Поддержка инженерных решений1. Лекция 1. Основная задача линейного программирования. Цель перехода к основной задаче линейного программирования (цзлп)
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
спуска. 5. Общий алгоритм методов поисковой оптимизации. 6. Лекция №3. Классификация алгоритмов по сходимости. Сходимость характеризует скорость и устойчивость приближения к решению. Выделяют: - линейную сходимость – можно найти такое небольшое число q, при справедливости неравенства 1. - со сверх линейной сходимостью – q является переменной величиной. 2. - обладающих квадратичной сходимостью 3. Классификация по порядку производной используемой для определения направления поиска. Применяются методы: - нулевого порядка (без вычисления производных) - первого, второго и более высокого порядка с вычислением первой, второй и более высокой производных. Расчет новой точки Методы первого порядка. Применяются том случае если функция дифференцирована, хотя бы один раз. 4. Выбор величины шага влияет на сходимость поискового алгоритма. Пример: 5. Пример метода первого порядка с переменным шагом: Переменный шаг позволяет увеличить скорость отыскания. Метод наискорейшего спуска. 6. В методе наискорейшего спуска шаг находят в процессе решения задачи о минимуме (максимуме) функции Ф, при этом осуществляется переход от переменной Х к переменой . Переход от функции Ф(х) к функции Ф( ) всегда выполняется в конкретной (текущей) точке с использованием приближения (1). Тогда в выражение Ф( ) текущее х (х 0 ) известно, градиент в этой точке известен, не известно лишь . Так как цель состоит в выборе максимально возможного шага приближающего нас к экстремуму, то выбираетсяиз условия экстремума функции Ф( ). 7. Пример: Методом наискорейшего спуска будем минимизировать функцию. 8. Методы второго порядка. 1. Метод Ньютона. Функция аппроксимируется полиномом в точке x k с точность до второго полинома. 9. Полином представляет собой ряд Тейлора или какой-нибудь другой. Точность аппроксимации выше, чем «глаже» исходная функция. Отыскивается экстремум аппроксимирующего полинома. И находится новое приближение к решению. В точке x k+1 аппроксимация повторяется. Метод нулевого порядка не требующий поиска производной для нахождения решения. 10. Заключается в попеременном движение по каждой оси до тех пор пока происходит улучшение функции в этом направлении. В случае ухудшения происходит смена координат. Метод Нелдера-Мида. 11. Размерность симплекса зависит от размерности факторного пространства. Симплексом может быть отрезок, треугольник, тетраэдр и т. д. В нашем случае симплекс – это равносторонний треугольник. Схема работы алгоритма: 1. Симплекс «вбрасывается» в пространство варьируемых параметров произвольно, его положение соответствует точке начального положения (х 0 ). 2. Выполняется расчет функции в вершинах симплекса и выбирается худшая вершина. 3. Худшая вершина отражается через противолежащую сторону. Таким образом, симплекс движется в сторону улучшения функции. 4. При устойчивом движение в одном направлении скорость движения увеличивают за счет увеличения геометрических размеров симплекса. 5. В том случае если при отражениях вершина опять оказалась худшей размеры симплекса уменьшают. 6. Поиск решения прекращается когда размеры симплекса станут меньше назначенной точности. Пример решения задач нелинейного программирования с помощью Excel. Необходимо минимизировать упругие перемещения фрезы консольного горизонтально-фрезерного станка, связанными с размерами стойки. 12. Литература: Каминская В. В., Левина З. М. – «Станины и корпусные детали». Варьируемые параметры Р b/h упругие деформации Целевая функция Значения fx fy fz #ЗНАЧ! Нижняя граница 1000 0.5 .=Px(… .=Py(… .=Pz(… Верхняя граница 1950 2 m1 m2 m3 Зависимые параметры Независимые параметры 0 0.5 0.5 b = δ h = E S = G Jx = Px Jy = Py Jz = Pz Yp Lp Лекция №4. Многокритериальная оптимизация. Недостатки однокритериальной оптимизации: 1. Целевая функция не имеет физический смысл. 2. Поведение частных критериев не известно, а известно лишь то значение, которое каждый критерий принял после оптимизации. Таким образом назначить границы изменения для частных критериев возможно, но получить информацию об их изменении в полном объеме не удается. В многокритериальной оптимизации эти недостатки отсутствуют. Недостаток многокритериальной оптимизации: …. Выполняет не формализованный алгоритм, а человек. Технология многокритериальной оптимизации. 1. Зондирование пространства частных критериев. Зондирование пространства частных критериев заключается в том, что в пространстве варьируемых параметров переходят от точки к точке и рассчитывают для каждой значение частных критериев. Эти значения сохраняют. Процедура зондирования характеризуется: 1. Добротность – характеризуется подробностью (т. е. плотностью точки зондирования) и равномерностью – равномерным распределением точки зондирования. 2. Трудоемкость – затраты машинного времени. Примеры процедуры зондирования: 1. Метод Монте-Карло. Основан на работе генератора случайных чисел. Например, для 2-х мерного пространства вирируемых параметров создаются два генератора случайных чисел, совместная работа которых позволяет получать точки внутри пространства варьируемых параметров. Т. е. один генератор формирует точки вдоль оси х1, а второй по оси х2, а на пересечении получаются точки в которых выполняется зондирование. Каждый генератор может реализовывать любой закон распределения случайной величины, но для равномерного зондирования используется закон равномерного распределения. 1. Розыгрыш точки в ПВП 2. Вычисление ЧК в полученных точке Недостатки: 1. Равномерность эксперимента наступает при большом числе циклов метода М-К. 2. Отсутствует повторяемость эксперимента. Указанные недостатки привели к появлению «квази-случайных методов». ЛП последовательность случайных точек зондирования.(«Наилучшие решения и где их искать») Достоинство: 1. Повторяемость эксперимента 2. Равномерность распределения эксперимента не зависит от количества точек. Координата точки зондирования вычисляется следующим образом. 3. j i 1 2… n 1 α11 α21 . 2 α12 α22 . 3 4 … . После выполнения зондирования пространства частных критериев любы из перечисленных методов, анализируют полученные решения. Анализ решений. При многокритериальной оптимизации появляется группа решений внутри которой нельзя однозначно выбрать наилучшее. Например: Если решение оценивается по 2 частным критериям Ф1 и Ф2 и каждый из них требует минимизации, то все возможные решения можно представить: 4. Среди Парето - оптимальных решений не возможно выбрать наилучшее, например, решение А доминирует Б по критерию Ф1, но уступает ему по критерию Ф2. Все остальные решения не входящие в группу Парето - оптимальные заведомо хуже. Рассмотрим случай, когда число факторов больше 2-х. Оптимизация шпиндельной внутришлифовальной головки. 5. Решение задачи сводится к следующим этапам: 1. Составление расчетной схемы. 2. Составление схем зондирования в пространстве варьируемого параметра, покажет при каких значениях в. п. проводить расчет. 3. Последовательный расчет вариантов конструкции (в точках зондирования) и определение значений Ф1-Ф5. 4. Обработка результатов выбор оптимального результата. Схему зондирования удобно оформить в виде таблицы испытаний: … … … … … … … … Ф – критерий. i - № точки зондирования (№ расчета). 6. … … … … … … … … Базовый вариант и варианты худшие отчеркиваются. Из вариантов лучше базового можно выделить: 24 – лучший по всем показателям; 32 – по 1, 2, 5 показателям занимает первое место, по 4 второе место, по 3 показателю необходим дополнительный анализ. № D L lp lз 0 33 152 8 8 32 39 157 0,5 4,8 24 37 192 2,8 2,8 Решение задач оптимизации в случае, когда целевая функция не выражена формулой. Существует класс оптимизационных задач относящихся к однокритериальным, когда целевая функция не представлена в явном виде. Тем не менее значение целевой функции для каждого конкретного решения может быть найдена в результате натурного или численного эксперимента. В этом случае проводится экспериментальные исследования, обработка которых направлена на получение недостающей функциональной связи между значениями варьируемых параметров и критериями оптимальности, которые затем объединяются в целевую функцию. Полученная зависимость используется для поиска оптимального решения. Пример: Необходимо обеспечить некруглость поршневых пальцев после обработки на бесцентрово- шлифовальном станке не более 1 мкм за счет внесения изменения в конструкцию станка. 7. Схема образования погрешностей. Будем считать, что геометрическая погрешность заготовки (некруглость) приводит к пропорциональному росту силы резания. 8. На вход упругой системы станка приходят силовые возмущения а на выходе ∆ N Передаточное отношение Wус описывает реакцию станка на входное воздействие в виде амплитуды колебания на собственных частотах. С фазовым смещением относительно входного воздействия. Так как на ∆ N в первую очередь влияет амплитуда колебаний А, то Wус можно представить как: 9. Для расчетаамплитуды колебаний А составляется имитационная модель станка, например с помощью пакета ESW. 10. После предварительного исследования базовой конструкции уточняем задачу оптимизации: 1. Ц. ф – А(f 2 ) 2. Ограничения: - статическая податливость не хуже чем в базовом варианте К ∆ ≤ К ∆0 - А (f 1 , f 3 ) ≤ А 0 (f 1 , f 3 ) 3. Варьируемые параметры: y1, z2, y2, m1, m2, m3, m4, m5, Кшл – учитывает степень остроты круга. Кз Методика решения задачи: 11 Лекция № 5. Основы постановки экспериментов. Основные понятия и определения. Эксперимент – это совокупность операций совершаемых над объектом исследования для получения информации по его свойствам. Существует 2 вида экспериментов: 1. Определить связь между входными воздействиями и реакцию объекта на эти воздействия. 2. Подобрать параметры входных воздействий обеспечивающих оптимальное функционирование объекта. Объектом исследования может быть стенд, модель, процесс или математическая модель. В последнем случае говорят о вычислительном эксперименте. Объект исследования удобно представлять в виде черного ящика, подверженного входным воздействиям и реагирующего на них. Система внутренних связей черного ящика не известна. Входные воздействия {X}- называются факторами. Реакция черного ящика {Y} – называется откликом. Зависимость между факторами {X} и откликами {Y} называется функциями отклика F. Факторы. 1. Контролируемые факторы. - факторы значение которых поддается только контролю (температура цеха, атмосферное давление, время). - контролируемые факторы, значение которых поддается и контролю и управлению (частота вращения, расход масла …). 2. Неконтролируемые факторы – значение которых не известно и влиянием которых можно пренебречь. В том случае если пренебречь влиянием фактора нельзя его надо контролировать или исключить за счет специальных методов постановки эксперимента (например, рандомизированный эксперимент). Возможность считать фактор неконтролируемым зависит от целей эксперимента, например температуру цеха для станков с точность НПБ можно не контролировать, а для класса точности А и С нужно контролировать. Требования к факторам. При постановки эксперимента экспериментатор определяет набор факторов. Факторы должны удовлетворять 4-м рекомендациям: 1. Возможность независимого изменения уровней факторов. 2. Все значимые факторы (оказывающие влияние на результат) должны контролироваться. 3. Все не значимые факторы должны быть исключены из вектора {X}. 4. Диапазон изменения факторов должен быть реализуем и безопасен. Корреляционный анализ. Корреляционный анализ позволяет определить: 1. Есть ли количественная связь между исследованном явление и входном воздействие. 2. Какова форма этих связей (прямая или обратная). 3. Какова степень этих связей. По степени связи все зависимости между {X} и {Y} делят на: 1. Независимые – {X} не влияет на {Y}. 2. Стохастически зависимая. {Y} является случайной функцией от {Х}, но не может быть описана каким-либо законом распределения. 3. Корреляционная связь. Каждому значению {Х} соответствует определенное среднее значение {Y} (можно указать разброс, среднее, …) 4. Функциональная связь – каждому значению {Х} соответствует конкретное значение {Y}. Коэффициент корреляции – численная связь между исследуемым явлением и входным воздействием. (Галушко – «вероятностно статистические методы на транспорте».) Коэффициент корреляции удобно использовать не только для анализа результатов эксперимента, но и для оценки точности вторичных математических моделей. В этом случае проверяется, на сколько хорошо коррелируют результаты расчета первичной и вторичной моделей, а величина коэффициента характеризует ошибку σ. - отклик в i-ом опыте, – среднее значение отклика (усредненное по всем откликам), – значение фактора в i-ом опыте, – значение отклика вычисляют с помощью вторичной математической модели. Чем ближе значение k к единице, тем точнее математическая модель (вторичная) отражает протекающий процесс. По своему влиянию неконтролируемые факторы можно разделить на: - случайные - систематические. Действие случайных факторов проявляется в виде случайной ошибки эксперимента. Действие случайных факторов уменьшают за счет проведения параллельных опытов, т. е. опытов при одном и том же уровней факторов и последующем усреднении отклика. Действие систематических факторов проявляется в систематическом (последовательном, однонаправленном) изменении отклика. На фоне систематического изменения входных воздействий {X} влияние систематического фактора можно принять воздействие экспериментатора. Для устранения систематического воздействия эксперимент ставят по рандомизированной схеме. Пример рандомизированного эксперимента. Необходимо получить зависимость давления напорной магистрали от частоты вращения насоса. Манометр, которым измеряется давление, обладает гистерезисом или его стрелка заедает. Эксперимент проведенный по 1-ой схеме (рис. 1) - стохастический , а по 2-ой схеме рандомизированный. Уменьшить действие систематического фактора можно либо проведением эксперимента по схеме нагрузка-разгрузка, либо постановкой рандомизированного эксперимента. В последнем случае сокращается число опытов, а точность эксперимента за счет сокращения времени по крайней мере не меньше чем в первом случае. Активный и пассивный эксперимент. Эксперимент может проводиться по активной или пассивной схеме. Активный эксперимент – исследователь изменяет условия проведения по своему усмотрению. Пассивный эксперимент – эксперимент, в котором исследователь в силу природы объекта исследования не может изменять условия проведения эксперимента, а лишь фиксирует в них. Пример пассивного эксперимента: Испытание стального образца на растяжение. При исследовании стального образца на растяжение, после выхода на участок текучести объект изменяет, свои свойства и не возвращается в исходное состояние. На этом участке экспериментатор вынужден двигаться в направлении увеличения нагрузки. Плотность экспериментальной точки. Распределение экспериментальных точек (опытных) внутри диапазона варьирования факторов должно обеспечивать одинаковую добротность (одинаковую плотность) во всем экспериментальном диапазоне. Результаты эксперимента должны иметь одинаковую надежность во всем диапазоне его проведения. Достоверность полученных результатов в первую очередь определяется: - количеством опытов (экспериментальных точек). Для получения одинаково надежности опыты должны распределяться равномерно внутри всего диапазона исследований. Рис. 1. Демонстрирует избыточность экспериментальных точек в начальном диапазоне. Избыточность возникает при равномерном распределении точек в направлении {X}. Такая схема удобна для натурных экспериментов при низкой чувствительности измерительной аппаратуры в начальной части диапазона. Рис. 2 демонстрирует избыточность экспериментальных точек в конечной части диапазона. Для получения равномерного распределения (рис. 3) расстояние между экспериментальными точками откладывается вдоль исследуемой кривой. Классический и факторный эксперимент. Классический эксперимент – это однофакторный эксперимент. Классический эксперимент может проводиться для многих факторов. В этом случае все факторы кроме одного фиксируются на определенном уровне. Не зафиксированный фактор изменяют, значение отклика снимают. Подбирают зависимость отклика от фактора в виде: |