ЛЕКЦИЯ 01_Л.А.. Лекции кафедры математики гу вшэ нн

• Название: Лекции кафедры математики гу вшэ нн
• Дата: 07.06.2021
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: ЛЕКЦИЯ 01_Л.А..pdf
• Тип: Лекции; #214888
• страница: 2 из 4

2
∞.
(
)
A B C
AB AC



– умножение слева дистрибутивно по отношению к сложению докажите самостоятельно)
Это же касается и умножения справа
3
∞.
(
)
A B C
AC докажите самостоятельно)
Заметим, что об умножении слева и справа приходится говорить здесь в связи стем, что умножение матриц не подчиняется переместительному закону (некомму-
тативно)
.
В самом деле, если произведение AB определено, тов общем случае BA не только неравно, но даже может не существовать. Пример , 5
A

M ,
5,10 7 ,10
B
AB

 

M
M
и
BA , т.к.
10 7

10
◀
Определение
▶
Матрицы
A и B , для которых выполнено равенство AB
BA

, называют перестановочными, или коммутирующими Докажите, что коммутировать могут только квадратные матрицы одного размера и приведите примеры таких матриц.
▲ Задайте матрицу
2
A

M и отыщите все матрицы, с ней перестановочные.
10
В тексте иногда будет использоваться символика математической логики, причем не только в формулах, аи в обычных предложениях с целью сокращения письма. Предполагается, что смысл соответствующих символов кванторы существования, всеобщности и пр) известен читателю.

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 11 ЛЕКЦИЯ ТРАНСПОНИРОВАНИЕ МАТРИЦЫ
◀
Определение
▶
Для всякой матрицы
,
m n
A

M
транспонированная (иногда говорят – по отношению к A ) матрица
C
определяется условием
C
≝
T
i j
ji
A
c
a


,
1,
i
m

, Из приведенного определения вытекает, что
,
T
n m
C
A


M
, причем всякая строка всякий столбец) транспонированной матрицы совпадает с соответствующим столбцом строкой) матрицы Примеры.


(1 2 )
( 2 1)
1 1 2 2
T
A
A


 


  
 
2).
( 2 3
(
)
)
3 2
T
a d
a b c
B
B
b e
d e
f
c
f





















3).
1 0
2 1
0 2
0 1 4 0
1 4 2
4 3
2 4
3
T
M
M
M


























4).
Пусть
1 2
n
x
x
x
x
 
 
 


 
 
 

вектор-столбец размера
(
1)
n
 . Тогда


1 вектор- строка размера (1
)
n
 . Ясно, что определено матричное умножение
T
x на
x
, равное


1 2
2 2
2 1
2 1
1
n
T
n
n
k
k
n
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x

 
 
 





 
 
 




. Для 1, 2,3
n

эта сумма в соответствии с теоремой Пифагора выражает квадрат длины вектора с декартовыми прямоугольными ко-
11
Транспонированная матрица часто обозначается также посредством
A
12
Математически строгий синоним такого совпадения – их поэлементное равенство.

Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ ординатами
1 2
1 2
3
, ; , ,
x x x x x соответственно. В результате обобщения на произвольное значение
n
 
говорят о длине или так называемой евклидовой норме любого вектора
(
1)
x n
 :
(1.9)
1/2 2
1/2 1
(
)
n
T
k
k
x
x
x СВОЙСТВА ОПЕРАЦИИ ТРАНСПОНИРОВАНИЯ 
T
T
A
A
 докажите B
A
B



Доказательство
Пусть
,
, ,
m n
A B C
A B
  
M
. Тогда
,
T
n m
C

M
и
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
T
T
T
T
T
i j
ji
ji
ji
ji
i j
i j
i j
C
c
A Итака это по определению и означает, что (
)
T
T
T
A B
A
B



3
∞.
(
)
T
T
T
AB
B A

Доказательство
Пусть
,
m n
A

M
,
,
n p
B

M
1
(
)
n
i j
ik kj
k
AB
a b




,
1,
i
m

, Далее,
,
T
p n
B

M
,
,
T
n m
A

M
, так что определено произведение
T
T
B
A

, элементы которого выражаются следующим образом
(
)
T
T
i j
B A

1 1
1
(
) (
)
(
)
n
n
n
T
T
ik
kj
ki
jk
jk ki
ji
k
k
k
B
A
b a
a b
AB









[(
) ]
T
i j
AB

для всех указанных выше значений индексов ,
i j . По определению равенства матриц это означает, что (
)
T
T
T
AB
B A


ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 13 ЛЕКЦИЯ
◆
Замечание
Доказанное только что свойство операции транспонирования легко обобщается на любое число сомножителей. Так, например, (
)
T
T
T
T
ABC
C B A

и т.п.
(докажите)
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ
◀
Определение
▶
В квадратной матрице
 
i j
n
a
A
 
M совокупность элементов, индексы которых удовлетворяют уравнению
i
j
 , образует так называемую главную диагональ (идет из левого верхнего угла в правый нижний, а совокупность элементов, для которых
1
i
j
n
   , образует побочную диагональ (идет из правого верхнего угла в левый нижний
◀
Определение
▶
Сумма элементов главной диагонали квадратной матрицы называется ее следом tr
A
≝
1
n
ii
i
a


14 13
Обратите внимание, что при записи матрицы в общем виде при отделении буквенных индексов приходится использовать запятую.
14
Обозначается также
Sp
A
от «Spur» – след (нем)
11 12 13 1,
2 1,
1 1,
21 22 23 2,
2 2,
1 2,
31 32 33 3,
2 3,
1 3,
)
2,1 2,2 2,3 2,
2 2,
1 2,
1,1 1,2 1,3 1,
2 1,
1 1,
(
1 2
3
,
2
,
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n
n n
n главная диагональ побочная диагональ

Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Ниже приводятся основные свойства этой важной характеристики числовой квадратной матрицы. СВОЙСТВА СЛЕДА МАТРИЦЫ 1
1
tr (
)
(
)
(
)
tr
n
n
n
ii
ii
ii
i
i
i
A
A
a
a
A



 



 
 приумножении матрицы на число ее след также умножается на это число.
2
∞.
tr tr
T
A
A

 транспонирование квадратной матрицы, представляющее собой симметричное отражение ее элементов относительно главной диагонали, не меняет следа, поскольку оно оставляет неизменными все элементы, стоящие на главной диагонали.
3
∞.
tr (
) tr (
)
AB
BA

. В самом деле,
1 1
(
)
(
)
n
n
i j
i k kj
ii
i k ki
k
k
AB
a b
AB
a b







, а также
1 1
1
(
)
(
)
n
n
n
m n
ml l n
m m
ml lm
mk km
l
l
k
BA
b a
BA
b a
b Суммируя теперь диагональные элементы обеих матриц, получаем, что
1 1
1
tr (
)
(
)
n
n
n
ii
i k ki
i
i
k
AB
AB
a b







, tr (
)
BA

1 1
1
(
)
(
,
)
n
n
n
mm
mk km
m
m
k
BA
b a
m
k k
i






 


1 1
1 1
n
n
n
n
ki i k
i k ki
k
i
i
k
b a
a b








=tr (
)
AB
4
∞.
tr (
) tr (
) 0
T
T
A A
AA

 Имеем
2 1
1 1
1
tr (
)
(
)
(
) ( )
0
n
n
n
n
T
T
T
ii
ik
ki
ki
i
i
k
i
A A
A A
A
A
a















 

. Равенство здесь имеет место в томи только том случае, когда
0
ki
a
 , ,
1,
k i
n

n
A
 
O M .
◀
Определение
▶
Квадратная
матрица
A называется Симметрической если
T
A
A
 .
15
Докажите первое равенство в этой формуле.

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 15 ЛЕКЦИЯ
●
Кососимметрической (антисимметрической) если
T
A
A
  .
●
Нижнетреугольной если
0
i j
a
 при i
j
 .
●
Верхнетреугольной если
0
i j
a
 при i
j
 . Диагональной если
0
i j
a
 при i
j
 . Запись diag (1, 1,0,7)
B


(и ей подобные) означает диагональную матрицу с перечисленными элементами, образующими ее главную диагональ
1 0
0 0 0
1 0 0
diag (1, 1,0,7)
0 0
0 0 0
0 0 Частные случаи диагональной матрицы – это нулевая матрица
n

O M итак называемая единичная матрица главная диагональ все элементы над главной диагональю – нули
0 главная диагональ все элементы под главной диагональю – нули
0 главная диагональ все элементы вне главной диагонали – нули
0

Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ единиц   


16
Элементы единичной матрицы часто означают в индексной форме так
1,
0,
i j
i
j
i
j


  


, где
1,
i
n

,
1,
j
n

и называют объект j
 символом
Кронекера
Очевидно, матрица
n

обладает свойством
(
)
n
n
n n
A
A
A


 



, те. играет в множестве квадратных матриц порядка
n
туже роль, которую играет в множестве действительных чисел число 1. Роль числа
0
принадлежит в
n
M нулевой матрице, поскольку Ортогональной если
T
T
n
A A
A
A


   .
▲ Докажите, что если ,
i
j
s s
 строки ортогональной матрицы, то
1,
0,
T
i
j
i j
i
j
s s
i
j



   Говорят, что система строк, удовлетворяющая написанному условию, –
ортонор-
мирована
: норма
(1.7)
каждой из строк равна 1, а произведение
T
i
j
s s

для неравных друг другу значений индексов ,
i j (аналог скалярного произведения векторов в геометрии) равно
0
(напомним таким свойством обладают базисные векторы д.п.с.к.
17
в геометрии, обозначаемые ,
i j
 
и , ,
i j k

 
соответственно в двумерном и трехмерном случаях. Как выдумаете, будет ли система столбцов ортогональной матрицы ортонормированной Обоснуйте свою догадку. Заметим, что прямоугольная (не квадратная) матрица может обладать ровно одним
из свойств
T
n
A A

  или
T
n
A A
  
18
. Такие матрицы называются
полуортогональны-
ми
16
Обозначается также посредством
n

17
Декартова прямоугольная система координат.
18
При этом обе матрицы
T
A A

и
T
A
A

определены, но лишь одна из них – единичная.

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 17 ЛЕКЦИЯ Дайте пример полуортогональной матрицы размера (2 3)
 .
●
Матрица B , удовлетворяющая равенству
2
B
A
 ( ,
n
A B

M ) называется квадратным корнем из матрицы
A и обозначается
1/2
A . Оказывается, что не для всех матриц
A существует квадратный корень 1/2
A , а если существует, то он необязательно единственный (!).
▲ Извлеките квадратный корень из матрицы
1 0 0 2
A


 



. Существует ли
1/2 2 1 1 2






? Матрицей перестановки
20
если в любой ее строке, а также в любом ее столбце все элементы, кроме одного, равного 1, – нули. Переставляя в матрице перестановки строки и/или столбцы, ее можно перевести в единичную. Примерили Идемпотентной если
2
A
A

21 19
Так было уже для действительных чисел.
20
Матрица перестановки – частный случай так называемой бинарной матрицы – прямоугольной матрицы, все элементы которой – нули или единицы.
21
В условие идемпотентности иногда включают симметричность матрицы
A
0 0 1 1 0 0 0 1 0











1 0 0 0 0 1 0 1 0











3 1 0 0 0 1 0
,
0 0 1



 







0 0 1 1 0 0 0 1 0











3 1 0 0 0 1 0 0 0 1



 







1 0 0 0 0 1 0 1 0












Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ
◆
Пример:
Рассмотрим вектор-столбец
a
b
c
 
 
 
 
 
и подействуем на него матрицей
1 0 0 0 0 0 0 0 0
x
P




 





:
1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
x
a
a
a
P
b
b
c
c
  
    
  
    




  
    
  
    
  
    
. Имеем
2 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
x
x
x
P
P P

 
 


 
 







 
 


 
 


 
 Следовательно,
x
P
 идемпотентная матрица. У этого обстоятельства имеется очень простой и важный геометрический смысл. Действительно, пусть , ,
a b c
 это координаты некоторого трехмерного геометрического вектора
u

в выбранной д.п.с.к. Oxyz . Ясно, что
,0,0
a
 это координаты вектора, являющегося
проекцией
u

на ось абсцисс. Итак,
x
P
 это проектор (или оператор проектирования) на указанную ось результат действия (те. умножения) проектора на вектор дает искомую проекцию
x
u

. Если подействовать на повторно этим же проектором, то получится опять
x
u

, поскольку этот вектор уже лежит
на оси
Ox
. В самом деле,
2
(
) (
)
x
x
x
x
x
x
x
P u
P
P u
P P u
P u






 






1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0
a
a

    

    




    

    

    
x
x
P
u
u





. Следовательно,
2
x
P u
 

x
P u


, или
2
(
)
x
x
P
P u

 

O , откуда в силу произвольности вектора
u

выводим, что
2
x
x
P
P


O , или Далее формально легко убедиться, что любая натуральная степень оператора совпадает с
x
P
. Например,
3 2
x
x
x
x
x
x
P
P P
P P
P




 и т.д. Геометрически это означает, что второе, третье и все вообще следующие проектирования не меняют вектора, поскольку результат первого проектирования, оказавшись на
Ox
, переходит сам в себя посредством описываемого преобразования векторов. Аналогично
1 0 0 0 1 0 0 0 проектор на координатную плоскость Oxy , т.к.

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄