Лекция 1 (Опр). Лекция 1 Определители, матрицы. I. Понятие матрицы
 Скачать 0.7 Mb.
|
Курс высшей математики Геометрия и алгебраЧасть 1 УГТУ-УПИ 2005г. Лекция 1 Определители, матрицы. I. Понятие матрицы. 2. Определители второго, третьего, n – го порядка. 3. Свойства определителей. Разложение определителя по элементам строки или столбца. 4. Вычисление определителей n - го порядка (2 метода). Понятие матрицы. Рассмотрим систему с произвольным количеством уравнений и неизвестных Все свойства такой системы полностью определяются коэффициентами при неизвестных и тем, что стоит в правых частях уравнений. 1 Все эти числа можно записать в виде таблицы, имеющей определённое количество строк и столбцов, которую мы будем называть матрицей. Матрицей размера называется таблица чисел где - номер строки, - номер столбца, на пересечении которых расположены : Пример. - матрицаразмера (2x3) Если матрица называется квадратной порядка Пример. - квадратная матрица второго порядка. Главная и побочная диагональ квадратной матрицы: Частные случаи квадратных матриц: а) треугольная матрица Пример. б) диагональная матрица Пример. в) единичная матрица - единичная матрица второго порядка. - единичная матрица третьего порядка. Транспонированная матрица -это матрица, построенная из матрицы , путём замены строк на столбцы. Пример. Пример. Определители второго, третьего, n – го порядка. 2. Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число Правило. Определитель второго порядка равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали минус произведение элементов на побочной диагонали. Пример. Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка Определителем третьего порядка, соответствующим квадратной матрице третьего порядка, называется число Правило.
Свойства определителей. (уметь доказывать для определителей третьего порядка) 3. 1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется: 2. Перестановка любых двух строк (столбцов) меняет знак определителя: 3. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю: 4. Общий множитель строки (столбца) можно выносить за знак определителя: 5. Определитель, у которого две строки (2 столбца) пропорциональны, равен нулю: 6. Определитель, в некоторой строке которого каждый элемент равен сумме двух слагаемых, равен сумме двух определителей: 7. Величина определителя не изменится, если ко всем элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число k: Минором элемента квадратной матрицы называется определитель, полученный из определителя данной матрицы путём вычёркивания -й строки и -го столбца. Пример. Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется число Пример. 8.Величина определителя равна сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения: – формула разложения определителя третьего порядка по первой строке. Для определителя n – го порядка – формула разложения по элементам j – го столбца; – формула разложения по элементам i – й строки. Замечание. В формулах разложения выражается через определители порядка (n-1), т.е. на единицу меньше исходного. 9. Сумма произведений элементов некоторой строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю: 10. Величина треугольного определителя равна произведению элементов, стоящих на главной диагонали: Доказательство Разложим определитель по элементам первого столбца Замечание. Перечисленные свойства используются при вычислении определителей. Вычисление определителей n - го порядка (2 метода) . 4. I. Понижение порядка по свойству 8 (формулы разложения по элементам строки или столбца). II. Приведение определителя к треугольному виду (алгоритм на основе свойства 7). МИКРОТЕСТ 1 1. Матрица A имеет размерность 4x4. Каков порядок минора элемента a41? 2.Будут ли совпадать знаки у алгебраического дополнения и минора элемента a23 ? 3. При вычислении определителя 6-го порядка методом разложения по строке (столбцу) сколько определителей необходимо будет вычислить, и какого они будут порядка (учитывать только первое разложение) ? 4. Определитель матрицы А равен 4. Чему равно количество строк этой матрицы, если количество столбцов равно 5? |