Лецкиошццлл. Лекция 01 (1). Лекции кафедры математики нф гу вшэ

• Название: Лекции кафедры математики нф гу вшэ
• Анкор: Лецкиошццлл
• Дата: 23.12.2021
• Размер: 0.78 Mb.
• Имя файла: Лекция 01 (1).pdf
• Тип: Лекции; #314860
• страница: 2 из 4

13 ЛЕКЦИЯ Числа указанного вида (то есть не входящие в  ), образуют множество иррациональных чисел (представляют собой бесконечные десятичные непериодические дроби.
◀
Определение
▶
Множество
 
 

, то есть объединение множеств рациональных и иррациональных чисел, называется множеством
действительных
(вещественных)
чисел. Геометрический образ множества  – числовая прямая
(
числовая ось, ч.о.
)
Числовая ось есть непрерывная бесконечная прямая, на которой выбраны начало отсчета (произвольная ее точка, условно соответствующая числу 0), отмечаемое стрелкой направление возрастания чисел и масштаб – единичный отрезок от начала отсчета до точки на прямой, условно соответствующей числу 1: Между точками ч.о. и действительными числами имеется взаимно однозначное соответствие каждой точке ч.о. соответствует единственное число, для каждого числа найдется соответствующая ему точка ч.о. и разным точкам ч.о. соответствуют разные числа
13
Действительные числа образуют упорядоченное множество (то есть их можно сравнивать по величине для всяких двух чисел
b
a, выполнено лишь одно из трех возможных соотношений
b
a
b
a
b
a



,
,
◀
Определение
▶
Целой частью действительного числа
x
(обозначения
]
[
),
(
x
x
E
) называется наибольшее целое число, не превосходящее Пример
7
]
04
,
7
[
,
0
]
0
[
,
2
]
2
,
1
[





◀
Определение
▶
Дробной частью действительного числа
x
(обозначение }
{
x ) называется разность между ними его целой частью:
]
[
}
{
x
x
x


◆
Пример:
7
,
0
)
1
(
3
,
0
]
3
,
0
[
3
,
0
}
3
,
0
{
;
7
,
0 Ясно, что




x
x
,
1
}
{
0
 .
13
Тем самым точки числовой прямой и действительные числа выступают в виде уникальных пар всякая точка
– в паре c ей и только ей соответствующим действительным числом и наоборот.
O
1
x

Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ
◀
Определение
▶
Абсолютной величиной (модулем) действительного числа
x
называется действительное число
x
, вычисляемое по формуле здесь фигурная скобка не имеет системного смысла, т.к. не является первым символом выражения – ей предшествует знак равенства по определению она обозначает совокупность равенств, определяющих величину
x
, а именно модуль неотрицательного действительного числа совпадает с самим числом, тогда как модуль отрицательного числа равен противоположному действительному числу. Основные свойства модуля
1
±. Модуль есть величина неотрицательная  
 .
2
±. Модули противоположных величин равны 
 
 .
3
±. Модуль не меньше самой величины и ей противоположной .
4
±. Геометрический смысл модуля
Число
b
a

равно расстоянию между точками ч.о., соответствующими числами. В частности,
0

 есть расстояние от точки
x
до начала отсчета на ч.о.
5
±. Неравенство треугольника
Модуль суммы не превосходит суммы модулей слагаемых





y
x
y
x
y
x
,
,
 . Следствия.
n
n
x
x
x
x
x
x









2 1
2 1
, или





n
j
j
n
j
j
x
x
1 1
, где



n
j 1
знак (символ) суммирования по индексу
j от 1 до докажите.
y
x
y
x



– модуль разности модулей двух чисел не превосходит модуля их разности докажите

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 15 ЛЕКЦИЯ модуль произведения равен произведению модулей сомножителей верно для любого числа сомножителей




x
x
x
n
n
,
 ,
n
 
0
,


y
y
x
y
x
– модуль частного равен частному модулей делимого и делителя.
7
±.
x
x

2
– правило извлечения арифметического квадратного корня из квадрата действительного числа. Числовые промежутки на числовой оси. Несобственные элементы
1. Отрезок
b
x
a
b
x
a
x








2. Интервал
b
x
a
b
x
a
x








3. Полуотрезок (полуинтервал)
b
x
a
b
x
a
x








b
x
a
b
x
a
x








[ ; ]
a b
x
a
b
( ; )
a b
x
a
b
[ ; )
a b
x
a
b
( ; ]
a b
x
a
b

Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Несобственными элементами числовой оси называют символы
 
и
  . Им не соответствуют никакие точки ч.о., что обусловливает термин несобственные по отношению к этим символам. Выше были изображены лишь конечные промежутки ч.о., то есть такие, для которых расстояние от их точек до начала отсчета ограничено некоторой величиной
0

R
(такие промежутки имеют конечную длину. Несобственные символы   и
 
связаны отношениями порядка с действительными числами следующим образом   (
 
) больше (меньше) любого действительного числа. Это позволяет применить сходные с упомянутыми выше обозначения и для бесконечных промежутков числовой прямой. А именно
14
Объединяющий термин для отрезков и интервалов (полуинтервалов) числовой прямой.
a
x
(
; ]
x
a
x
a
    
 
(
; ]
a

 
a
( ;
)
x
a
x
a
  
 
( ;
)
a

x
[ ;
)
a

a
 
x
[ ;
)
x a
x
a
  
 
a
 
(
; )
x
a
x
a
    
(
; )
a

x
(
;
)
 
x
 
 Вся числовая ось
(
;
)
x
x
x

            


ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 17 ЛЕКЦИЯ Окрестности
◀
Определение
▶
Окрестность действительного числа
a
есть произвольный интервал ч.о., содержащий точку
a
: Важную роль в дальнейшем будут играть окрестности, для которых точка
a
– середина интервала
)
;
(
d
c
. Если длину такого интервала обозначить, следуя традиции, как

2
,
(

– эпсилон, буква греческого алфавита
0


) то получим






a
d
a
c
,
: Такие окрестности называют
 окрестностями точки
a
и обозначают
)
(a
U

. Таким образом, Пример интервал
)
5
;
1
(

есть окрестность точки Если окрестность точки
a
не содержит самой этой точки, то она называется проколотой ее окрестностью:








a
x
x
a
U
0
:
)
(

Для единообразного изложения формулировок и доказательств многих теорем математического анализа удобно ввести понятие
 окрестностей и для несобственных символов числовой оси. Это делается следующим образом. Определение окрестностью символа
 
называют промежуток
)
;
(



. Аналогично окрестность символа
  – это промежуток (
;
)
    :
x
( ; )
a
c d

a
c
d
x
a
a

a
 
(
) :
U




x

(
) :
U

 
 
x

Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Симметричное множество (
;
)
( ;
)
        можно рассматривать как
 окрестность еще одного несобственного символа ч.о. – так называемой
беззнаковой бесконечности, которая уже не связана отношениями «  » или «  » с действительными числами. Эта окрестность обозначается посредством ( ) :
U

 Как видно,







x
x
U
:
)
(
, то есть представляет совокупность точек ч.о., расстояние от которых до начала отсчета превосходит

. Ясно, что



)
(
U
 \




 ;
, так что
 окрестность символа
 является дополнением отрезка




 ;
в множестве всех действительных чисел
15
Из множества  можно при помощи операции декартова умножения образовать множества
2



×
 (обозначается также
2
 ),...,
n



×

×
×
 (
n
раз.
◀
Определение
▶
Множество называют мерным координатным пространством
Оно представляет собой совокупность упорядоченных наборов 
действительных чисел. Всякий такой набор называют точкой пространства
n
 , а числа
n
x
x
,
,
1

– ее координатами. Такие наборы называют также векторами пространства. Если представить себе плоскость, в которой введена, например, декартова прямоугольная система координат
2 1
x
x
O
, то каждая точка плоскости однозначно определяется парой чисел
)
,
(
2 1
x
x
, так что между точками плоскости и точками пространства возникает взаимно однозначное соответствие (рассуждение остается в силе для любого числа
n
). Рассмотренные выше множества чисел находятся друг с другом в соотношении
 
 можно ли продолжить этот ряд вложений Оказывается, что понятие числа можно расширять и дальше. Одно из таких важнейших расширений – расширение до множества так называемых комплексных чисел пред Иногда
 окрестности символов
,
,
    
определяют как множества
(
, 1 / )
  

,
(1 / ,
)
  
и
(
, 1 / )
  
  (1 / ,
)
  соответственно. Тогда, как и для
 окрестностей собственных точек числовой оси, прибудет, где «

» означает любой из этих несобственных символов.
( ) :
U




x

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 19 ЛЕКЦИЯ ставляющих собой систему плоских векторов, подчиненных определенным правилам при выполнении над ними алгебраических операций. О непрерывности множества действительных чисел
В данной лекции входе изложения основ математического анализа предполагается, что главные свойства действительных чисел известны читателю из курса школьной математики. О свойстве упорядоченности множества  уже упоминалось выше. Расширенная формулировка этого свойства, а также свойства, связанные с выполнением над действительными числами основных арифметических операций, еще раз перечислены в целях напоминания ниже. Предполагается, что , ,
a b c
  .
▶
I. Свойства порядка. для любых двух действительных чисел ,
a b
имеется единственная из трех возможностей транзитивность отношения «  » (меньше 3). , :
:
a b a b
c a c b

  
   между двумя действительными числами имеется действительное число.
▶
II. Свойства операций сложения и вычитания.
a b b a
   
переместительный закон коммутативность сложения. (
)
(
)
a b
c a
b c
      сочетательный закон ассоциативность сложения.
0
a
a
 
4). (
) 0
a
a
   .
5). a b
 
,
a c b c
c
    .
▶
III. Свойства операций умножения и деления.
ab ba


переместительный закон коммутативность умножения. ( )
( )
ab c a bc

 сочетательный закон ассоциативность умножения Эти свойства приводятся здесь без доказательств, за которыми читатель отсылается к расширенным курсам математического анализа.
17
Отношения больше («

») и равно («

») также транзитивны докажите

Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ распределительный закон
(дистрибутивность
умножения по отношению к сложению. ,
0
a b
ac bc
c
 

  . В полной системе свойств действительных чисел к уже приведенным добавляются еще два.
▶
IV. Архимедово свойство c
   
 для всякого положительного действительного числа найдется большее его натуральное число. Отсюда вытекает, что
1 0
:
n
n
  


, или, после умножения обеих частей неравенства на
0
n

 и использования свойства III, 6),
1
n
   для любого положительного действительного числа отыщется такое натуральное число, что обратное к нему будет меньше взятого числа.
▶
V. Непрерывность множества действительных чисел
Последнее пятое свойство отражает представление о действительных числах как точках непрерывной, сплошной числовой прямой. Несмотря на простоту и кажущуюся интуитивную понятность, для его строгого доказательства школьного математического аппарата уже недостаточно. В данном курсе математического анализа оно обсуждается по необходимости кратко, см. сноску 16 на стр. Свойство непрерывности может быть определено несколькими различными способами в форме эквивалентных утверждений. Ниже приведены три такие формулировки. Лемма о вложенных отрезках. Пусть задана последовательность (система) отрезков вида, вложенных друг в друга
1
n
n
n
s
s

 



. При этом выполнено дополнительно следующее условие каково бы ни было положительное число

, начиная с некоторого номера
0
n
длины
n
n
n
l
b
a

 всех таких отрезков меньше

. Это принято запи-

ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ
М
◄ 21 ЛЕКЦИЯ сывать в виде
0
n
n
l

 и говорить переменная
n
l стремится к нулю при
n
, стремящемся к бесконечности».
18
Тогда существует ипритом единственное число (точка, принадлежащее всем этим отрезкам ! :
n
a
n
a s

 
 

19
V
II
.
Пусть множество  разбито на две непустые непересекающиеся части , :
A B
,
A B
 

,
A
B
 
  , причем любое число из множества A меньше любого числа из множества
:
B
,
a
A
b B
a b
 
    докажите, что вследствие этого  Тогда либо весть наибольшее число, а в B нет наименьшего, либо в A нет наибольшее число, а весть наименьшее. Примеры. (
; 2010]
A
 
,
(2010;
)
max
2010
x A
B
x


    

,
 min
x B
x

2). (
; )
A
p
 
, [ ;
)
B
p

    max ,
min
x B
x A
x
x
p


 
 . Говорят, что множества
,
A B , удовлетворяющие условиям
V
II
, образуют сечение B
множества  . Множество
A называют нижним классом этого сечения, а множество
B
 его верхним классом. О числе  , существование которого утверждается в рассматриваемой формулировке свойства непрерывности (   либо наибольшее в нижнем классе сечения, либо наименьшее в его верхнем классе) говорят, что оно производит (осуществляет) данное сечение и пишут
A B
 Таким образом, непрерывность множества действительных чисел означает, что не существует иных сечений множества  помимо тех, каждое из которых производится некоторым действительным числом В Лекции 2
дано систематическое изложение теории пределов числовых последовательностей. Читателю настоятельно рекомендуется сравнить соответствующую терминологию и усмотреть сходство.
19
Значок
!

иногда используют для краткого обозначения словосочетания существует и единственно.

Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Предварим третью формулировку свойства
V
следующими определениями. Определение Множество
A действительных чисел называется ограниченным снизу сверху, если найдется такое число
( )
m M , что все числа из A не меньше
m
(не больше
M ). Коротко говоря,
( ) :
m M

(
)
a
A
a m a M
   

. При этом число
( )
m M называется нижней (верхней гранью множества
A . Определение Множество
A называется ограниченным, если оно одновременно ограничено и сверху и снизу
20
Отсюда нетрудно вывести, что ограниченность множества
A означает
0 :
M


a
A
a
M
  

(последнее неравенство может быть и строгим. Определение Число ( )
m M называется точной нижней (верхней гранью множества A , если выполнены условия
1). ( )
m M
 нижняя (верхняя) грань множества A , то есть
(
)
a
A
a m a M
   

;
2). ни одно из чисел, больших меньших M ), не является нижней (верхней) гранью множества
A . Иначе говоря, 0
:
(
)
a
A a m
a M
   
  

  . Пишут inf inf
a A
m
A
a



, sup sup
a Можно сказать, что точная нижняя (верхняя) грань числового множества есть наибольшая (наименьшая) из его нижних (верхних) граней. В третьей формулировке свойства непрерывности множества действительных чисел утверждается наличие точных граней у ограниченных числовых множеств. Именно,

1   2   3   4