Лецкиошццлл. Лекция 01 (1). Лекции кафедры математики нф гу вшэ
 Скачать 0.78 Mb.
|
|
ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 1 ЛЕКЦИЯ Лекция 1. Вводная. Множество. Число. Функция В предлагаемом вниманию читателя курсе математического анализа различные определения, утверждения и теоремы зачастую формулируются посредством общепринятых логических обозначений – символов (элементов, кванторов) языка раздела математики, именуемого математической логикой. Использование подобной символики не является, как известно, необходимым, однако имеет ряд преимуществ, в особенности в небольших по продолжительности лекционных курсах. Одно из таких преимуществ – компактность и емкость формулировок, позволяющая экономить время и место. Другое состоит в том, что применение этого языка закрепляет у изучивших его читателей навыки систематического и универсального мышления, что облегчает восприятие строгих посылок, выводов и доказательств математического анализа. Следует, впрочем, сказать, что применение упомянутых символов не является в данном курсе самоцелью, и рядом с некоторым математическим предложением, зашифрованным подобным образом, почти всегда можно найти его перевод на обычный язык. Из сравнения этих двух форм одного итого же вдумчивый студент извлечет несомненные преимущества более глубокого проникновения в суть изучаемого математического понятия и дополнительные степени интеллектуальной свободы. Не имея целью систематическое изучение математической логики и свойств даже тех ее простейших языковых конструкций, о которых говорилось выше, приводим ниже их сокращенный перечень с необходимыми пояснениями. СИМВОЛИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Символ Смысл « "» – квантор всеобщности Заменяет словосочетания любой, всякий, для любого и т.п. « $» – квантор существования ... существует, найдется и т.п. « » – знак импликации ... следует, влечет, вытекает, имеет 1 Есть несколько блестящих примеров курсов математики, в которых такой подход совсем не используется. Один из них – двухтомник Н.Н.Лузина Дифференциальное исчисление и Интегральное исчисление. Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ место, выполняется « » – знак равносильности или эквивалентности. тогда и только тогда, когда, в томи только том случае, когда, если и только если «:» – двоеточие ... такой, что « |» – вертикальная черточка сходен по смыслу и употреблению с предыдущим символом ... при условии, что « { некоторые объекты – фигурные скобки Знак совокупности объектов (например, чисел, геометрических фигур, функций и пр) « » горизонтальная черта над некоторым утверждением Знак отрицания. Означает, что данное утверждение не имеет места Знак системы условий Знак совокупности условий Система условий выполнена 2 выполнены все условия системы система не выполнена не выполнено хотя бы одно из ее условий 3 Совокупность условий выполнена выполнено хотя бы одно из них совокупность не выполнена одновременно не выполнены все ее условия. МНОЖЕСТВО Понятие множества – первичное (элементарное) понятие математики, не сводящееся к более простым понятиями потому не имеющее строгого математического определения. 2 Логическая символика изредка будет употребляться не только в определениях и других математических высказываниях, аи в обычных предложениях для сокращения записи. 3 Можно сказать, что в этом смысле условия в системе объединяются союзом и. Наряду со знаком системы условий используют равносильный по смыслу логический символ « » – знак конъюнкции Часто также говорят, что условия в совокупности объединяются неисключающим союзом или в прямом соответствии со смыслом словосочетания хотя бы одно. Наряду со знаком совокупности условий используют равносильный по смыслу логический символ « » – знак дизъюнкции условия условия ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 3 ЛЕКЦИЯ Множество понимается как совокупность некоторых объектов, называемых элементами данного множества. Пример множество факультетов НФ ГУ ВШЭ; множество девушек с зелеными глазами на ЭФ, множество звезд в Галактике и т.п. Пустое множество, обозначаемое посредством символа «, есть множество, не содержащее элементов. Примеры множество действительных корней уравнения 0 1 2 x , множество пересекающихся параллельных прямых в школьной геометрии, множество треугольников с четырьмя сторонами. Диаграммы Эйлера – Венна Диаграммы Эйлера – Венна – удобное графическое средство изображения множеств, их элементов и различных соотношений между ними. Множества представляются некоторыми (часто плоскими) фигурами, а их элементы – точками этих фигур. В качестве обозначений (названий, имен) множеств традиционно используют заглавные латинские буквы , , , , , , A B C X Y Z , а их элементы часто обозначают малыми латинскими буквами , , , , , a b c x y Принадлежность элемента a множеству A записывают в виде a A , а если элемент не принадлежит множеству A , то пишут b A Диаграмма Подмножества Понятие подмножества возникло в результате необходимости придать строгую форму тому обстоятельству, что из двух множеств одно есть в некотором смысле часть другого Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Определение Множество B называют подмножеством множества A (пишут A B или B A ), если всякий элемент множества B есть в тоже время и элемент множества A : B A x B x A . Говорят также, что множество B включено (или вложено) в множество A . Диаграмма В соответствии с приведенным определением для любого множества A выполняется включение A A (то есть любое множество включено само в себя. По определению принимают также, что « , A A (пустое множество включено во всякое другое) 5 Отношение включения транзитивно , то есть если B C и A B , то Диаграмма Если считать, что фраза элемент x принадлежит множеству », имеет смысл, то включение A можно доказать, исходя из определения докажите A B C ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 5 ЛЕКЦИЯ Не следует думать, что указанное свойство отношения включения является само собой разумеющимся, т.к. не все отношения транзитивны (не только в математике, но ив быту. Пример Экономисту A нравится экономистка B , а ей нравится экономист C : Равенство множеств ◀ Определение ▶ A ≝ B A B B A A y B y B x A x « ≝ » – знак равенства по определению («definition»), используется для введения (определения) новых понятий, читается есть по определению. При этом для обозначения равных множеств используют традиционный знак равенства и пишут, как обычно B A . Пример пусть – множество равносторонних треугольников, и B – множество равноугольных треугольников. Ясно, что B A , то есть эти множества состоят из одних и тех же элементов и потому равны друг другу в соответствии с вышеприведенным определением проведите доказательство подробно по схеме, данной ниже в замечании) Операции надмножествами. Объединение (аналог сложения чисел знак операции – « », чашка. Определение : } c A A B C c c B Л Л Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Таким образом, объединение множеств состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из объединяемых множеств. Диаграмма Данное выше определение относится и к объединению любого конечного числа множеств. Свойства операции « ». A B B A – коммутативность переместительный закон ) ( ) ( C B A C B A – ассоциативность сочетательный закон A A A A A 2. Пересечение (аналог умножения чисел знак операции – « », крышка. Определение : }. c A A B C c c B Таким образом, пересечение множеств состоит из тех и только тех элементов, которые входят одновременно в эти множества. Диаграмма ИЛИ A B C A B A B C A B И ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 7 ЛЕКЦИЯ Данное выше определение относится и к пересечению любого конечного их числа. Свойства операции « ». A B B A – коммутативность переместительный закон ) ( ) ( C B A C B A – ассоциативность сочетательный закон A A A 6 A Операции объединения и пересечения взаимно распределительны ( дистрибутивны ) 8 : ) ( ) ( ) ( C B C A C B A – дистрибутивность относительно , ) ( ) ( ) ( C B C A C B A – дистрибутивность относительно . ◆ Замечание Доказательство всех свойств операций надмножествами, представляющих собой утверждения о равенстве некоторых множеств, производится последующей схеме доказывают, что всякий элемент левой части равенства является и элементом правой, а всякий элемент правой части равенства является и элементом левой, после чего используют определение равенства множеств. Пусть, далее, A B . Тогда A B A (объединение таких множеств есть более широкое из них, B B A (пересечение – более узкое. 3. Разность множеств. Дополнение (аналог числового вычитания знак операции – «\»). Определение : } c A A B C c c B Таким образом, разность множеств A и B состоит из тех и только тех элементов множества A , которые при этом не входят в множество B . 6 Обратите внимание на то, что это свойство пересечения, как и свойство объединения, отличают указанные операции надмножествами от операций сложения и умножения действительных чисел. 7 Это свойство, как и свойство объединения A A , показывает, что пустое множество играет среди множеств роль, сходную стой, которую играет число «0» в множестве действительных чисел. 8 В арифметике распределительно только умножение чисел по отношению к сложению Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Диаграмма Операция «\» не является ни коммутативной, ни ассоциативной \ \ , A B B A ( \ ) \ \ ( \ ) A B C A B Если , то разность \ A B называется дополнением множества B в множестве : Пусть n i A U i , , 1 , – подмножества множества A . Обозначим посредством , 2 1 n i i U U U U объединение всех таких множеств i U и посредством , 2 1 n i i U U U U – их пересечение. Имеют место важные соотношения, называемые формулами де-Моргана и выражающие так называемый принцип двойственности (термин двойственность обусловлен тем, что каждое из этих соотношений переходит во второе, если в нем поменять местами знаки операций объединения и пересечения A B \ C A B B A \ C A Формулы де Моргана ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 9 ЛЕКЦИЯ Таким образом, дополнение в множестве A объединения (пересечения) подмножеств множества A равно пересечению (объединению) дополнений этих подмножеств в A . При помощи операций « \ » и « » можно образовать так называемую симметрическую разность (знак операции – « ») множеств A и B : Определение : } \ c A B A B C c c B A Диаграмма Операция « D», в отличие от «\», является уже как коммутативной, таки ассоциативной докажите. Выполняется равенство ) ( \ ) ( B A B A B A 4. Декартово произведение множеств (знак операции – « × »). Определение ( , ) : } x A B C x y y B Таким образом, декартово произведение двух множеств есть совокупность упорядо- ченных 9 пар элементов, первый из которых принадлежит первому множеству, а второй – второму. Известно, что операция « × » не коммутативна, но ассоциативна: A × B B × A , но A ( × ) B × A C × B ( × ) C . Аналогично вводится декартово произведение более чем двух множеств 9 Упорядочение означает, что числам в паре присвоены порядковые номера «1» ив соответствии с которыми они перечислены внутри круглых скобок. Таким образом, пары ( , ) x y и ( , ) y x – вообще говоря, различны B Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ Определение 2 1 1 2 2 ( , , , ) : , , , n n n x x x x A x A x A 10 – совокупность упорядоченных наборов, состоящих из n элементов, причем первый из них принадлежит первому из множеств, второй – второму и т.д. Трудности теории множеств 11 ◆ Пример: Размышляя над понятием множества, заметим, например, следующее. Множество всех треугольников не является треугольником и поэтому не входит само в себя в качестве элемента. 2). Множество всех множеств – тоже множество и поэтому, казалось бы, в отличие отпер- вого случая, должно входить в себя в качестве элемента Обозначим теперь посредством свойство множества, состоящее в том, что оно не входит в себя в качестве элемента. Как видно, множество всех треугольников обладает этим свойством, а множество всех множеств – нет. Построим, далее, множество A , включив вне- го те и только те множества, которые обладают свойством Вопрос: обладает ли само множество A этим свойством ? Пусть A обладает свойством . Тогда A не должно входить в A в качестве элемента. Нос другой стороны – должно входить, т.к. A состоит по построению из всех множеств, которые сами в себя в качестве элемента не входят – противоречие Пусть A не обладает свойством , то есть A есть в A , что означает по признаку входящих в A элементов-множеств, что множества A в качестве элемента вне содержится вновь противоречие Итак, построенное нами множество A не может ни обладать свойством , ни не обладать им. Этот парадокс известен в теории множеств как парадокс Б.Рассела . 10 Здесь употреблена несколько иная, чем в предыдущих определениях, система обозначений, более удобная для данного случая системный знак заменен перечислением нескольких одновременно выполняющихся условий через запятую, вместо которой можно было также везде написать значок « ». 11 Продемонстрированы на общеизвестном примере, показывающем, как отсутствие логически строгого определения некоторого понятия (в данном случае – понятия множества) может приводить к противоречиям. ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ 11 ЛЕКЦИЯ Преодоление можно, например, постулировать, что никакая совокупность не может быть частью самой себя. Тогда следует признать понятие множество всех множеств внутренне противоречивыми не использовать его в дальнейших построениях 12 Легко привести примеры внутренне противоречивых высказываний бытового свойства. Например, фраза Я лжец внутренне противоречива. Действительно, данное высказывание либо истинно, либо ложно. Если высказывание Я лжец истинно, то сказавший это – не солгал, то есть не является лжецом, что противоречит смыслу высказанной фразы. Если же это высказывание ложно, то сказанное есть неправда, то есть неправда, что человек – лжец. Однако это противоречит тому, что он сказал неправду. Итак, нельзя произнести Я лжец, не впав при этом в логическое противоречие. II. ЧИСЛО Понятие числа – этотакже одно из элементарных понятий математики. Оно возникло и развивалось в результате практической потребности выражать количественно всевозможные соотношения между различными объектами внешнего мира. Основные множества чисел 1, 2, 3, – множество натуральных чисел. Возникло из потребности счета предметов. В результате формализации понятий отсутствия количества и долга множество было дополнено при помощи нуля и отрицательных (противоположных натуральным) чисел до множества целых чисел (по некоторым данным это произошло в Древнем Вавилоне Потребность оперировать с частями целого породила множество рациональных чисел Вопросы о том, насколько верны теории, основанные на понятиях, таящих в себе внутренние противоречия, являются в математической логике предметом специальных глубоких исследований. Опыт учит, что несмотря на наличие парадоксов, подобных рассмотренному выше, математический анализ – весьма полезная теория, даже если смотреть на него чисто утилитарно, то есть только сточки зрения практической пригодности его результатов (в частности, в задачах экономики. Н.Н.БОБКОВ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЛЕКЦИЯ. Таким образом, рациональные числа – это дроби с целым числителем и натуральным знаменателем. Результат любой из основных арифметических операций (« + », « – », « × », « : »), выполненной над рациональными операндами (деление на нуль запрещено, также является рациональным числом (это не так для натуральных и целых чисел. С арифметической точки зрения рациональные числа представляют собой конечные или бесконечные периодические десятичные дроби. Пример 1 1 0.25 ; 0,333 0,(3) ; 0,(142857) 4 3 7 ▲ Соответствуют ли каким-либо рациональным числам десятичные дроби 01112 1234567891 , 0 ; 0000 1010010001 , 0 ? ▲ Выясните, отчего и как именно зависит, представляется ли рациональное число конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Простейшие потребности геометрии привели к открытию в Древней Греции количеств, не выражаемых рациональными числами. Пример Если длине катета равнобедренного прямоугольного треугольника поставить в соответствие число 1, тов множестве не найдется числа, которое бы соответствовало длине его гипотенузы докажите. Из теоремы Пифагора следует, что квадрат этого числа равен 2. период ЛЕКЦИИ КАФЕДРЫ МАТЕМАТИКИ НФ ГУ ВШЭ М ◄ |