ЛЕКЦИЯ 01_Л.А.. Лекции кафедры математики гу вшэ нн

• Название: Лекции кафедры математики гу вшэ нн
• Дата: 07.06.2021
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: ЛЕКЦИЯ 01_Л.А..pdf
• Тип: Лекции; #214888
• страница: 4 из 4

27 ЛЕКЦИЯ Как совсем скоро станет ясно (Лекция 3
, свойство
5
∞
), это может означать лишь одно:
A

вырожденная матрица, не имеющая обратной Итак, теперь нам предстоит понять, как именно описанная процедура элементарных преобразований строк матрицы ведет к этому выводу и как, собственно, искать обратную матрицу, если она существует. Оказывается, что ответы на эти назревшие вопросы не выводят за рамки алгоритма редукции A к
n

, лежат в нем самом. Действительно, выше было продемонстрировано, что всякое элементарное преобразование строк матрицы (в том числе квадратной) равносильно ее умножению слева на некоторую матрицу K . Поскольку алгоритм
(1.12)
состоит, очевидно, из конечного числа шагов (обозначим его посредством
N
), то имеем
(1.13)
1 2
1
N
N
n
K
K
K K A


 

 


, где матрицы
,
1,
j
K
j
N

реализуют его последовательные шаги.
Умножим равенство
(1.13)
справа на
1
A

в предположении, что матрица A невы- рождена. Получаем
1 1
1 1
2 1
(
)
n
N
N
n
A
K
K
K K
A A
A





 














, или
1 1
2 1
N
N
n
K
K
K K
A



 Это последнее равенство показывает, что те же преобразования (1.12)
, что переводят в
n

, переводят
n

в В результате
I.
получен критерий, при помощи которого можем устанавливать вырожденность (невы- рожденность) заданной матрицы 27
Читатель должен отдавать себе отчет в том, что предложенное эвристическое обоснование существования обратной матрицы пока нельзя признать вполне строгим. Исчерпывающее изложение темы можно найти в расширенных руководствах по линейной алгебре. Матрица
n
A

M невырождена (обратима) в томи только том случае, когда элементарными преобразованиями строк она может быть редуцирована к единичной матрице того же порядка.

Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Найден способ отыскания обратной матрицы в случае, если она существует. Именно, для того, чтобы построить
1
A

, нужно организовать одновременное преобразование строк исходной матрицы A , сводящее ее к
n

, и тех же строк
n

, преобразующее ее в С этой целью матрицы A и
n

объединяют в так называемую расширенную матрицу размеров (
2 )
n
n

28
и работают со строками этой матрицы, пока на месте, занятом матрицей A , не появится
n

(или алгоритм не прервется по причине вырожден- ности A ). Тогда не месте, первоначально занятом матрицей
n

в расширенной матрице, автоматически возникнет
1
A

!
◆
Замечание
Известны (ив соответствующих разделах данного курса линейной алгебры будут рассмотрены) и другие критерии существования обратной матрицы для взятой матрицы
n
A

M . Однако в вычислительном аспекте приведенный выше критерий – один из наиболее эффективных. Помимо этого, он конструктивен – альтернативой утверждения о вы- рожденности A фактически является отыскание обратной матрицы
29
◆
Примеры:
1).
Для матрицы
1 2 3 4
A


 



найти обратную или убедиться в вырожденности A . Если матрица A обратима, сделать проверку найденной обратной матрицы 1
0 1 2 1 0 1
2 1
0 1 2 1 0 1 2 3
1 3 4 0 1 0
2 3 1 3 4 0 1 0 1 2
2
A



 
 
 

 
 
 
 







 
 
 






2 1
1 0 3
1 0 1 2
2













28
Присоединяют
n

справа к
A
, отчего описанный алгоритм именуют еще методом присоединенной матрицы В действительности невырожденность матрицы становится ясна несколько раньше окончания алгоритма редукции, а именно, если его удается довести до стадии, отмеченной на приведенной выше схеме
(1.12)

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 29 ЛЕКЦИЯ Итак,
1 2
1 3
1 2
2
A













. Проверим это, умножая исходную матрицу на результат
1 2
2 1
1 2 1 0 3
1 3 4 0 1 2
2
A A





























, поскольку
∙
3 1 ( 2) 2 1
2
     ,
3 3 ( 2) 4 0
2
     ;
∙
1 1 1 2 0
2


   





,
1 3 1 4 1
2


   





2).
Задание прежнее,
2 1 1 0
0 1
2 1
3 1 2 3
3 1
6 1
A


















4 1)
2)
2 1 1 0 1 0 0 0 2
1 1 0
1 0 0 0 0
1 2
1 0 1 0 0 0
1 2
1 0 1 0 0 3
1 2 3 0 0 1 0 1
0 1
3 1 0 1 0 3
1 6
1 0 0 0 1 1
2 5
1 1 0 0 1
A
















 





















3)
1 0
1 3
1 0 1
0 1 0 1 3
1 0
1 0
0 1
2 1 0 1
0 0
0 1 2 1 0 1
0 0
0 1
1 6 3 0
2 0
0 0 0 1 7 3 1
2 0 0
2 4
2 0 0
1 1 0
0 1
0 2
1 0












































1). вычитание первой строки из двух последних
2). третья строка поставлена на первое место и все элементы первого столбца, кроме первого, обнулены по схеме
(1.12)
;
3). вторая строка с получившейся единицей на втором диагональном месте комбинируется с лежащими ниже строками. Поскольку все элементы четвертой строки при этом обращаются в нуль, то заключаем отсюда, что 
1
A

, те. A  вырожденная матрица.

Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ Прежнее задание для матрицы
0 5
0 0 0 0
0 0
0 2 1 / 2 0 0
0 0 0
0 1 0 0 0
0 0
4 0
A




















5 0
5 0
0 0 1 0 0 0 0 1 / 2 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0
0 2 0 1 0 0 0 0
5 0
0 0 1 0 0 0 0 1 / 2 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0
4 0 0 0 0 0 1 0
0 0
4 0 0 0 0 0 1 0
0 0
0 2 0 1 0 0 0
A






































1 1 0 0 0 0 0 0
2 0
0 0
0 2
0 0
0 1 0 0 0 0 1 / 5 0 0
0 1 / 5 0
0 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 / 4 0
0 0
0 1 / 4 0 0 0 0 1 0 1 / 2 0 0
0 0
1 / 2 0 0
0
A

















 Самостоятельно проверьте правильность ответа Как можно было видеть из сказанного выше о матрице перестановки, она сделана из строк единичной матрицы такого же размера, но идущих в некотором другом порядке. Отсюда немедленно следует обратимость любой матрицы перестановки, поскольку она редуцируется к единичной одними только перестановками строк. Предположим, что в некоторой матрице перестановки A
на
k

м
месте среди ее строк (строки считаем в традиционном направлении сверху вниз) стоит я строка единичной матрицы. Понятно, что в расширенной матрице


A  противнее окажется я строка единичной матрицы. Если теперь, следуя схеме
(1.12)
, переместить в зоне A слева от «
∣» i  ю строку единичной матрицы с го места народное е место, то одновременно с этим в зоне
1
A

справа от «
∣» я строка единичной матрицы окажется нам месте среди строк. Таким образом, если в матрице
A имеется единица с индексами, тов матрице
1
A

имеется единица с индексами
( , )
i k . Кроме единиц как в
A , таки в
1
A

– только нули. Но это означает, что обратной для матрицы перестановки

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 31 ЛЕКЦИЯ является ее транспонированная матрица
T
A :
1
T
A
A


. Таким образом, любая матрица перестановки есть ортогональная матрица.
◆
Пример:
1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 матрица перестановки 4
 го порядка  Таким образом,
1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0
T
A
A















, или
1 1
4
T
T
A
A
A
A





  проверьте Предположим, что некто захотел бы редуцировать A к
n

путем элементарных преобразований столбцов, а не строк, как только что было показано. Объясните подробно последовательность шагов такого преобразования. Где следовало бы в этом случае присоединить к A ?
◆
Замечание
Выше операция обращения матриц была определена только для квадратных невырожденных матриц. В ряде случаев целесообразно иметь обобщение этого понятия на случай вырожденных и неквадратных матриц. Одним из таких общений является обращение Мура-Пенроуза
(МП-обращение). я строка единичной матрицы – нам месте я строка единичной матрицы – нам месте


1 4
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 Зона Зона A
A















 

















 



Н.Н.БОБКОВ
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ЛЕКЦИЯ
◀
Определение
▶
Для любой прямоугольной матрицы
,
m n
A

M
матрица
,
n m
A


M
, определяемая системой условий
(
)
(
)
T
T
AA A
A
A AA
A
AA
AA
A A
A A



















, называется МП-обратной
30
по отношению к
A .
▲ Проверьте, что МП-обращение обладает свойствами
1
∞.
1
A
A



для любой квадратной невырожденной матрицы.
2
∞.
(
)
A
A
 
 . Если
2
T
A
A
A
A






, то A
A

 – для симметрической идемпотентной матрицы A МП- обратная матрица совпадает с A . Матрицы
,
AA A A


 идемпотентные.
6
∞.
T
T
T
A AA
A
A AA




7
∞.
(
)
(
)
T
T
T
T
A A
A
A
A A
A







8
∞.
(
)
(
) , (
)
(
)
T
T
T
T
A A
A A
AA
A
A








9
∞.
(
)
(
)
T
T
T
T
A A A A A
A
AA AA
A


 
10
∞.
(
)
(
)
T
T
T
T
A
A A A
A AA





11
∞.
A
A




O
O .
12
∞.
AB
B A





O
O .
13
∞.
T
A B
A B




O
O .
30
Иногда говорят псевдообратной матрицей.

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ ГУ ВШЭ НН
М
◄ 33 ЛЕКЦИЯ Проверьте справедливость следующих утверждений
1). Для любой нулевой матрицы МП-обратная матрица совпадает с транспонированной.
2). Для матрицы-числа A с единственным элементом
a
1
A
a

 , если
0
a

, и
0
A

 , если. Для всякой матрицы
,
m n
A

M
МП-обратная матрица A

существует и единственна.
======================================================================= Краткая биографическая справка
■
Кронеккер Леопольд (1823–1891 г.г.) – немецкий математик.
■
Мур Элиаким Гастингс (1862–1932 г.г.) – американский математик.
■
Пенроуз Роджер (1931 г. – ) – английский математик.