ЛЕКЦИЯ 01_Л.А.. Лекции кафедры математики гу вшэ нн
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 1 ЛЕКЦИЯ Лекция 1. Предмет линейной алгебры. Матрицы и операции над ними. Свойства операций. Понятие об обратной матрице и ее вычисление. Среди разнообразных функциональных зависимостей, описывающих широкий круг природных и общественных явлений, линейная зависимость – самая простая и наиболее глубоко изученная. Линейная алгебра – ветвь математики, исследующая общие линейные функции конечного числа переменных. Ее идеи и методы пронизывают многие разделы математических знаний, а результаты широко используются в приложениях математики, в том числе экономических. Одним из традиционных методов изложения линейной алгебры как математической дисциплины для студентов прикладных профилей является обобщение хорошо известной со школьной скамьи одномерной линейной зависимости вида ax b и соответствующего ей алгебраического уравнения й степени (или линейного) 0 ax b В основе этого обобщения лежит важное понятие матрицы. В простейшем случае матрицы сделаны из чисел и называются поэтому числовыми ◀ Определение ▶ Матрица A размера n 2 - это прямоугольный массив (таблица) вещественных чисел вида (1.1) A ≝ 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 1 Числа, образующие матрицы, будем пока считать вещественными. В свое время будет введено важное обобщение вещественных (или действительных) чисел – так называемые комплексные числа. 2 Читается «эм на эн»; круглые скобки иногда опускают. Матрица указанного размера (или размеров) называется также сокращенно ( ) m n матрицей. Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Общепринятыми являются также следующие обозначения и наименования вертикальных и горизонтальных рядов чисел в (1.1) : ▶ 11 21 1 m a a a столбец матрицы A (й, ▶ 1 ее строка (я. Будут использоваться также индексные обозначения столбцов и строк следующего типа j a j й столбец, i a i я строка матрицы A . В качестве ограничителей в формуле применяются, помимо круглых скобок, сдвоенные вертикальные черточки или квадратные скобки . Имена матриц по традиции – заглавные латинские буквы. Обозначение составляющих их чисел, называемых элементами, вполне ясно из приведенных выше записей. Оно включает общее имя (часто это малая латинская буква, соответствующая имени матрицы) и пару индексов, первый из которых по соглашению нумерует строку (row) матрицы, а второй – столбец (column), на пересечении которых располагается в ней данный элемент 3 Краткая форма записи матриц выглядит так (1.2) , 1, ; 1, ij A a i m Здесь фигурные скобки обозначают упорядоченную совокупность элементов, ара- венство вида 1, i m (и ему подобные) задает диапазон изменения соответствующего индекса (в данном случае строки матрицы занумерованы натуральными числами от 1 до m ). В ряде случаев бывает удобно начинать нумерацию строки столбцов матриц нес, ас (это принято в некоторых системах компьютерной алгебры, например, в системе MathCAD). Понятно, что (1.1)__и_(1.2)'>(1.1) и (1.2) – это обозначения матриц в самом общем виде. Если размеры матрицы m , конкретные числа, как и ее элементы, то и ее обозначение становится вполне определенным. 3 Часто, ноне всегда, это правые нижние индексы. Иногда индекс строки пишут справа вверху от имени элемента матрицы, а индекс столбца – справа внизу от него. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 3 ЛЕКЦИЯ Пример (1.3) 3 1 0 2 1 B , 2 1 0 0 1 , u C v w и т.п. Если в (1.1) m n , то матрицу именуют прямоугольной в противном случае она – квадратная, порядка, где число строк или столбцов в ней. Так, 2 в (1.3) – квадратная матрица го порядка. При 1 m n имеют дело с так называемой матрицей-числом 11 A a ; если 1 m , 1 n – то с матрицей-строкой длины n , а при 1 n , 1 m – с матрицей- столбцом высоты m Если строка или столбец – это часть некоторой большей матрицы, тов обозначениях их элементов сохраняют оба индекса. Так, 3 31 32 3 (1 ) n s n a a a – это я строка матрицы A из (1.1) , а 1 2 ( 1) k k k mk a a t m a это ее й столбец. В ряде случаев бывает полезен более абстрактный взгляд на матрицы, отличный от их естественной трактовки в виде прямоугольных таблиц. Несколько слов об этом сказано ниже в п.п. I, II. I. Как видно, каждая строка матрицы A весть упорядоченный набор (кортеж) из чисел, те. точка в арифметическом пространстве n ( n раз. Далее, поскольку в записи (1.1) важен не только порядок элементов в строке, аи порядок следования в таблице самих строк, то эту таблицу – нашу матрицу – можно считать упорядоченным набором этих строк, как m точек в n , те. в итоге – точкой в пространстве n m n n ( m раз, образованном кратным декартовым умножением на себя множества (пространства) n . Поскольку точки в арифметических пространствах именуют еще и векторами, то матрицы размера ( 1) m , (1 ) n точки из 1 m m и 1 n n соответственно именуют также вектор-столбцом (высоты m ) и вектор-строкой (длины n ). 4 Это кратное декартово произведение множества действительных чисел на себя. Обозначается также и посредством n Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Ясно, что в любой матрице высота любого столбца равна числу ее строка длина любой строки равна числу ее столбцов. II. Еще одна – функциональная точка зрения на матрицы сводится к следующему. Рассмотрим два множества натуральных чисел 1, , I m и 1, , J n . Их декартово произведение I J есть множество упорядоченных пар ( , ) i j , где i I , так что 1, i m , итак что Теперь матрицей размеров m n назовем числовую функцию, определенную на множестве I J , те. закон, сопоставляющий каждой паре ( , ) i j I J некоторое число i j a . Определенные указанным выше способом математические объекты – числовые матрицы – следует далее наделить рядом дополнительных свойств, связанных, в частности, с возможностью выполнять над ними математические операции, подобные изученным к настоящему моменту операциям над числами, векторами или функциями. Только при обеспечении такой возможности эти новые объекты позволят решить поставленную вначале задачу обобщения понятий линейной функции и линейного уравнения. В дальнейшем множество числовых матриц размера ( ) m n будет обозначаться как , m n M , а множество числовых квадратных матриц порядка n – как n M . РАВЕНСТВО МАТРИЦ ◀ Определение ▶ Две матрицы A и B называются равными, если имеют одинаковые размеры и равны их соответственные элементы (элементы, стоящие в этих матрицах на одинаковых местах. Иными словами, (1.4) A ≝ , 1, ; 1, , A B A B i j i j m m m B n n n a b i m где , ; A B m m , A B n n числа строки столбцов в матрицах A и B соответственно. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 5 ЛЕКЦИЯ Равенство матриц, очевидно, обладает свойством транзитивности (также как равенство, например, действительных чисел (1.5) A B A C B C ◆ Замечание В (1.5) , как ив, все матрицы – одного размера , , A B C , m ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО ◀ Определение ▶ Пусть , A C , m n M и . Тогда (1.6) C ≝ i j i j A c a , 1, ; 1, i m Как видно, формула (1.6) определяет умножение матрицы на число поэлементно произведение A на ( наесть матрица C , элементы которой – это соответственные элементы A , умноженные на число Примеры 1). 1 0 4 2 0 8 2 2 3 1 4 6 2 2). 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 n n n n СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ ◀ Определение ▶ Пусть , , A B C , m n M . Тогда (1.7) C ≝ i j i j i j A B c a b , 1, ; 1, i m j n Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Итак, складывать в соответствии с (1.7) можно лишь матрицы одинаковых размеров, причем элементы их суммы представляют собой суммы соответственных элементов слагаемых. Проще говоря, сложение матриц также осуществляется поэлементно ◆ Пример: 1 2 3 4 A , 1 2 3 3 B 0 0 0 1 C A B СВОЙСТВА ОПЕРАЦИЙ УМНОЖЕНИЯ НА ЧИСЛО И СЛОЖЕНИЯ Операции умножения матрицы на число и сложения матриц обладают следующими свойствами, прямо вытекающими из соответствующих свойств умножения и сложения чисел проверьте B B A коммутативность сложения матриц ( переместительный закон B C A B C ассоциативность сложения матриц (сочетательный закон. 3 ∞. ( ) A A A дистрибутивность умножения на матрицу по отношению к сложению чисел. 4 ∞. ( ) A B A B дистрибутивность умножения на число по отношению к сложению матриц. 5 ∞. ( ) ( ) A A . ◀ Определение ▶ Матрица, все элементы которой равны числу 0 , называется нулевой матрицей, и далее будет обозначаться как O . Легко видеть, что если A , m n M , то ( 1) A A O – нулевая матрица того же размера, что и A . ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 7 ЛЕКЦИЯ УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ Эта операция может определяться по-разному 5 – в зависимости от потребностей в дальнейшем использовании. Одним из наиболее употребительных способов задать произведение матриц является следующий. ◀ Определение ▶ Пусть первый множитель A есть m n матрица A , m n M , а второй множитель B – это n p матрица B , n p M . Тогда элементы произведения матрицы A на матрицу B вычисляются следующим образом (1.8) C ≝ 1 n i j i k k j k A B c a b , 1, ; 1, i m Как видно, произведение A B есть m p матрица, число строк которой совпадает с числом строк первого множителя, а число столбцов – с числом столбцов второго множителя. При этом элемент i j c в соответствии с формулой (1.8) получается как сумма произведений соответствующих элементов i й строки первого множителя на j й столбец второго (они имеют одинаковое количество элементов n ). В связи с этим описанное правило матричного умножения именуют правилом строка на столбец» ◆ Примеры: 1). 2 3 ( 3 2 ( 2 ) ( 2 ) ) 1 0 1 0 1 0 2 3 2 3 0 1 1 5 1 Подробное вычисление элементов произведения приводится ниже 5 Как, впрочем, и остальные. Важно понимать, что произвол в определении подобных операций ничем неограничен. Однако, если они определены настолько необычно или неудобно, что не обладают перечисленными выше свойствами, или по крайней мере большинством из них, то для них трудно найти сферу рационального использования, во многом опирающегося на хорошо известные свойства действительных чисел. Утилитарная ценность этих свойств, фактически также вводимых посредством некоторых постулатов, оправдывается всем ходом развития цивилизации. Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ элементы й строки произведения, 2 1 3 0 2 2 0 3 1 3 элементы й строки произведения, 1 1 5 0 1 1 0 5 1 5 элементы й строки произведения. 2). (1 ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 1 0 0 0 1 0 1 1 0 6 : 0 1 0 0 0 0 элементы й строки произведения, 1 1 1 1 0 0 элементы й строки произведения. 3). 2 2 2 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) 3 6 3 6 3 6 3 6 1 2 1 2 1 2 1 2 Из этого примера следует, между прочим, что и любая натуральная степень рассматриваемой матрицы (те. ее произведение на саму себя, повторенное любое число раз) совпадает с ней. Так, например 2008 2008 2006 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 раз раз 2007 3 6 3 6 3 6 1 2 1 2 раз Заметим, что среди действительных чисел подобным свойством обладают весьма немногие какие именно Читатель должен отдавать себе отчет в том, что элементы матриц – совсем необязательно только натуральные или целые числа, как в уже рассмотренных, таки в приводимых ниже примерах матричных вычислений учебного характера. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 9 ЛЕКЦИЯ СВОЙСТВА МАТРИЧНОГО УМНОЖЕНИЯ И ЕГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ СО СЛОЖЕНИЕМ 1 ∞. ( ) ( ) AB C A Приведенное равенство означает ассоциативность матричного умножения, при условии, что любая из ассоциаций сомножителей, образованная посредством круглых скобок, и все прочие произведения имеют смысл. Проще говоря, имеющее смысл произведение нескольких матричных сомножителей можно вычислять, группируя их произвольным образом. 8 Доказательство Пусть , m n A M , , n p B M , так что , m p A B M . В соответствии с правилом (1.8) можем написать 1 ( ) n i j i k kj k AB a b , где 1, ; 1, i m Для того, чтобы произведение ( ) A B C имело смысл, необходимо, чтобы было , p l C M . Тогда [( ) ] u v AB C 1 1 1 1 1 [( ) ] p p p n n uj jv u k kj jv u k kj jv j j k j k AB c a b c a b c как известно, в суммах подобного рода суммирования по различным индексам перестано- вочны, а умножение на jv c можно внести под знак суммирования по индексу « k », от которого этот множитель не зависит, чем и воспользуемся далее ● 1 1 p n u k kj jv k j a b c здесь первый множитель в круглой скобке не зависит от индекса « j » и потому может быть вынесен за знак суммирования поэтому индексу, а сумма 1 p kj jv j b c есть элемент произве- 7 Иногда в целях упрощения записи формул знак умножения в виде точки будем опускать. Порядок следования множителей в этом произведении меняться не должен Так всюду ниже будет обозначаться обрыв выкладок, связанный с целесообразностью прежде выполнить некоторые дополнительные преобразования или дать необходимые разъяснения. Возврат к прерванным вычислениям обозначается при помощи того же значка вначале строки. Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ дения B нас индексами « , k v », так что ● 1 1 1 ( ) p n n u k kj jv u k kv k j k a b c a BC ( ) u v A BC , 1, ; 1, u m В соответствии с определением равенства матриц заключаем отсюда, что ( ) ( ) A B C A B C это и требовалось доказать. |