ЛЕКЦИЯ 01_Л.А.. Лекции кафедры математики гу вшэ нн
 Скачать 0.67 Mb.
|
|
19 ЛЕКЦИЯ . Вновь убеждаемся, что 2 xy xy P P , те. матрица xy P идемпотентная. Преобразование вектора u в самого себя тоже можно считать проектированием в само пространство 3 Oxyz . Очевидно, оно реализуется единичной матрицей 3 : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a b b c c . Можем утверждать (и это легко проверить, что всякая единичная матрица идемпотентна: ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦ И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ НА ЯЗЫКЕ УМНОЖЕНИЯ МАТРИЦ Далее важную роль в различных разделах линейной алгебры будут играть некоторые простейшие преобразования матриц, которые принято называть элементарными. К ним относятся следующие (1.10) 1. Перестановка (транспозиция) двух строк матрицы. 2. Умножение строки матрицы на число, отличное от нуля. 3. Сложение строки матрицы с некоторой другой ее строкой 4. Те же действия со столбцами матрицы. Нетрудно показать, что элементарные преобразования (1.10) можно реализовать при помощи умножения матрицы на некоторую квадратную матрицу K , что ниже демонстрируется на простых примерах. 22 Операторы проектирования широко используются в экономических приложениях линейной алгебры. Например, в задачах линейной регрессии лучшей оценкой некоторого признака, получаемой на основе ряда значений т.н. объясняющих переменных или предикторов при помощи метода наименьших квадратов, оказывается ортогональная проекция вектора наблюденных значений признака на подпространство предикторов. 23 Умножение здесь и сложение в следующем пункте – поэлементные. Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Примеры 12 11 12 21 22 21 22 31 32 31 32 ( ), 3, 2 0 0 0 1 0 0 0 1 K A m n m n a a a a a a a a a a a a Умножение на K слева реализует умножение строки (здесь – й) на число . Чтобы умножить в матрице , m n A M ее j ю строку на , в качестве K следует взять квадратную матрицу го порядка, которая получается из m умножением ее j й строки на Перестановку строк в матрице , m n A M реализует умножение ее слева на перестановочную матрицу K , полученную из m перестановкой двух строк с теми же номерами 0 к й строке матрицы прибавилась ее я строка Чтобы прибавить в матрице , m n A M к ее i й строке j ю строку, i j , достаточно умножить ее слева на матрицу K , которая отличается от m тем, что в ней нам месте стоит 1 вместо 0 . так, в рассмотренном выше примере умножение A слева на 1 0 0 0 1 0 0 1 1 K приведет к прибавлению к ее й строке 2 й строки, а умножение слева на 1 0 0 1 0 0 0 1 1 K – к прибавлению к ее 2 й строке 1 й строки проверьте 12 11 12 21 22 31 32 31 32 21 22 1 0 0 0 0 1 0 1 0 a a a a a a a a a a a a 2). ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 21 ЛЕКЦИЯ ◆ Замечание Рассмотрим преобразование матрицы, состоящее в прибавлении к ее строке s другой ее строки r , умноженной на число . При 0 это, очевидно, тождественное преобразование матрицы, поскольку оно не меняет ее строк. Если же 0 , то такое преобразование есть композиция следующих элементарных преобразований (1) умножение r на : r R r , (2) сложение s с R : s s R , (3) умножение R на 1 / : (1/ ) R R r . Таким образом, применяя это преобразование, можно снять требование отличия множителя от нуля, чего, напротив, нельзя сделать при использовании элементарного преобразования второго типа, так сказать, в чистом виде (умножение строки на число. Это замечание, конечно, в равной степени относится и к столбцам матрицы. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. ВЫРОЖДЕННЫЕ И НЕВЫРОЖДЕННЫЕ КВАДРАТНЫЕ МАТРИЦЫ ◀ Определение ▶ Пусть для квадратной матрицы n A M существует матрица, обозначаемая 1 A 24 и обладающая свойствами (1.11) 1 1 n A A A A Тогда матрица A называется невырожденной (обратимой, а 1 A матрица, об- ратная по отношению к A . Свойство (1.11) является прямым аналогом связи действительного числа a и обратного к нему числа 1 1 a a . Известно, что среди действительных чисел лишь одно, а именно 0 a , не имеет обратного. Класс квадратных матриц, не имеющих обратной матрицы, боле широк. 24 1 n A M , нерасчленимое обозначение, символическое возведение в степень « 1 », сходное с обозначением обратной функции. Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ В самом деле, пусть A идемпотентная матрица, те. 2 A A и существует 1 A . Тогда, или A 1 ( ) n A A 1 n A A , так что необходимо n A . Итак, единственной идемпотентной невырожденной матрицей является единичная, а все остальные – необратимы (для них 1 A ). Например, матрица n O M вырожденная. Указанное обстоятельство имеет глубокое геометрическое истолкование. Действительно, выше уже отмечалось, что идемпотентные матрицы можно трактовать как некоторые проекторы. Но при проектировании (если оно не является тождественным преобразованием мерного вектора в пространство n того же числа измерений) безвозвратно теряется информация о некоторых координатах проектируемого вектора в том смысле, что по проекции невозможно однозначно восстановить его. Это и понятно одну и туже проекцию, скажем, на одну из координатных осей, имеет бесчисленное множество векторов. Следовательно, и не существует обратного отображения результата проектирования в проектируемый вектора если бы оно существовало, то реализовалось бы как раз умножение проекции слева на 1 : A 1 A 1 ( ) ( ) n проекция исходный вектор A u u u . Поэтому-то все идемпотентные матрицы, кроме единичной, являются вырожденными. СВОЙСТВА ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ При условии невырожденности всех фигурирующих в формулах матриц справедливы следующие утверждения. 1 ∞. 1 1 ( ) A A . Действительно, положим 1 B A и докажем, что 1 B A , те. что A обратная матрица для B . Имеем 1 B A A A = 26 . С другой стороны, 1 A B A A , откуда в соответствии с определением (1.11) следует, что матрица 1 B A имеет обратную матрицу, равную A – требуемое доказано. Следствие и взаимно обратные матрицы Строгий смысл этого и следующего словосочетаний станет ясен из дальнейшего, см. Лекцию 6 26 Там, где в этом нет необходимости, значок порядка квадратной матрицы будем опускать. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 23 ЛЕКЦИЯ транспонирование и обращение – перестановочны (коммутируют. Пусть n A M и 1 A . Покажем, что тогда 1 1 ( ) ( ) T T A A . По определению обратной матрицы должно быть 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T A A A A . Проверим это, полагая 1 ( ) T T C A A . По правилу умножения напишем i j c 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ki jk n n n T T ik kj ki jk jk ki k k k a A A A a A A a Равенства (1.11) можно представить в форме 1 1 ( ) ( ) i j i j i j A A A A 1, 0, i j i j , причем i j ji единичная матрица симметрична. Учтем еще, что 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n i j i k kj i k kj k k A A A A A a ; ● ji i j . Но это означает, что C . По той же схеме можно доказать докажите, что и 1 ( ) T T A A . В итоге матрицы T A и 1 ( ) T A взаимно обратные, что и требовалось установить. 3 ∞. 1 1 1 ( ) A Действительно, пусть A и B невырожденные матрицы, те. 1 A , 1 B . Тогда и A B невырожденная матрица, причем обратной для нее служит матрица 1 1 B A , поскольку Можно также доказать, что невырожденность произведения матриц влечет невы- рожденность всех сомножителей (доказанное равенство будет по-прежнему справедливо. Обобщение свойства 3 ∞. для любого конечного числа сомножителей выглядит так 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ( ) k k k k A A A A A A A A , где все матрицы , 1, i A i k квадратные и одного порядка. 4 ∞. Невырожденная квадратная матрица не может иметь более одной обратной матрицы. Пусть для матрицы n A M существует две обратных матрицы, которые обозначим как 1 B и 2 B . Составив произведение 1 2 C B AB , усматриваем, что Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Поскольку равенство матриц транзитивно, то отсюда последует, что 1 2 B B , так что обратная по отношению к A матрица – единственна ◆ Замечания 1. Пусть , n A X M Тогда если n A X ( n X A ), то и n X A ( n A X ). Мы вернемся к доказательству этого утверждения несколько позже (см. Лекцию 5 ), когда сможем увязать вырожденность квадратной матрицы с линейной зависимостью системы ее столбцов (строк. Пока же заметим, что приведенное утверждение позволяет проверять выполнение лишь одного из равенств (1.11) , если, например, контролируется правильность отыскания обратной матрицы Если , m n A M , а , n m B M m n , то может оказаться, что ровно одно из произведений или BA равно единичной матрице соответствующего порядка (те. либо m n AB BA , либо Позже (см. Лекцию 5 ) будет доказано, что одновременное равенство возможно лишь для взаимно обратных матриц, когда m n ▲ Приведите пример матриц указанного вида. 3. Несмотря на то, что пока мы не располагаем средствами вычисления обратной матрицы, в некоторых простейших случаях ее отыскание не вызывает труда. Так, например, если A , то ясно, что поскольку равенство 1 выполняется для 1 , тов силу единственности обратной матрицы доказано существование матрицы, обратной по отношению к единичной и равенство этой обратной матрицы самой единичной матрице 1 ( ) ( Представляет интерес выяснить, как широк класс матриц, обладающих этим свойством совпадать со своей обратной матрицей, те. удовлетворяющих матричному уравнению. Умножив последнее равенство справа на A , получим 2 A и сведем эту задачу к отысканию всех квадратных корней из единичной матрицы заданного порядка. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН М ◄ 25 ЛЕКЦИЯ Даже для небольших значений n эта проблема нетривиальна и не имеет уже простого решения, напоминающего решение 1 x соответствующего алгебраического уравнения 2 1 x . ▲ Проверьте, что матрицы 1 7 8 6 7 A и 2 7 48 1 7 A удовлетворяют указанному уравнению и являются тем самым квадратными корнями из 2 . Решите задачу в общем виде для 2 n покажите, что решение зависит от х параметров. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ Рассмотрим элементарные преобразования строк квадратной матрицы A , схематически изображенные ниже. (1.12) 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 n 1 1 0 0 Н.Н.БОБКОВ ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Здесь знак « » связывает матрицы, полученные одна из другой элементарным преобразованием строка отраженные в схеме этапы редукции A к n можно описать так сделать 1 нам диагональном месте (индексы 1 i j ). Для этого можно переставить строки (если среди них есть начинающаяся с 1), прибавить к некоторой строке другую, умноженную на подходящее число (это преобразование есть композиция элементарных преобразований типов 1, 2, см. стр. 19) или умножить первую строку на число, обратное ее первому элементу, если он отличен от нуля. Заметим, что при ручном счете таких делений рекомендуется избегать, пока это возможно умножая ю строку на подходящие числа, обнулить в первом столбце все элементы, кроме го, складывая результат умножения с нижележащими строками создать 1 на втором диагональном месте. умножая ю строку на подходящие числа, обнулить все элементы второго столбца, лежащие под единицей, как это уже делалось выше продолжить эту процедуру, пока на главной диагонали не получатся единицы, а всюду под ней – нули умножая последнюю строку на подходящие числа, обнулить в последнем столбце все элементы над единицей продолжить процесс, пока не получится n ∎ Ниоткуда не следует, что такое преобразование выполнимо для всех квадратных матриц (иначе, как увидим ниже, все они были бы обратимы. В самом деле, если, например, в A й столбец состоит из одних нулей, то ясно, что в описанной процедуре нельзя сделать даже й шаг. Обдумав это обстоятельство, можем утверждать, что если в процессе преобразований в матрице была, или (возможно) появится на некотором шаге помеха в виде нулевого столбца или нулевой строки, которых нет в матрице n – конечном пункте преобразований, то алгоритм нельзя будет довести до стадии, отмеченной в схеме знакома тогда и до конца. |