Главная страница
Навигация по странице:

  • Теорема

  • Б) Метод Зейделя.

  • Лекция 2.

  • Остаточный член для

  • Лекция 1 Приближённые методы решения слау


    Скачать 0.74 Mb.
    НазваниеЛекция 1 Приближённые методы решения слау
    Дата29.10.2018
    Размер0.74 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файла1 (1).doc
    ТипЛекция
    #54830
    страница1 из 4
      1   2   3   4

    Лекция 1

    Приближённые методы решения СЛАУ



    А) Метод простых итераций. (Метод последовательных приближений).

    Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

    (1)

    или где - заданные числа; .

    Задаются произвольно n-чисел – нулевое приближение искомой функции.

    Далее подставляем в правую часть системы (1) нулевое приближение и находим первое приближение.

    , (2)

    Затем по 1-ому приближению находят 2-ое, 3-е и т.д.

    В результате для k-ого приближения получаем формулу:

    , (2’)

    Таким образом мы получили последовательность векторов

    Х(0)(1),…, Х(К), к=1,2,…

    Если любая из таких последовательностей {Хi(к)} сходится некоторому пределу xik = ci , ,то данный вектор сi, является решением сист. (1)

    В равенстве (2’) перейдем к пределу при k→∞ при замене хi на сi.



    Теорема(достаточные условия сходимости простой итерации):

    Пусть выполняется хотя бы одно из следующих условий (нормы матрицы):

    а) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по строкам) меньше 1:

    б) Если максимум суммы модулей коэффициентов при неизвестных (по столбцам) меньше 1:

    в) Если сумма всех элементов в квадрате меньше 1.



    Если выполняется хотя бы одно, тогда справедливы утверждения:

    1. система (1) имеет единственное решение (С1,... Сn);

    2. последовательность , где i = определяется по формуле (2), при любом начальном приближении сходится к соответствующим компонентам точного решения. i =

    3. для приближенного равенства верны оценки (x1(k),…xn(k))(C1,…Cn),

    а’) есливыполняется условие а), то

    ,

    б’) если выполняется условие б), то

    ,

    в’) если выполняется условие в), то

    .
    Замечания:

    1)Если нет никакой информации о точном решении СЛАУ, то за начальное приближение выбираем столбец свободных коэффициентов. (из приведенной матрицы);

    2)остановка вычислений производной по заданной величине абсолютной погрешности и приведенным в теореме оценкам.


    Б) Метод Зейделя.

    Этот метод является модификацией МПИ и заключается в том, что при вычислении (к+1) приближения неизвестного хi (i>1), используются уже вычисленные ранее (к+1) приближения неизвестных х1, х2,…, хi-1

    Рассмотрим систему: i=1,n

    Пусть матрица α удовлетворяет одному из условий теоремы:

    Если, а) <1 (коэффициенты по строкам)

    б) <1 (коэффициенты по столбцам)

    в)<1 (все коэффициенты)
    тогда общая формула метода Зейделя имеет вид:

    к=1,2…
    Замечание: метод Зейделя обычно, но не всегда сходится к точному решения быстрее, чем МПИ
    Лекция 2.

    Интерполяция, аппроксимация.
    Предполагается, что функция задана в виде таблицы конечного числа точек:

    х

    х0

    х1



    хn

    ,

    у

    y0

    y1



    yn

    например, получена экспериментально или по известной (достаточно сложной) формуле для . Здесь хi и yi (i=0,1,…, n) – произвольные числа и при этом все хi различны и упорядочены: . При этом множество всех узлов хiназывают сеткой, если узлы являются равноотстоящими, т.е. хi= х0+ih, где .

    Используя исходные данные, затем подбирают функцию несложного вида, значения которой при являются приближенными для .

    Важным здесь следует отметить не только то, чтобы имела простой вид и хорошо приближала , но и чтобы ее практически можно было найти. В этом смысле наиболее подходящий вид для - многочлен . Но и в этом случае не все просто с вычислительной стороны. Как правило, при нахождении значений нельзя обойтись без многочисленных промежуточных округлений числе, что часто приводит к большой потере точности коэффициентов . И может случиться так, что полученный в результате многочлен будет гораздо хуже приближать данную функцию , чем истинный многочлен , а это недопустимо.

    При расчетах чаще всего нельзя заранее предсказать оптимальный режим вычислений, т.е. указать минимальную разрядность счета (начав с какой-либо) до тех пор, пока, не добьются удовлетворительных результатов, т.е. совпадения цифр в требуемых разрядах результата.

    Определение 1. Функция называется интерполяционной для , если выполнены условия: , i=0,1, …, n, т.е график проходит через все заданные точки .

    Известно, что для данной таблицы всегда существует и притом единственны интерполяционный многочлен (ИМ) степени n. Будем обозначать ИМ через . Для него верно:

    ,

    i=0,1, …, n.

    (1)


    Остаточный член для , т.е. величина , имеет вид:





    (2)

    где Пn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn).

    Так как точка ξ практически всегда неизвестна, то при оценке погрешности для пользуются неравенством:



    .

    (2´)



    А) ИМ Лагранжа имеет вид:

    ,




    (3)

    где .
    В) ИМ Ньютона
    ИМ Ньютона строятся на сетке и выражаются через конечные разности.
    Определение 2. Величина называется конечной разностью первого порядка функции в точке с шагом h. По аналогии имеем: 2-ая конечная разность – это , …,

    k-ая конечная разность – это .

    Конечные разности удобно записывать в виде таблицы 1 (в каждом столбце, кроме столбца , из последующего числа вычитается предыдущее число и разность записывается в следующем столбце).

    Но если является приближенным (например, из-за округлений), то в этой связи с ростом порядка конечных разностей погрешность растет (удваивается на каждом шаге). Поэтому исходные данные надо брать с повышенной точностью.
    Таблица 1

    xi

    yi

    Δ yi

    Δ2 yi

    Δ3 yi

    Δ4 yi



    x0

    y0

    Δ y0

    Δ2 y0

    Δ3 y0

    Δ4 y0



    x1

    y1

    Δ y1

    Δ2 y1

    Δ3 y1






    x2

    y2

    Δ y2

    Δ2 y2









    x3

    y3

    Δ y3












    x4

    y4



































    1-ый ИМ Ньютона имеет вид:

    .

    (4)

    ИМ Ньютона играет в численном анализе роль, аналогичную роли формулы Тейлора в математическом анализе. Так при использовании формулы (4), если слагаемые, начиная с какого-то номера становятся малыми, то ими пренебрегают.

    Если ввести обозначение: t=(x-x0)/h, то 1-ый ИМ Ньютона примет вид:
    (5)

    0 ≤ t ≤ n; t=(x-x0)/h

    Оценка погрешности:
    ; 0 ≤ t ≤ n; x є [x0;xn], μ=max│f(n+1)(x)│
    Если ввести обозначение: t=(x-xn)/h, то получим 2-ый ИМ Ньютона:
    (6)

    ─ n ≤ t ≤ 0; t=(x-xn)/h
      1   2   3   4


    написать администратору сайта