Поддержка инженерных решений1. Лекция 1. Основная задача линейного программирования. Цель перехода к основной задаче линейного программирования (цзлп)
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
Лекция 8. Возрастает количество экспериментальных точек. Преобразование факторов. Для того, чтобы сумма элементов любого столбца и столбцов содержащих квадраты факторов была =0, факторы в этих столбцах преобразуют. Преобразованные факторы имеют вид: – константа, зависящая от числа опытов в эксперименте, j – № фактора, u - № опыта. Получим формулу для определения «с» из условия равенства 0 суммы любого столбца. (*) Общий вид ОЦКП для N=3. № 1 П л ан П Ф Э 2 3 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 4 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 6 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 7 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 9 Зв ездные то чк и +1 -α 0 0 0 0 0 0 10 +1 +α 0 0 0 0 0 0 11 +1 0 -α 0 0 0 0 0 12 +1 0 +α 0 0 0 0 0 13 +1 0 0 -α 0 0 0 0 14 +1 0 0 +α 0 0 0 0 15 Н ул ев ые то чк и +1 0 0 0 0 0 0 0 Плечо «звездных» точек α находим из условия ортогональности плана, например, столбцов и . зв точки в нул точ с с с (**) Из выражения (**) и выражения (*) находим: Для ОЦКП при N=3 параметры плана принимают значения: № 1 П л ан П Ф Э 2 3 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 2 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 3 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 4 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 5 +1 -1 -1 +1 +1 -1 -1 +1 6 +1 +1 -1 -1 -1 -1 +1 +1 7 +1 -1 +1 -1 -1 +1 -1 +1 8 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 +1 9 Зв ездные то чк и +1 -1.215 0 0 0 0 0 0 10 +1 +1.215 0 0 0 0 0 0 11 +1 0 -1.215 0 0 0 0 0 12 +1 0 +1.215 0 0 0 0 0 13 +1 0 0 -1.215 0 0 0 0 14 +1 0 0 +1.215 0 0 0 0 15 Н ул ев ые то чк и +1 0 0 0 0 0 0 0 По результатам опытов формируется полином вида: Формула для определения коэффициентов полинома отличается от рассмотренной ранее, в связи с тем, что сумма квадратов элементов каждого столбца разные: Зависимость параметров ОЦКП от числа факторов. n 2 3 4 5 6 7 8 α 1 1.215 1.414 1.596 1.761 1.909 2.045 c 0.667 0.73 0.8 0.86 0.91 0.946 0.968 N 9 15 25 43 77 143 273 Лекция 9. Теоретические основы метода конечных элементов. Метод конечных элементов - расчет напряжений деформаций конструкций под действием силовых нагрузок, под действием кинематических нагрузок, расчет движения жидкости и газов, электромагнитных полей. Все эти задачи относятся к классу задач теории поля. МКЭ в дифференциальной постановке. Большая группа задач теории поля описывается уравнением вида: 1. (*) φ – функция поля (распределение t 0 , q, ε, σ, δ) – коэффициент, описывающий физические свойства объекта в правлении x, y, z Q – объемное нагружение системы Уравнение (*) имеет бесконечное множество решений для конкретизации решения задаются граничные условия описывающие взаимодействие объекта с окружающей средой или действие среды на его границе. На границе объекта возможно сочетание граничных условий разного вида. Например, для задач теплопередачи: - граничные условия 1-го рода - температура на поверхности, - граничные условия 2-го рода – распределенный тепловой поток на поверхности, - граничные условия 3-го рода – конвективный обмен (естественный или вынужденный), - граничные условия 4-го рода – теплообмен излучением. 2. Система граничных условий задается системой уравнений (**), которое однозначно определяет поле объекта и решение уравнения (*). Вариационная постановка МКЭ. Решение уравнения (*) с граничными условиями (**) эквивалентно нахождения минимума для функционала (χ). 3. Функционал χ представляет собой полную энергию системы: - внутреннюю - в задачах теплопроводности - или энергию упругой деформации в задачах упругости В вариационной постановке решение (***) сводится к отысканию φ минимизирующего функционал. Аналитическое решение может быт найдено только для простейших тел. В общих случаях интегрирование не возможно. Основные принципы МКЭ. 1. Дискретизация. Т. к. взять интеграл для сложной функции φ и нерегулярной V и S не возможно, то в основе МКЭ лежит идея аппроксимации функции φ дискретной модели из множества кусочно-непрерывных функций φ. 4. А геометрия объекта дискретным набором элементарных подобластей конечного размера и количества. представляют собой простые аппроксимирующие зависимости (обычно полиномы 1-ой и 2-ой степени). Элементарная подобласть (конечный элемент) - простейшая геометрическая фигура сколь угодно малого, но конечного размера. В результате аппроксимации объемные и поверхностные интегралы раскладываются в интегралы по конечным подобластям. Вид подынтегрального выражения зависит от вида конечного элемента. 2. Виды конечных элементов. 2.1. Геометрическая классификация. 1) Стержневой КЭ. Имеет единственный размер (длина), два узла для присоединения к другим конечным элементам. Применяется если допустимо пренебречь изменением поля в радиальном направлении. Лекция 10. Стержневые элементы применяются если допустимо пренебречь изменением поля в радиальном направлении. Плоские КЭ. 1. Имеют два измерения и количество узлов = количеству вершин. Аппроксимирующая функция плоских элементов отражает изменение поля в плоскости элемента. Т. о. данный вид элемента применяется, если допустимо пренебречь изменением поля по толщине. Применяются для сокращения размерности системы. Стержневые и плоские элементы применяются для сокращения размерности задачи, экономии вычислительных ресурсов и времени счета. Объемные КЭ. Наиболее распространены тетраэдр и куб. Их аппроксимирующая функция отражает изменение поля в объеме. Классификация конечных элементов по виду аппроксимирующей зависимости. Так же как конечные элементы моделируют реальный объект, их аппроксимирующие зависимости моделируют поле этого объекта. Аппроксимирующая зависимость конечного элемента моделирует поле внутри этого конечного элемента. Используя аппроксимирующую зависимость можно вычислить значение поля в любой точке элемента. Если известны значении в его узлах. В качестве аппроксимирующей функции обычно используют полиномы 1-ой 2-ой или более высокой степени. Точность аппроксимации поля зависит: 1. От числа КЭ 2. От степени аппроксимирующего полинома КЭ (см. рис.) 2. Точность аппроксимации КЭ с полиномом 2-го порядка выше, поэтому таких элементов требуется меньше. Однако возрастает сложность вычислений. КЭ с полиномом 1-го порядка называются – симплекс элементы,и описываются полиномами вида: 3. КЭ с полиномами 2-го порядка называются – комплекс элемент. 4. Комплекс - элементы имеют большее количество узлов, их число определяется степенью аппроксимирующего полинома. Так для КЭ 2-го порядка: 1. Стержневой элемент имеет 3 узла 2. Плоский 3. Объемный (тетраэдр с дополнительными узлами) В дополнительных узлах также осуществляется связь с другими конечными элементами. Функция формы КЭ. Коэффициенты полинома аi находятся из геометрических размеров конечного элемента. Например, для стержневого элемента 1-го порядка. 5. Таким образом для стержневого элемента 1-го порядка аппроксимирующий полином имеет общий вид (****). Множители зависят от формы элемента (геометрии) и называются функциями формы. Их вид зависит от вида элемента (стержневой, плоский, объемный) и его порядка (1 или 2). Множитель при значении поля в узле i 6. Схема минимизации функционала χ в методе КЭ. 7. Лекция 11. |