Поддержка инженерных решений1. Лекция 1. Основная задача линейного программирования. Цель перехода к основной задаче линейного программирования (цзлп)

• Название: Лекция 1. Основная задача линейного программирования. Цель перехода к основной задаче линейного программирования (цзлп)
• Анкор: Поддержка инженерных решений1.pdf
• Дата: 02.10.2018
• Размер: 1.38 Mb.
• Имя файла: Поддержка инженерных решений1.pdf
• Тип: Лекция; #25365
• страница: 3 из 4

Результат – набор одномерных графиков для разных уровней фиксированных факторов.

Факторный эксперимент (эффективнее классического). Проводится при числе факторов больше 1.
Факторный эксперимент имеет меньшую трудоемкость при сопоставимой или более высокой точности. Меньше подвержен влиянию неконтролируемому фактору (выполняется быстрее).
Результаты эксперимента (функция от многих переменных) нагляднее и удобнее в использовании. В факторном эксперименте все факторы изменяются одновременно в определенном порядке.

Лекция №6.
Функция отклика.
Функция отклика большинства реальных объектов - это гладкая непрерывная функция, которую можно аппроксимировать степенным рядом вида:
(1)
- i-ый фактор.
- взаимодействие факторов
– константа
Точность аппроксимации экспериментального процесса полинома (1) определяется числом его членов. Увеличение числа слагаемых эксперимента приводит к увеличению числа опытов в эксперименте. Поэтому для сокращения трудоемкости эксперимента стратегия его проведения заключается в постепенных наращиваниях сложности полинома (1) если точность аппроксимации оказывается недостаточной. При правильно построенном плане эксперимента экспериментальные данные, полученные для простой функции отклика сохраняются для подбора более сложной зависимости.
Полином (1) строится с использованием кодированных (нормированных) факторов X. функция отклика подобранная для кодированных факторов показывает степень влияния каждого фактора на отклик по величине коэффициента этого фактора.
Кодирование факторов выполняется в следующем порядке:
1)
Изменяют масштаб фактора
- коэффициент фактора
2)
Начало координат для фактора смещают в среднюю точку
сред
3)
Текущее значение кодированного фактора
сред
сред
План эксперимента.
Под планом эксперимента понимается информация о числе и порядке выполнения опытов, а так же о тех значениях, которые должны принимать факторы в каждом опыте. Число опытов необходимых для определения аппроксимирующей зависимости определяется размерностью факторного пространства и степенью аппроксимирующего полинома.

Неполный квадратичный полином, учитывающий взаимодействие факторов для первого случая имеет вид (случай а)):
Полный квадратичный полином (случай а)):
Неполный квадратичный полином (случай б)):
Здесь и далее под фактором X будем всегда понимать кодированный фактор.
Введя обозначения
(2)
Число опытов должно быть достаточным для определения всех элементов полинома (2).
Порядок проведения опытов.
Матричная запись результатов эксперимента.
Результаты эксперимента удобно представлять следующей таблицей:
№ X0 X1 X2 ….. X
N
Y
1
1
2
1
3
1
.
1
.
N
Приведенные в таблице результаты можно записать в виде системы уравнений:
– значение i-ого фактора в j-ом опыте,
– значение отклика в j-ом опыте,
Эту систему можно представить в матричном виде:
(3)
N – количество опытов
n – количество факторов

Система (3) – это система уравнений связывающих значение факторов и отклика в каждом опыте с помощью аппроксимирующего полинома. Видом полинома мы задаемся, а коэффициенты полинома необходимо найти. После матричных преобразований получаем:
(4)
Рассмотрим, при каком условии возможна реализация стратегии усложнения аппроксимирующего полинома без потери экспериментальных данных.
Пример:
Пусть отыскиваются коэффициенты полинома.
По результатам N-опытов имеем:
Для простоты рассматриваемого случая:
Этот случай соответствует матрице В:
И матрица x состоящая из 1-ых двух столбцов транспонированной матрицы x
t
:

(4)
Вместо уравнения (4) рассмотрим уравнение (c*b), полученное из (4) умножением на c.
(
)
Из системы (
) видно что коэффициенты b зависимы друг от друга. Это значит, что при наращивании полинома в каждое уравнение системы (
) будут добавлены новые коэффициенты. Следовательно, их придется заново пересчитывать.
В том случае, если матрица С имеет диагональную структуру, матрица (с*b) будет тоже диагональной, т. е. в каждое уравнение системы (
) войдет только один коэффициент. Т. о., возможно независимое определение коэффициентов и пересчет при усложнении полинома не нужен.
Для того, чтобы матрица С была диагональной необходимо, чтобы сумма была равна 0:
Это значит, что уровни факторов в опытах должны быть симметрично относительно 0-ой точки.
Матрица С должна удовлетворять условиям:
1.
Иметь диагональную структуру для того, чтобы система (4) распадалась на независимые уравнения. Это обеспечивает независимое определение коэффициентов полинома b и возможность наращивать сложность аппроксимирующего полинома без пересчета матрицы С.
2.
Для того чтобы система (4) имела решение матрица С должна быть невырожденной, т. е. все столбцы ее линейно независимы.
Для выполнения этих условий необходимо выполнять эксперимент в таком порядке, чтобы произведение любых 2-х столбцов матрицы X равнялась 0.
- i, j столбцы матрицы X.
Выполняется для всех столбцов.
Учитывая, что 1-ый столбец единичный, необходимо чтобы сумма элементов любого столбца матрица X должна быть = 0.
(6)
Это означает, что при четном числе опытов значения факторов должно располагаться симметрично относительно 0-ой точки, а при нечетном должна использоваться 0-ая точка.

План
эксперимента
№
1
+1 -1 -1
2
+1 +1 -1
3
+1 -1 +1
4
+1 +1 +1
Планы, построенные в соответствие с выводом (6) называются ортогональными (т. к. столбцы матрицы X ортогональны).
В экспериментах, проведенных по ортогональным планам, коэффициент полинома вычисляют по формуле:
К таким планам относят планы полного и дробного факторного эксперимента.
План полного факторного эксперимента.
По схеме 2
n
.
n - число факторов.
2 – число уровней варьирования
ПФЭ 2
2
– 2 фактора (X1, X2).
ПФЭ позволяет определить коэффициенты полинома для линейных членов и их взаимодействий.
Поэтому ПФЭ 2
n
– это планы 1-го порядка.
1.
С точки зрения уменьшения погрешности при подборе аппроксимирующего полинома уровни варьирования фактора выгоднее выбирать на границах диапазона (-1 и +1).
Количество опытов плана 2
n
= 2
n
Примеры ПФЭ 2
2
.
Покажем на примере, что ПФЭ 2
n не позволяет найти коэффициент полинома при квадратичных членах.
Попытаемся найти коэффициент полинома:
Составим таблицу плана эксперимента:

П.Э.
№
y
1
+1 -1 -1
+1
+1 +1
2
+1 +1 -1
-1
+1 +1
3
+1 -1 +1
-1
+1 +1
4
+1 +1 +1
+1
+1 +1
∑
4 0
0 0
4 4
Методика заполнения столбцов плана ПФЭ 2
n состоит в чередовании уровней факторов с последующем удвоением интервалов чередования от столбца к столбцу. Это правило действует для столбцов образующих план эксперимента (см. пример). Остальные столбцы получаются как результат произведения столбцов плана.
Особенности ПФЭ 2
2
:
1.
План содержит 4-е независимых столбца – это значит, что для того чтобы система имела решение столбцы и надо отбросить.
Для нахождения коэффициента при и исползуют планы 2-го порядка.
2.
ПФЭ 2
n позволяет определить коэффициент свободного члена, факторов образующих план и взаимодействия факторов.
Формула для определения коэффициентов:
3.
Общее число определяемых коэффициентов полинома равно 2
n
Пример ПФЭ 2
3
.
Факторов -
,
,
.
Опытов – 2
3
= 8.
2 уровня варьирования.
Максимально возможный полином.

Лекция 6.
Таблица (матрица) плана.
2
3
Опытов =8.
№
1
+1 -1 -1 -1
+1
+1
+1
-1
2
+1 +1 -1 -1
-1
-1
+1
+1
3
+1 -1 +1 -1
-1
+1
-1
+1
4
+1 +1 +1 -1
+1
-1
-1
-1
5
+1 -1 -1 +1
+1
-1
-1
+1
6
+1 +1 -1 +1
-1
+1
-1
-1
7
+1 -1 +1 +1
-1
-1
+1
-1
8
+1 +1 +1 +1
+1
+1
+1
+1
∑
8 0
0 0
0 0
0 0
Геометрическая интерпретация ПФЭ 2
3
.
Пример применения ПФЭ 2
2
.
Пусть в результате проведения эксперимента по плану из примера (1) были получены следующие экспериментальные данные.
Необходимо подобрать полином аппроксимации экспериментальных данных.
План 2
2
.
Наряду с полиномом рассчитаем коэффициент для полинома без взаимодействия факторов:

№
y
1
+1 -1 -1 -1
+1 6 4.5 6
1.5 0
2
+1 +1 -1 -1
-1 3 4.5 3
1.5 0
3
+1 -1 +1 -1
-1 4 5.5 4
1.5 0
4
+1 +1 +1 -1
+1 7 5.5 7
1.5 0
Дополнительный опыт
5
+1 0
0 0
0 2
5 5
3 3
Найдем коэффициент полинома
Полином показал ошибку 1,5. Следовательно, перейдем к более мощному полиному
…….
Подобранный полином проходит через все 4-е экспериментальные точки (
).
Проведем дополнительный опыт в центральной точке.
Вывод:
По результатам проверки для полинома заключаем, что в краевых точках расхождения нет, а расхождение в центральной точке =3.
Если такая шибка является недопустимой переходят к факторному эксперименту 2-ого порядка для нахождения аппроксимирующих полиномов вида:
Планы дробного факторного эксперимента.
Недостатки ПФЭ 2
n
:
1.
Позволяет определить коэффициент неполного квадратичного полинома с учетом взаимодействия факторов

2.
Если для описания процесса достаточно точности линейной модели ПФЭ становиться избыточным, т. е. для построения линейной модели будет использована только часть данных
ПФЭ.
Практические задачи показывают, что обычно влияние факторов на функцию отклика больше чем влияние их взаимодействия, в связи с этим точность линейной модели часто достаточно.
Количество опытов в плане ДФЭ.
Число опытов в планах ПФЭ 2
n
резко возрастает при n≥6 (так при n=6 – 64 опыта). В планах ДФЭ количество опытов, по крайней мере в 2 раза меньше.
Число опытов ДФЭ можно определить по его обозначению.
Обозначение планов ДФЭ.
2
n-k
2 – число уровней варьирования факторов.
n- количество факторов
k – показатель дробности плана
Показатели дробности плана.
Показывает, какая часть матрицы ПФЭ будет использована в плане ДФЭ.
С увеличение k количество членов полинома описывающих взаимодействие фактора уменьшается.
Максимально-допустимое значение k должно позволять найти коэффициент при факторах полинома.
При k=0 ДФЭ вырождается в ПФЭ и позволяет найти коэффициент при всех взаимодействиях и факторах.
При k=1 план обозначается 2
n-1
, число опытов ДФЭ в 2 раза меньше числа опытов ПФЭ.
В этом случае ДФЭ представляет собой «полуреплику» ПФЭ. Из матрицы экспериментов данных остается половина.
Например, изображение ПФЭ 2
3
и ДФЭ 2
3-1
выглядит следующим образом:
При k=2 число опытов ДФЭ в 4 раза меньше числа опытов ПФЭ и ДФЭ представляет собой
«четверть реплику» от ПФЭ.
При k=3 число опытов в 8 раз меньше, ДФЭ представляет 1/8 реплику и т. д.
В общем случае число опытов ДФЭ определяется по формуле 2
n-k

Лекция 7.
Выбор показателя дробности плана.
Величина показателя дробности плана влияет на число опытов и на возможность определения коэффициентов полинома.
Чем больше показатель дробности плана, тем меньше опытов в эксперименте и меньше количество коэффициентов полинома можно найти.
Предельное значение показателя дробности плана должно оставлять возможность определения коэффициента при всех факторах, для этого должно выполняться соотношение,
(
*)
- число факторов. которое говорит, что число опытов должно быть не меньше числа членов полинома.
Построение матрицы плана ДФЭ.
При построении матрицы плана должно соблюдаться следующие условия:
1.
(*)
2.
Ортогональность столбцов. Для этого n-k столбцов заполняются также как столбцы образующие план в ПФЭ, а остальные столбцы получаются как их произведение.
3.
Сумма столбцов должна быть =0.
Пример построение матрицы плана ДФЭ.
2
3-1
;
n=3;
пдп=1;
N=2
2
=4;
№
1
+1 -1 -1 +1
2
+1 +1 -1 -1
3
+1 -1 +1 -1
4
+1 +1 +1 +1
∑
4 0
0 0
Коэффициент полинома:
По возможности определимся коэффициентами полинома при нарушении условия n+1>2
n-k
;
Рассмотрим полином:
2
3-1
Построим план ДФЭ 2
n-1
для полинома y.
N=2
2
=4;
№
1
+1 -1 -1 +1
+1
-1
-1
+1
2
+1 +1 -1 -1
-1
-1
+1
+1
3
+1 -1 +1 -1
-1
+1
-1
+1
4
+1 +1 +1 +1
+1
+1
+1
+1

Из 8-ми способов матрицы образуются 4-е одинаковых пары вследствие нарушения условия (*). Это значит, что в системе уравнений для нахождения коэффициентов b i
парные коэффициенты входят в одно и то же уравнение, а именно:
Вычислить коэффициенты, образующие пары можно, ели существует дополнительная информация о влиянии парных коэффициентов на отклик.
Например, если известно, сто фактор и взаимодействие
, имеют одинаковые влияние на опыт то
Если заранее известно, что взаимодействие
, можно пренебречь, то
Достоинства плана ДФЭ:
1.
Меньший объем экспериментальных точек.
2.
План ДФЭ всегда можно достроить до ПФЭ.
Повышение точности аппроксимации лимитирующих полиномов.
Недостаточная точность полиномов ДФЭ может обнаруживаться в центральной точке плана или в краевых точках (см. пример применения плана ПФЭ). В этом случае план ДФЭ поэтапно достраивается до ПФЭ.
В случае если точность ПФЭ также недостаточна, его достраивают до плана 2-го порядка.
Т. к. неполный квадратичный полином обеспечивает точное совпадение с откликом ПФЭ, то расхождение обнаруживается:
- в центральной точке ∆
ц
НКП – неполный квадратичный полином.
- если отклик имеет седло-образную форму, на границах плана.

Для повышения точности аппроксимации полинома используются следующие приемы:
1.
Уменьшение диапазона варьируемых факторов или разбиение его на поддиапазоны, для каждого их которых строится свой план и полином.
2.
Выделение фактора вносящего нелинейность и проведение факторных экспериментов для разных фиксированных уровней этого фактора.
После этого пытаются построить полином, в котором либо коэффициент при данном факторе, либо все коэффициенты являются функцией от фактора носящего нелинейность.
3.
Переход к новым факторам функции связан со старым но не порождает нелинейность.
4.
Достраивание планов до планов более высокого порядка (чаще всего 2-го порядка).
Планы 2-го порядка.
Планы 2-го порядка позволяют различать коэффициенты полного квадратичного полинома.
Особенности планов 2-го порядка.
План должен сохранить ортогональность (произведение двух любых столбцов =0).
Матрица для плана функции Ф полученная при уровнях варьирования фактора -1 и +1 будет содержать одинаковые столбцы для
В общем случае все столбцы будут одинаковыми. Т. о. независимое определение коэффициентов станет невозможным.
Следовательно уровни варьирования квадратов факторов должны отличаться от -1 до +1. План должен оставаться центральным, т. е. уровни факторов должны быть симметричны относительно центра плана (для любого j сумма
). Такой план называется центральным.
В план полностью входит матрица ПФЭ, т. е. план 2-го порядка представляет собой композицию из
ПФЭ и дополнительных точек, такой план называется композиционным.
План называется – «Ортогональный центральный композиционный план 2-го порядка».
Количество опытов ОЦКП 2-го порядка.
Для получения квадратичной зависимости каждый фактор варьируется на 3-х уровнях.
Количество точек плана ОЦКП 2-го порядка.
– число опытов ПФЭ (2
n
),
- числофакторов,
- Ц. Т. (
),
- «звездные» точки – по две для каждого фактора, расположение имеет относительно центральной точки.
Геометрическая интерпретация.

n=3.