Главная страница
Навигация по странице:

  • 2 o й усовершенствованный метод Эйлера.

  • С.) Метод Рунге-Кутта. (4 го порядка)

  • Многошаговые методы. (

  • Лекция 1 Приближённые методы решения слау


    Скачать 0.74 Mb.
    НазваниеЛекция 1 Приближённые методы решения слау
    Дата29.10.2018
    Размер0.74 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файла1 (1).doc
    ТипЛекция
    #54830
    страница4 из 4
    1   2   3   4

    В) Модификации метода Эйлера.
    1ый усовершенствованный метод Эйлера.
    Сначала вычисляют промежуточные значения:

    (9)

    А затем полагают: (10)
    2oй усовершенствованный метод Эйлера.
    Сначала определяют «грубые приближения»: (11)
    И приближённо полагают: (12)
    Локальная погрешность на i-ом шаге: . Оценка погрешности в точке хn может быть получена с помощью двойного просчёта (с шагом h и h/2):

    (13)
    С.) Метод Рунге-Кутта. (4го порядка)
    Наиболее знаменитым из методов Рунге-Кутта является классический метод 4го порядка
    (15)



    (14)





    Грубая оценка погрешности (двойной просчёт): (16)

    Где у(хi) – точное решение, у*i – приближённое решение с шагом h/2, yi – … с шагом h .

    Для оценки правильности выбора шага h используют равенство:

    (17)

    q должно равняться нескольким сотым, иначе h уменьшается.
    D). Метод Рунге–Кутта 3-го порядка






     



    Многошаговые методы.

    (используют информацию о нескольких предыдущих точках)
    Д ) Алгоритм Адамса.

    Пусть дано дифференциальное уравнение: у′ = f(x, y) (1)

    с начальными условиями: у(х0) = у0 (1*)

    Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [a,b].

    Разобьём отрезок [a,b] на n равных частей точками хi = х0 + ih (i =0, 1, …, n).
    1ый этап: стартовая процедура. Используют какой-либо одношаговый метод того же порядка точности до тех пор, пока не будет получено достаточно значений для работы многошагового метода.

    Следовательно, определены: у1, у2, …, уk-1 в точках: х0 + h, …, x0 + h(k-1).

    2ойэтап: рекурсивной процедуры. Определение: уk, yk+1,…, yn основано на интегрировании интерполяционного многочлена Ньютона.
    Рабочие формулы явных методов Адамса (2-го, 3-го, 4-го порядков).

    (2)

    (3)

    (4)

    Формулы (2)-(4) называются экстраполяционными и на практике используются в качестве прогноза.

    Для улучшения точности или коррекции результата применяют неявные методы (используют ещё ненайденные значения: уk+1, yk+2,…).

    (5)

    (6)

    (7)

    Формулы (5)-(7) называются интерполяционными.

    Для грубой оценки точности (двойной просчёт):


    1   2   3   4


    написать администратору сайта