Лецкиошццлл. Лекция 01 (1). Лекции кафедры математики нф гу вшэ
 Скачать 0.78 Mb.
|
|
(обоснуйте это утверждение, и тогда справедливо представление ( ) ( ) P x x T x , где ( ) T x многочлен на единицу меньшей степени, чем ( ) P x , который сам имеет степень не меньше единицы. Отсюда 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) xQ x P x x T x , или 2 2 ( ) ( ) Q x x T x , что повлечет 2 ( ) Q x x и, следовательно, ( ) Q x x . Как видно, многочлены ( ) P x , ( ) Q x одновременно кратны x , что противоречит предположению об отсутствии у них общего множителя в виде многочлена степени не ниже первой. Определение Элементарные функции, не являющиеся алгебраическими, называются трансцендентными 27 Трансцендентный (от transcendo, лат. – переступать, перешагивать) – запредельный по отношению к какой- либо определенной сфере. В данном контексте – не могущий быть описанным силами алгебраических функций, предполагающих выполнение над аргументом только основных арифметических действий и операции извлечения корня в конечном числе. Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Иными словами, трансцендентные функции – это такие, которые не удовлетворяют алгебраическим уравнениям вида ( , ) 0 P x В углубленных курсах математического анализа доказывается, что показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции являются трансцендентными. Пример такого доказательства можно найти в Лекции Описанная выше классификация элементарных функций отражена на приводимой схеме. ◆ Замечание Как уже говорилось вышеописанная классификация элементарных функций фактически повторяет разделение на классы множества действительных чисел. В соответствии с принятой терминологией алгебраическими действительными числами называют те из них, которые являются корнями алгебраических уравнений относительно одной переменной с целыми коэффициентами. Алгебраические числа в свою очередь подразделяются на рациональные ( 4 0, 1, 5 / 7, 9 / 5 , 81 и т.п.) и иррациональные ( 3 7 2 , 13 , 5 / 3 и т.п.). Первые представимы, а вторые – непредставимы в виде отношения целого числа к натуральному или двух целых чисел при условии, что делитель отличен от нуля. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 33 ЛЕКЦИЯ Действительные числа, не являющиеся алгебраическими, называют трансцендентными. Примером трансцендентных действительных чисел являются мировые константы и e . Их невозможно сконструировать из целых чисел при помощи конечного числа арифметических операций и извлечений корня. ________________________________________________________________________________ ▲ Докажите взаимную дистрибутивность операций « » и « ». ▲ Докажите равенства ) ( \ ) ( B A B A B A , ( \ ) ( ) ( \ ) A B A B A B B A ▲ Докажите, что если для множества X и любого множества A выполнено включение X A , то X ▲ Докажите следующие свойства символа суммирования 1 : n j 1 1 1 ( ) n n n j j j j j j j a b a b , 1 1 ( ) n n j j j j a a , 1 1 1 1 n m m n jk jk j k k j a a ▲ Приведите пример системы вложенных интервалов ( , ), 1, 2, n n n a b n , 1 n n , n , 0 n n n n l b a , не имеющих общей точки. ▲ Приведите пример системы вложенных интервалов (см. предыдущий пункт, имеющих общую точку. ▲ Постройте графики всех типов основных элементарных функций, а также графики функций, расстоянию от точки x до ближайшего целого числа, 1 2 1 1 x y , sin y x , sin y x , sin sin y x x Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Решите уравнение 0 ))))) ( ( ( ( ( x f f f f f , где 30 Для визуализации результатов можно использовать компьютерную программу Ad- vanced Grapher 28 ===================================================================== Краткая биографическая справка Леонард Эйлер (1707–1783 г.г.) – знаменитый швейцарский математик, механики физик Джон Венн (1834–1923 г.г.) – английский логик. ■ Огастес де Морган (1806–1871 г.г.) – шотландский математики логик. ■ Бертран Артур Уильям Рассел (1872–1970 г.г.) – английский математик, логики философ Николай Иванович Лобачевский (1792–1856 г.г.) – великий русский математик, творец неевклидовой геометрии. ■ Иоганн Петер Густав Лежён Дирихле (1805–1859 г.г.) – немецкий математик, внёсший существенный вклад в математический анализ, теорию функций и теорию чисел. 28 Программа предназначена в основном для визуализации различных функциональных зависимостей и обладает в своем классе одним из высших соотношений возможностей к размеру (< 1Мб) . Она является бесплатной для жителей бывшего СССР и часто будет применяться в данном курсе лекций как средство получения графической информации в рассматриваемых задачах. Сайт программы Аналогичные показатели и условия распространения имеет программа построения графиков функций двух переменных 3DGrapher, использовавшаяся в данном курсе при визуализации поверхностей в трехмерном пространстве. Сайт программы http://www.romanlab.com. |