят прямую до пересечения с первой прямой в точке А.


Построение параболы как кривой, касательной к двум прямым с заданными на них точками касания А и В.Построение начинают с деления отрезков ОА и ОВ на одинаковое число равных частей. Затем на одной прямой от точки О, а на другой прямой от точки А полученные точки нумеруют. Точки с одинаковым номером соединяют прямыми, которые, пересекаясь между собой, как бы скругляют угол АОВ ломаной линией. Примерно посередине каждого отрезка этой линии находится точка, принадлежащая параболе. Эти точки соединяют от руки тонкой плавной линией и обводят по лекалу.

Гипербола

Гипербола - это плоская кривая, разность расстояния от каждой точки которой до двух заданных точек F1 и F2 (фокусов) есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы А1 и А2 . Гипербола имеет две незамкнутые симметрично расположенные ветви. Она имеет две асимптоты (ВС и DE) - прямые, к которым ветви гиперболы стремятся приблизиться, но это приближение бесконечно. Гипербола имеет две оси - действительную (х) и мнимую (у). На действительной оси располагаются два фокуса (F1 и F2), вершины (А1 и А2) и центр гиперболы (точка О), которая находится посередине отрезка А1А2.


Заданы расстояние между фокусами F1 и F2 (2b) и расстояние между вершинами (2а), требуется построить две ветви гиперболы. Для построения сначала проводят действительную ось х и мнимую ось у . В их пересечении лежит центр гиперболы (точка О), от которого откладывают влево и вправо расстояния а и b, т. е. строят фокусы F1 и F2 и вершины А1 и А2 гиперболы.


Построение гиперболы


Построение гиперболы


А1


А2


F1


F2


1


3


2


R1


R2


R1


R2


R2


R1


Построение равнобокой гиперболы по заданным асимптотам ОА и ОВ и точке М. Через заданную точку М параллельно асимптотам проводят две прямые. Из точки О проводят произвольно прямые ОС, OD, OE, OF, каждая из которых пересекает прямые, проведённые параллельно асимптотам, в двух точках (с1 , с2, d1 , d2 .... ). Из построенных точек проводят прямые, параллельные асимптотам, как показано на рисунке, в пересечении которых получают точки, принадлежащие гиперболе (с3, d3, е3, f3). Затем эти точки соединяют плавной, тонкой линией от руки и обводят по лекалу.


Спираль Архимеда – плоская кривая которую описывает точка движущаяся равномерно поступательно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу. Вспомогательная окружность, проведённая радиусом, равным t и отрезок 08, равный шагу, делятся на одинаковое число равных частей, например, на восемь. Начальная точка (Ко) совпадает с точкой О. Отрезок О8, по которому движется точка, вращается так, что один конец (точка О) неподвижен. При повороте отрезка на 1/8 полного угла (45°) точка К пройдет 1/8 своего пути. Поэтому если из центра О радиусом O1 провести дугу до пересечения с прямой, проведённой через точку 1 и центр О, получим точку К1, принадлежащую спирали.


Эвольвента окружности - плоская кривая линия, представляющая собой траекторию точки окружности при её развёртывании. Слово « эвольвента» -латинское, означает «развертывающий».
Эвольвенту окружности можно получить, если поверхность цилиндра обернуть упругой проволокой в один полный оборот и закрепить один её конец. Отпущенный второй конец, развёртываясь (распрямляясь в отрезок), опишет в пространстве кривую, которая и будет эвольвентой. При этом длина проволоки будет равна длине окружности основания данного цилиндра (2R).


Заданную окружность делят на любое число равных дуг (в данном случае на восемь), получают точки 1 .. 8. Каждую точку деления соединяют с центром окружности (точка О). Из точки 8 проводят касательную к окружности (2R). Этот отрезок будет развернутой окружностью. Точка 8' будет принадлежать эвольвенте.


Синусоида - плоская кривая линия, изображающая изменение синуса в зависимости от изменения угла α. Она используется в построении проекций винтовых линий. Прямая Ох - ось синусоиды, t - шаг или длина волны. Если t = 2R, синусоида называется нормальной; при t < 2R синусоида сжатая; при t > 2R синусоида растянутая. Высшая и низшая точки синусоиды называются вершинами (точки К2 и К6).


Циклоида - плоская кривая, описываемая точкой окружности, которая без скольжения катится по прямой линии.
Окружность за это время пройдёт по прямой путь, равный длине развёрнутой окружности, т. е. L = 2R. Точка К после одного оборота окружности снова окажется на прямой CD в точке К8.
Для определения промежуточных положений точки К через равные промежутки фиксируют положение этой точки. Для этого делят окружность на любое число равных частей, например, на восемь, получают точки 1....8, проводят из точки О линию центров, на которой отмечают восемь промежуточных положений центров (O1…O8) производящей окружности, разделив L =2R на восемь равных частей.


Когда окружность пройдёт 1/8 своего пути, точка К сместится вправо и вверх и окажется над направляющей прямой CD на такой же высоте, на которой находится точка 1. Поэтому для построения промежуточной точки К, из точки 1 проводят прямую, параллельную CD, а из центра О1 описывает часть окружности в её промежуточном положении радиусом R до пересечения с этой прямой.Это и будет первое промежуточное положение точки К. Аналогично строят остальные точки. Соединив точки Ко К8 плавной тонкой линией от руки, получают циклоиду, которую обводят по лекалу.