Элементы теории поля. МУ_Теория поля. Лекции по курсу высшей математики элементы теории поля для студентов 12 курсов всех специальностей
![]()
|
Поверхности уровня определяются уравнением2x + 3y – 4z + 1 = С, описывающим семейство параллельных плоскостей: 2x + 3y – 4z + С1 = 0 (С1 = 1 – С). Найти поверхности уровня сферически симметричного поля: ![]() Решение. Очевидно, что все сферы с центром в начале координат являются поверхностями уровня (при r=const и u=const). Для нахождения не просто поверхностей, на которых u=const, а всего множества точек с заданным значением поля, нужно решить уравнение cos r = C ( –1 C 1 ). Имеем: r = arccosC+2n (n=0, 1, 2,…). Отбрасывая отрицательные значения r, найдем, что множество точек, для которых значение поля равно С, состоит из совокупности сфер радиусов arccosc, arccosc + 2n, -arccosc + 2n, где n – целое число. Центры всех этих сфер совпадают с началом координат. Найти градиент скалярных полей: а) u(P)=x; б) u(P)=y; в) u(P)=z; Решение. Применим формулу (1): а) ![]() 6. Найти градиент скалярного поля ![]() Решение. По формуле (1): ![]() ![]() ![]() ![]() 7. Найти ![]() Решение. Пусть ![]() ![]() c учетом того, что ![]() ![]() 8. Найти векторные линии поля ![]() Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий в данном случае имеют вид: ![]() Интегрируя уравнение ![]() ![]() ![]() ![]() 9. Найти линии тока плоского потока жидкости, характеризуемого вектором скорости ![]() Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение векторных линий в данном случае ![]() ![]() Упражнения В следующих задачах установить область определения и найти линии и поверхности уровня скалярного поля: 10. ![]() 11. ![]() 12. ![]() 13. ![]() 14. ![]() 15. Найти градиент скалярного поля: а) ![]() б) ![]() в) ![]() 16. Найти векторные линии сферически симметричного поля. 17. Найти векторные линии поля ![]() 18. Найти векторные линии поля ![]() 19. Найти уравнения семейства векторных линий поля: ![]() 20. Найти векторные линии поля ![]() ![]() 21. Найти силовые линии: а) магнитного поля прямолинейного тока; б) гравитационного поля точечного источника. 22. Поток несжимаемой жидкости имеет потенциал ![]() 23. В точке (0;0) найти направление, в котором функция z=xsiny + ycosx изменяется быстрее всего. 24.1) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=ln(x2+4y2) в точке (6; 4; ln100). 2) Найти наибольшую крутизну подъема поверхности z=xy в точке (2; 2; 4). 25. Каково направление наибольшего изменения функции (x,y,z)=xsinz – ycosz в начале координат? Рис. 1. 26.1) ![]() 2) Даны функции ![]() между градиентами этих функций в точке (3; 4). 2. Циркуляция векторного поля вдоль кривой ![]() ![]() ![]() ![]() а затем просуммируем все подобные произведения по всем k: ![]() Мы пришли к интегральной сумме первого рода по кривой ℓ. Если функции P, Q, R непрерывны в области Е, а maxSk – наибольшая из длин Sk , то при условии maxSk 0 сумма (2) стремится к конечному пределу, которым является криволинейный интеграл первого рода от функции ![]() ![]() Вводя в рассмотрение векторный элемент ![]() ![]() Особенно большую роль играет в теории поля криволинейный интеграл (4) в случае, когда кривая ℓ, по которой он берется, замкнута, т.е. в случае когда конец В этой кривой совпадает с ее началом А. В этом случае криволинейный интеграл (4) называется циркуляцией векторного поля ![]() ![]() ![]() Примеры 27. Вычислить циркуляцию плоского векторного поля ![]() обходом по часовой стрелке. Решение. Данная кривая является эллипсом. Обход кривой совершается по часовой стрелке, поэтому t меняется от 2 до 0. Следовательно, циркуляция вычисляется следующим образом: ![]() 28. Вычислить циркуляцию вектора ![]() ![]() Решение. Параметрическое уравнение окружности: x=cost, y=sint, z=0, 0 t 2. Поскольку P = –y = = ‑sint, Q=x=cost, R=1, dx= –sintdt, dy=costdt, dz=0, то по определению циркуляции получаем: ![]() Ответ: 2 29. Найти циркуляцию векторного поля ![]() ABCDA, определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a; z=0. См. рис. 2. Р ![]() ![]() ![]() Ответ: –2а2. Упражнения 30. Найти циркуляцию поля ![]() 31. Найти циркуляцию векторного поля ![]() 32. Вычислить циркуляцию поля ![]() 33. Найти циркуляцию Ц вектора ![]() а) вдоль окружности x2+y2=1, z=0; б) вдоль окружности (x–2)2+y2=1, z=0. 3.Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция Пусть функции z1(x,y) и z2(x,y) определены и непрерывны в ограниченной замкнутой области D и z1(x,y) z2(x,y). Область G={(x,y,z)|(x,y)D , z1(x,y) zz2(x,y)} называется z–цилиндрической. Аналогично определяются х–цилиндрическая и y–цилиндрическая области. Область G называется простой, если ее можно разбить на конечное число как х–цилиндрических, так и y–цилиндрических и z‑цилиндрических областей. Теорема. Пусть функцииP(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), и их частные производные ![]() ![]() где поверхностный интеграл берется на внешней стороне поверхности Ф, которая служит границей G. Формула (1) называется формулой Остроградского-Гаусса. Следствие. Если функции P, Q, R таковы, что ![]() равен объему области G, т.е. ![]() ![]() Примеры 34. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить интеграл ![]() Решение. По формуле Остроградского-Гаусса имеем: ![]() где G – шар (x–a)2+(y-b)2+(z–c)2R2. Для вычисления интеграла перейдем к сферическим координатам: x=a+cossin, y=b+sinsin, z=c+cos, 0 2, 0 . Якобиан перехода равен 2sin. Уравнение границы области G имеет вид = R. Следовательно, ![]() Ответ: ![]() Пусть задана ориентированная поверхность (Ф), т.е. такая поверхность, в каждой точке которой выбран единичный вектор ![]() ![]() Потоком П векторного поля ![]() ![]() Дивергенция (расходимость) векторного поля ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() либо записать в форме поверхностного интеграла (второго рода): ![]() Теперь теорему Остроградского-Гаусса можно сформулировать следующим образом: поток векторного поля через замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции векторного поля по объему, ограниченному этой поверхностью. 35. Найти поток векторного поля ![]() Решение. Имеем ![]() С ![]() ![]() Так как ![]() 36. Найти поток векторного поля ![]() Решение. В данном случае поверхность (Ф) – замкнутая, поэтому для вычисления потока можно применить формулу Гаусса - Остроградского. Имеем ![]() Рис. 3. Вычисляем интеграл в сферических координатах: ![]() ![]() 37. Найти поток векторного поля ![]() Решение. Обозначим данную поверхность через (Ф1) и рассмотрим замкнутую поверхность ![]() ![]() Рис. 4 Следовательно, ![]() ![]() Ответ: . 38. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, вычислить поток векторного поля ![]() через полную поверхность конуса ![]() Решение. Найдем дивергенцию векторного поля: ![]() ![]() Упражнения Применяя формулу Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностные интегралы в интегралы по объему: 39. ![]() 40. ![]() 41. ![]() С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить следующие интегралы: 42. ![]() 43. ![]() 44. ![]() 45. Найти дивергенцию вектора ![]() 46. Пользуясь формулой Остроградского-Гаусса, преобразовать поверхностный интеграл ![]() 47. Вычислить поверхностный интеграл ![]() 48. Пользуясь формулой Остроградского–Гаусса, вычислить поверхностные интегралы по внешней стороне поверхности Ф (если поверхность не замкнутая, дополните её до замкнутой). а) ![]() б) ![]() в) ![]() г) ![]() д) ![]() е) ![]() ж) ![]() 4. Формула Стокса Пусть в области G определено векторное поле ![]() ![]() Поверхность Ф называется xyz – проектируемой, если она однозначно проектируется на каждую координатную плоскость прямоугольной системы координат Oxyz. Такую поверхность можно задать с помощью любого из уравнений: z=z(x,y), (x,y)G1; x=x(y,z), (y,z)G2; y=y(z,x), (z,x)G3. Пусть Ф – гладкая xyz – проектируемая ориентированная поверхность, ограниченная кусочно-гладким контуром L и расположенная внутри области G, в которой функции P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) имеет непрерывные частные производные первого порядка. Тогда справедлива формула Стокса ![]() ![]() ![]() где ориентация контура L согласована с ориентацией поверхности Ф. Левая часть формулы Стокса есть циркуляция векторного поля ![]() ность Ф векторного поля с координатами ![]() Эта формула названа по имени английского физика и математика Д. Стокса. Её формулу можно переписать также в следующем виде: ![]() Формула Стокса остается верной для иной ориентированной поверхности Ф с кусочно-гладким краем L , которую можно разбить при помощи кусочно-гладких линий на конечное число гладких кусков, проецирующихся на все три плоскости координат. Ориентированная поверхность, которую можно разбить на конечное число и плоского треугольников, называется полиэдральной поверхностью и представляет собой пример простейшей поверхности, к которой применима формула Стокса. Примеры 49. Вычислить циркуляцию вектора ![]() Решение. В этом случае P=y; Q=x; R=1. Следовательно, ![]() по формуле Стокса ![]() Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы: 50 ![]() Решение. Применив формулу Стокса и взяв в ней в качестве поверхности Ф круг радиуса а, лежащий в плоскости x+y+z=0, получаем: ![]() где ![]() ![]() Очевидно, ![]() ![]() Ответ: ![]() 51. ![]() Решение. При изменении t от 0 до подвижная точка М(x,y,z) пробегает кривую L от точки M0(a,a,a) до точки M1(-a,a,-a), а при изменении t от до 2 точка М пробегает ту же самую часть кривой L в противоположном направлении – от точки М, до точки М0. Таким образом, точки замкнутой кривой L взаимно накладываются и кривая L не ограничивает никакой поверхности, вследствие чего I=0. Ответ: 0. Упражнения 52. Интеграл ![]() 53. Вычислить интеграл ![]() ![]() Ротор векторного поля С понятием циркуляции тесно связано понятие ротора, или вихря. Циркуляция характеризует завихренность векторного поля вдоль всего контура. Локальной характеристикой поля, связанной с завихренностью, является ротор. Рассмотрим сначала плоское векторное поле ![]() ![]() дает среднюю плотность циркуляции вектора ![]() ![]() Если векторное поле ![]() ![]() Ротором векторного поля ![]() ![]() ![]() ![]() где L – контур, лежащий в плоскости, перпендикулярной вектору ![]() Если задано векторное поле ![]() рывно дифференцируемые в соответствующей области , то ![]() Примеры 54. Найти ротор векторного поля ![]() Решение. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 55. Найти rot (gradu), если u=x2+ y2+ z2 Решение. Поскольку gradu = 2x2 ![]() ![]() ![]() ![]() Ответ: ![]() 56. Найти ротор поля скоростей твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки с мгновенной угловой скоростью ![]() Решение. Как известно, скорость твердого тела определяется по формуле ![]() Отсюда находим ![]() Таким образом, ![]() 57. Доказать, что завихренность поля достигает наибольшего значения в направлении ротора. Решение. Завихренность поля ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 58. Вычислить ротор векторного поля: ![]() ![]() ![]() ![]() Решение ![]() Ответ: ![]() Упражнения 59. Доказать свойства ротора: а) ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() в) ![]() 60. Вычислить ротор векторного поля: а) ![]() б) ![]() в) ![]() 61. Вычислить ротор векторного поля ![]() 62. Найти функцию векторного поля ![]() ![]() Указание. Следует применить формулу Стокса: ![]() ![]() Рис. 4. 3. С помощью формулы Стокса найти циркуляцию векторного поля ![]() вдоль контура квадрата АВСDА определяемого уравнениями: –x+y=a; x+y=a; x–y=a; x+y=–a; z=0. 64. Вычислить с помощью формулы Стокса циркуляцию векторного поля ![]() а) (y+1)2 +(z–1)2=1, x=5 (вектор положительной нормали ![]() б) (x–3)2 +(y–2)2=4, z=0 (вектор положительной нормали ![]() 65. Доказать, что ![]() 6. Потенциальное поле и его свойства Векторное поле ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути и определятся только начальной и конечной точками пути, а именно ![]() где М0 и М – начальная и конечная точка линии (L). Верно и обратное: если линейный интеграл поля ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где вместо ![]() ![]() Е ![]() ![]() Предполагается, конечно, что ломаная М0М1М2М не выходит за пределы области (G). При таком выборе пути интегрирования и при дополнительном условии ![]() ![]() При использовании этой формулы следует иметь в виду, что в каждом из трех входящих в нее интегралов одной буквой обозначают и верхний предел, и переменную интегрирования, т.е. Рис. 5. ![]() Отметим, что потенциальность поля ![]() Если поле ![]() ![]() ![]() |