Главная страница
Навигация по странице:

  • Рис.1. Рис.2. А налитический метод отделения корней

  • Уточнение корней до заданной точности. То есть сужение отрезка локализации корня [a,b]. Рассмотрим несколько методов.1) Метод половинного деления (дихотомии).

  • Таким образом, в качестве начального приближения х 0 выбирается тот конец интервала [a,b], для которого знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.

  • 4) Комбинированный метод (хорд и касательных).

  • Лекция 5.

  • Лекция 1 Приближённые методы решения слау


    Скачать 0.74 Mb.
    НазваниеЛекция 1 Приближённые методы решения слау
    Дата29.10.2018
    Размер0.74 Mb.
    Формат файлаdoc
    Имя файла1 (1).doc
    ТипЛекция
    #54830
    страница3 из 4
    1   2   3   4

    2.1) Отделение корней.

    Всякое значение λ, обращающее функцию f(x) в нуль, т. е. такое, что f(λ) = 0, называется корнем уравнения (1) или нулём функции f(x).

    Отделить корни − это значит разбить всю область допустимых значений на отрезки, в каждом из которых содержится один корень. Отделение корней можно произвести двумя способами − графическим и аналитическим.

    Графический метод отделения корней: a) строят график функции у = f(x) для уравнения вида f(x) = 0. Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графика функции у = f(x) с осью Ох (рис.1);

    b) представляют уравнение (1) в виде φ(х) = g(x) и строят графики функций

    у = φ(х) и у = g(x). Значения действительных корней уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций у = φ(х) и у = g(x) (рис.2).

    Отрезки, в которых заключено только по одному корню, легко находятся.


    Рис.1. Рис.2.
    Аналитический метод отделения корней основан на следующей теореме:

    если непрерывная на отрезке функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри этого отрезка находится хотя бы один корень уравнения ; если при этом

    производная сохраняет знак внутри отрезка , то корень является единственным.
    Уточнение корней до заданной точности.

    То есть сужение отрезка локализации корня [a,b]. Рассмотрим несколько методов.


    1) Метод половинного деления (дихотомии).

    Пусть корень отделён и принадлежит отрезку . Находим середину отрезка по формуле (рис.3). Если , то с – искомый корень.


    Если , то в качестве нового отрезка изоляции корня выбираем ту половину или , на концах которой принимает значения разных знаков. Другими словами, если , то корень принадлежит отрезку , если - отрезку . Полученный отрезок снова делим пополам, находим ,


    Рис. 3.


    Рис.3

    Вычисляем , выбираем отрезок и т.д. Как только будет выполнено , то в качестве приближенного значения корня, вычисленного с точностью , можно взять . После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2n раз. Таким образом, число итераций n в данном методе зависит от предварительно заданной точности ε и от длины исходного отрезка и не зависит от вида функции f(x). Это является важным преимуществом метода половинного деления по сравнению с другими методами. Метод, однако, медленно сходится при задании высокой точности расчёта.

    2) Метод хорд.

    Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b). Тогда возможны четыре случая расположения дуги кривой (рис.4).



    Рис.4.
    В методе хорд за очередное приближение берём точку пересечения с осью Х прямой (рис.5), соединяющей точки (a,f(a)) и (b,f(b))

    Причём одна из этих точек фиксируется − та, для которой знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.

    Для рис.5 неподвижным концом хорды является х =a.

    Уравнение хорды АВ:

    Точка пересечения хорды с осью Х (у=0): .

    Теперь корень находится на отрезке [a,c1]. Заменяем b на с1.


    Рис.5. Иллюстрация метода хорд.
    Применяя метод хорд к этому отрезку, получим:

    .

    Продолжим и т.д., получим: (2)

    Условие окончания вычислений:

    │сn+1 − cn│< ε или │f(cn)│< ε1.

    Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой:

    , где

    Итак, если f (x)∙f″(x) > 0, то приближённое значение корня находят по формуле (2), если f′(x)∙f″(x) < 0 (т.е. фиксируется х = b), то по формуле:
    . (3)

    3) Метод Ньютона (касательных).
    Пусть на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производные f ′(x) и f ″(x) сохраняют постоянный знак на интервале (a,b).

    Геометрический смысл метода касательных состоит в том, что дуга кривой

    y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.



    Рис.7. Иллюстрация метода касательных.

    Выберем в качестве начального приближения х0 = a и проведём в точке А0(a,f(a)) касательную к графику функции f(x). Абсцисса пересечения касательной с осью Ох (у = 0) является первым приближением к корню (рси.7):

    или х0 = .

    Через точку А11;f(x1)) снова проведём касательную, абсцисса точки пересечения которой даст второе приближение х2 корня ξ и т.д. Очевидно, что в точке Аn(xn;f(xn)):

    y − f(xn) = f ′(xn)(x−xn)

    и алгоритм метода Ньютона запишется так:
    (4)
    Заметим, что в нашем случае, если положить х0 = b и провести касательную к кривой у = f(x) в точке b, то первое приближение не принадлежит отрезку [a,b].
    Таким образом, в качестве начального приближения х0 выбирается тот конец интервала [a,b], для которого знаки f(x) и f ″(x) одинаковы.

    Условие окончания вычислений: │сn+1 − cn│< ε или │f(cn)│< ε1.
    Для оценки погрешности можно пользоваться общей формулой

    , где

    4) Комбинированный метод (хорд и касательных).

    Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом, и уточнение корня происходит быстрее.

    Пусть дано уравнение f(x)=0, корень ξ отделён и находится на отрезке [a,b]. Применим комбинированный метод хорд и касательных с учётом типа графика функции (рис.4).

    Если f (x)·f ″(x) < 0 (рис.4 в, г), то методом хорд получаем значение корня с избытком, а методом касательных – с недостатком.

    Если f (x)·f ″(x) > 0 (рис.4 а, б), то метод хорд даёт приближение корня с недостатком, а метод касательных – с избытком.

    Рассмотрим случай, когда f (b) < 0, f ″(x) > 0 (рис.8), то со стороны конца а лежат приближённые значения корня, полученные по методу касательных, а со стороны конца b – значения, полученные по методу хорд.



    Рис.8 Иллюстрация комбинированного метода.

    Тогда , .

    Теперь истинный корень ξ находится на интервале [a1,b1]. Применяя к этому интервалу комбинированный метод, получаем

    ,

    и вообще

    , . (5)

    Для случая, когда f (b)·f ″(x) > 0, то рассуждая аналогично, получим следующие формулы для уточнения корня уравнения:

    , . (6)

    Комбинированный метод очень удобен при оценке погрешности вычислений. Процесс вычислений прекращается, как только станет выполняться неравенство

    ‌‌‌‌‌‌‌ |bn+1–an+1| < ε.

    Корень уравнения есть среднее арифметическое последних полученных значений: ξ=(‌an+1+bn+1)/2
    Лекция 5.
    Приближённое решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
    Пусть функция у = f(x,y) отражает количественную сторону некоторого явления. Рассматривая это явление, мы можем установить характер зависимости между величинами х и у, а также производными от у по х, т.е. написать дифференциальное уравнение.

    Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, искомую функцию y=f(x) и её производные.

    Запись: F( x, y, y′, y′′,…, y(n)) = 0 или .

    Определение: Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

    у′-2ху3+5=0----- уравнение первого порядка,

    у″+ky′-by-sinx=0------ уравнение второго порядка.

    Задача Коши (для уравнения первого порядка):

    у′ = f(x, y) (1) найти решение y = y(x),

    удовлетворяющее начальному условию: у(х0)=у0. (1*).

    Т.е. найти интегральную кривую, проходящую через точку М(х0, у0).

    Если f(x,y) непрерывна в области R: |x-x0| < a, |y-y0| < b, то существует по меньшей мере одно решение у = у(х), определённое в некоторой окрестности: |х-х0| < h, где h ― положительное число. Это решение единственно, если в R выполнено условие Липшица: (2)

    Где N― постоянная (константа Липшица), зависящая в общем случае от a и b. Если f(x,y) имеет ограниченную производную в R, то можно положить:

    Для дифференциального уравнения n-го порядка: у(n)=f(x,y,y′,…,y(n-1)) задача Коши состоит в нахождении решения у = у(х), удовлетворяющего начальным условиям:

    у(х0) = у0, у′(х0) = у′0, …, у(n-1)(x0) = y(n-1)0 ― заданные числа.

    Функция у = f(x, C1, C2,…, Cn), где С1,…, Сn― произвольные постоянные, называется общим решением ОДУ или общим интегралом.

    Эти постоянные можно определить с помощью начальных условий. Решение ДУ при заданных начальных условиях называется его частным решением.
    Определение: задача называется краевой, если указывается интервал интегрирования [a,b] и ставятся дополнительные условия для значений функции у и её производных на концах этого интервала.

    Процесс познания закономерностей и стремление создать детальную картину исследуемых явлений приводит к более сложной количественной оценке, отражающей эти явления, а именно к функции многих переменных, зависящих как от пространственных координат, так и от времени u = f(x1, x2,…, xn, t).
    Определение: Дифференциальным уравнением с частными производными называется уравнение, связывающее независимую переменные х1, х2, …, хn, t, искомую функцию

    u = f (х1, х2, …, хn, t) и её частные производные:

    .
    Постановка задачи.
    Дано дифференциальное уравнение первого порядка: у′ = f(x,y) (1).

    Требуется найти решение этого уравнения на отрезке [x0, xmax], удовлетворяющее начальным условиям: у(х0) = у0 (2).

    В вычислительной практике более предпочтительным являются численные методы нахождения приближённого решения в фиксированных точках: х01<…n=xmax.

    Большинство численных методов решения задачи (1) с начальными условиями (2) можно привести к виду: (3).
    ― при r = 1, а1 = 1, b0 = 0 методы вида (3) называются одношаговыми ( чтобы найти yi+1

    требуется информация только о предыдущей точке (xi, yi)).

    ― при r > 1 и b0 = 0 ― явными многошаговыми.

    ― при r > 1 и b0 ≠ 0 ― неявными многошаговыми.

    Многошаговость нарушает однородность вычислительного процесса, используя для получения недостающей информации другие вычислительные схемы ( например, одношаговые).
    А) Метод Эйлера.


    х

    x0

    x1



    хn

    y

    y0

    y1



    yn
    Для решение Д.У.(1) с Н.У. (2) на отрезке [x0, xmax] по методу Эйлера, таблица приближённых значений у(х) для равноотстоящих узлов:

    строится по формулам: yk+1 = yk + h∙f(xk,yk)

    xk+1 = xk + h, k = 0,…,n-1, h=(xn-x0)/n (4)
    Абсолютная погрешность формулы (4) на каждом шаге имеет порядок h2

    (5)

    Формула (4) означает, что на отрезке [xk, xk+1] интегральная кривая y = y(x) приближённо заменяется прямолинейным отрезком, выходящим из точки М(хkk) с угловым коэффициентом f(хkk). В качестве приближения искомой интегральной кривой получаем ломаную линию с вершинами в точках М000), М111),…, Мnnn). Первое звено касается истинной интегральной кривой в точке М000).

    Метод Эйлера может быть применён к решению системы ОДУ и ДУ высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе ОДУ первого порядка.

    Пусть задана система ОДУ первого порядка: (6)

    с начальными условиями: у(х0) = у0, z(х0) = z0 (7)
    Приближённые значения у(хi) ≈ yi, z(хi) ≈ zi вычисляются по формулам:

    (8)
    Метод Эйлера обладает двумя существенными недостатками:

    1) малой точностью (метод первого порядка точности);

    2) систематическое накопление ошибок.
    1   2   3   4


    написать администратору сайта