Лецкиошццлл. Лекция 01 (1). Лекции кафедры математики нф гу вшэ
 Скачать 0.78 Mb.
|
|
V III . Любое числовое множество, ограниченное снизу (сверху, имеет точную нижнюю верхнюю) грань. О непрерывности множества говорится также при дальнейшем изложении в ряде мест данного курса лекций в той или иной формулировке она используется как вспомогательное средство при доказательстве некоторых утверждений. 20 Сравните это определение с определениями ограниченной сверху (снизу) и ограниченной числовой последовательности, Лекция 2 21 От «infinum» – наименьший и «supremum» – наибольший, лат. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 23 ЛЕКЦИЯ Замечания Сравнения и некоторые из бинарных арифметических операций, свойства которых приведены выше, можно осуществлять не только над числами из , аи над несобственными символами , и числовой прямой, или над парами , a , где a , а один из этих символов, в соответствии с соглашениями ; ; a ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( ) , ( )( ) ( )( ) ; ( )( ) ( )( ) , ( ) ; a a ( ) a a , если 0 a , то ( ) ( ) ; a a ( ) ( ) a a , если 0 a , то ( ) ( ) ; a a ( ) ( ) a a , ( ) ( ) ; a a ( )( ) , если 0 a , то ( ) ( ) a a . Операции ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , 0( ) , или (комбинация знаков – произвольная) не определены. Наделение несобственных символов приведенными свойствами, так сказать, теснее роднит их с собственными элементами – действительными числами ив ряде случаев делает оправданным пополнение (расширение) множества путем добавления к нему бесконечно удаленных точек. Известны два способа такого пополнения , , либо . В обоих случаях получившееся множество называют расширенной или замкнутой числовой прямой. Если во введенных ранее окрестностях символов , и сами они отсутствовали, то их окрестности в множестве получаются добавлением к прежним соответствующей бесконечно удаленной точки, так что будут уже содержать ее. На письме это отражается заменой круглой скобки, соседствующей сна квадратную ( ) ( ; ] U , ( ) [ ; ) U , ( ) [ ; ) ( ; ] U . 22 Результат бинарной операции получается из значений двух операндов , a b a b и т.п. Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ В противоположность культивируемому в средней школе и развиваемому далее на младших курсах университетов истолкованию действительных чисел как десятичных дробей конечных и периодических, представляющих рациональные числа, или апериодических, представляющих иррациональные) существует итак называемый аксиоматический подход к построению понятия числа. Его суть состоит в том, что действительные числа трактуются как абстрактные математические объекты (сущности, вещи, для которых отношения порядка и арифметические операции определяются как соответствия, обладающие свойствами Например, каждой паре чисел , a b ставится в соответствие число, обозначаемое как a b ( ) ab и называемое их суммой (произведением, причем такое соответствие удовлетворяет свойствам II ( III ). Далее, постулируется существование чисел, обозначаемых как 0 и 1, называемых нулем и единицей и удовлетворяющих для всякого числа a условиям 0 0 a , 1 a a , доказывается единственность нуля и единицы и т.д. При таком подходе свойства I–V называются аксиомами действительного числа. Заметим, что определяя описанным способом систему действительных чисел, необходимо проверить совместность аксиом I–V и мотивировать их количество и состав. Указанный круг вопросов, ввиду их принципиальной важности как фундамента для построения прочих разделов высшей математики, излагается с исчерпывающей подробностью в углубленных курсах математического анализа. Подчеркнем в заключение, что система свойств I–V оказывается непротиворечивой и полной в том смысле, что множество не может быть расширено до некоторого включающего множества таким образом, чтобы его элементы и операции над ними обладали всеми свойствами I–V . Поэтому описанные выше в данной лекции расширения понятия числа возможны лишь как результат некоторых, если можно так выразиться, жертвоприношений, выражающихся в отказе от некоторых из свойств действительных чисел. Так, операции сложения и умножения над комплексными числами (элементами множества , см. стр) являются коммутативными и ассоциативными притом, что умножение дистрибутивно относительно сложения. Однако сами эти числа уже не образуют упорядоченного множества. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 25 ЛЕКЦИЯ. ФУНКЦИЯ Понятие функциональной зависимости (функции) принадлежит к числу первичных математических понятий наряду с уже рассмотренными выше понятиями множества и числа. Подобные понятия не имеют строгого определения, а смысл их, за неимением лучшего, лишь разъясняется. Итак, функция понимается в математике в широком смысле как соответствие между элементами двух множеств. Далее нас будут интересовать в основном числовые математические функций. Это соответствия между элементами числовых множеств, то есть между числами. Пусть каждому элементу x числового множества X по определенному правилу f приводится в соответствие единственное число y . Тогда говорят, что на множестве X задана функция ) ( : x f y f . Множество X , обозначаемое также ( ) D f , называют при этом множеством определения ( областью определения, а совокупность значений y , обозначаемую или ( ) E f , – множеством значений ( областью значений или областью изменения) функции f 23 . Число x называют аргументом функции f . Говорят еще, что числа y соответствуют числам при помощи или посредством) функции , или что функция f отображает в y . Приведенная трактовка понятия функциональной зависимости исторически приписывается Лобачевскому и Дирихле. 23 При помощи логических символов множество значений функции ( ) y f x можно описать следующим образом такой, что ( )} y f x ( ) y f x y x X Y Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Несмотря на то, что в некоторых учебниках данное выше описание функциональной зависимости называют ее определением, в нем остается не формализованными никак не объясняется смысл термина правило, при помощи которого каждому ) x D f ставится в соответствие ( ) y E В самом деле, является ли правилом, о котором идет речь выше, следующий набор инструкций, устанавливающий соответствие (для примера) между числами множеств [0; ) и : 1). изобразите оси д.п.с.к. на плоскости 2). проведите прямые 1 : , 0 l y x x и 2 : , 0 l y x x ; 3). приведите в соответствие всякому действительное число y путем физического проведения через точку ( ;0) x на оси абсцисс прямой, параллельной оси ординат так если проводимая прямая имеет нечетный номер (каждая проведенная прямая нумеруется и остается навсегда в плоскости Oxy ), то y , соответствующий взятому x , есть ордината точки пересечения этой прямой с 1 l , а если номер проводимой прямой четный, то y , отвечающий этому x , равен ординате точки пересечения этой прямой с Если это – правило, то отвечайте на вопросы каково значение функции ( ) y f x в точке 1? x », каково значение функции ( ) y f x в точке 1? x » и т.д. А если это не правило, то что есть правило Примеры 1). Функция 2 x y ставит в соответствие x неотрицательное число y , равное ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 27 ЛЕКЦИЯ. Следовательно, ) ; ( X – область ее определения, а ) ; 0 [ Y – область значений 2). Функция x y sin ставит в соответствие x проекцию на вертикальный диаметр единичного круга радиуса этого круга, повернутого на угол x (в радианах, отсчитываемый от его положительного горизонтального полудиаметра (положительное направление отсчета угла – против часовой стрелки Таким образом, ) ; ( X , ] 1 ; 1 [ Y 2 1 1 y x 2 2 2 y x O 1 x 2 x x y sin x 1 1 1 1 x Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Функция x y a log ставит в соответствие x 0 действительное число y , удовлетворяющее условию , y a x где 1 , 0 a a . Здесь ) ; 0 ( X , Сколько раз каждая из рассмотренных функций принимает каждое свое значение из) Элементарные функции Часто употребляемые в приложениях типы функциональных зависимостей выделяют в класс основных элементарных функций. Это , y x – степенная функция 1 , 0 , a a a y x – показательная функция x y a log – логарифмическая функция x x x y x x x y x y x y ctg sin / cos , tg cos / sin , cos , sin – основные тригонометрические функции x y x y x y x y arcctg , arctg , arccos , arcsin – обратные тригонометрические функции. Суперпозиция функций Пусть задана функция ) ( x f y , причем число y является в свою очередь аргументом другой функции ) ( : y z . Тем самым устанавливается соответствие чисел x числам z , которое осуществляет функция : [ ( )] ( ) F z f x F x , которая называется сложной функцией, или суперпозицией (композицией) функций и f : f F . Суперпозиция может состоять и более чем из двух функций ( ) { [ ( ) ]} F x w v u x 24 и т.п. 24 Для устранения недоразумений в записях подобного рода использование квадратных и фигурных скобок для обозначения целой и дробной частей соответствующих выражений должно быть оговорено специально. В суперпозициях с числом вложений, большим трех, часто используются только круглые скобки. Иногда при записи суперпозиций скобки не употребляются вовсе ( ) ln cos arctg sh 2 y x x и т.п. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 29 ЛЕКЦИЯ ◀ Определение ▶ Все функции, образуемые из основных элементарных функций при помощи конечного числа арифметических операций и суперпозиций, называются элементарны- ми функциями ◆ Пример: 2 x x – элементарная функция является суперпозицией двухстепенных функций 2 x y и Классификация элементарных функций Подобно тому, как классифицируются, то есть подразделяются на определенные типы или классы, вещественные числа, могут быть классифицированы и элементарные функции. Такая классификация оказывается полезной в ряде разделов математического анализа при выработке теоретических основ и технических приемов решения некоторых ключевых задач дифференциального и интегрального исчисления. Оказывается, что такие приемы можно естественным образом связать со свойствами функций, над которыми осуществляются те или иные математические операции с целью получения решения поставленной задачи общего содержания. Именно различие в характере, специфике зависимости функции от ее аргумента аргументов) и служит основой для обсуждаемой классификации. Одним из ярких примеров является здесь техника вычисления первообразных (неопределенных интегралов, изучаемая далее в предлагаемом курсе лекций (см. Лекцию 15 ). Элементарные функции разбивают на перечисляемые ниже классы в соответствии со следующими определениями, первое из которых носит вспомогательный характер. : ( ) f y f x x y z X Y Z : ( ) z y : ( ) F z F x Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Определение Многочленом от переменных , x y называется функция ( , ) ( ) n n P x y a x y 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n n a x y a x y a x , где n , 0 ( ) ( ) n a x a x многочлены от переменной x , причем ( ) 0 n a x Õ 25 . Уравнение относительно двух переменных вида ( , ) 0 P x y называется алгебраическим. Число n называется степенью многочлена ( , ) P x y относительно переменной y . Определение Элементарная функция ( ) y f x называется алгебраической, если она удовлетворяет на некотором промежутке алгебраическому уравнению ( , ) 0 P x y , то есть ( , ( )) 0 P x f x , x Примеры Функции 3 2010 y x алгебраические, поскольку они удовлетворяют тождественно по x в данном случае на всей числовой оси алгебраическому уравнению 2 3 ( , ) P x y y x 2010 0 2). Если ( ) P x , ( ) Q x некоторые многочлены относительно переменной x , то как они сами, таки их отношение ( ) / ( ) P x Q x , ( ) 0 Q x Õ , называемое рациональной функцией, являются алгебраическими функциями. В самом деле, ( ) ( , ) 1 ( ) 0 y P x P x y y P x и ( ) / ( ) y P x Q x ( , ) ( ) P x y Q x y ( ) 0, : ( ) 0 P x x Q x . В рамках такой терминологии многочлены принято называть целыми рациональными функциями. В обоих приведенных только что примерах уравнение, которым определена рациональная функция, есть алгебраическое уравнение первой степени относительно переменной. Однако, это необязательно. Так, например, рациональная функция y x определяется, помимо уравнения 1 0 y x еще и уравнениями 2 2 0 y x , 11 11 0 y x и т.п. 25 В этом определении буквы x и y можно поменять ролями. 26 Это родовое наименование класса уравнений с нулевой правой частью, левая часть которых есть некоторый многочлен. Так, в средней школе систематически изучаются алгебраические уравнения первой и второй степеней относительно одной переменной – линейные и квадратные. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 31 ЛЕКЦИЯ Определение Алгебраическая функция, не являющаяся рациональной, называется ирра- циональной ◆ Примеры: 1). Функция y x есть алгебраическая иррациональная функция, определяемая, например, алгебраическим уравнением 2 ( , ) 0, 0 P x y y x x . 2). Алгебраическое уравнение 3 2 ( , ) 0 P x y y x определяет при 0 x иррациональную функцию 3 В подтверждение того обстоятельства, что множество алгебраических функций не исчерпывается алгебраическими функциями, покажем, что функция y x не может быть представлена в виде отношения двух многочленов от переменной Действительно, если это не так, то ( ) , 0 ( ) P x x x Q x . Не ограничивая общности допустим, что у многочленов ( ) P x и ( ) Q x нет общего множителя в виде многочлена степени 1 k . Далее, 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) P x x x Q x P x Q x , так что 2 ( ) P x x . Но тогда и ( ) P x x |