Линейная алгебра (лекции, 1 сем,1 курс). Лекция 1
 Скачать 2 Mb.
|
|
Теорема Крамера. Пусть в системе (1) хотя бы один из ее коэффициентов не равен нулю. Тогда для того чтобы система (1) имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы её главный определитель был не равен нулю. В этом случае решение системы (1) даётся формулами Крамера: Если и хотя бы один из определителей то система (1) решений не имеет. Если все , то система (1) либо не имеет решений вообще, либо имеет их бесчисленное множество. Доказательство проведем в случае для системы с двумя неизвестными Не умаляя общности, можно считать, что Из первого уравнения (3) находим и подставляем во второе уравнение; будем иметь Пусть теперь тогда , поэтому Мы показали, что в случае исходная система (3) равносильна системе двух уравнений поэтому если то система (3) имеет единственное решение Теорема доказана. Геометрическая интерпретация теоремы Крамера. Уравнения (3) есть уравнения прямых на плоскости Если то коэффициенты указанных прямых не пропорциональны, значит, эти прямые не параллельны (см. Р.7), и поэтому пересекаются в одной точке (в точке). Если то коэффициенты прямых (3) пропорциональны, т.е. В этом случае система (3) равносильна одному уравнению которое имеет бесчисленное множество решений где произвольная постоянная, т.е. все точки прямой (см. Р.8) являются решениями системы (3). И, наконец, если и хотя бы один из определителей не равен нулю, то прямые (3) паралельны, а, значит, система (3) не имеет решений (см. Р.9). Пример 2. Решить систему уравнений Решение. Вычисляем определители По теореме Крамера эта система либо имеет бесчисленное множество решений, либо не имеет их вообще. В нашем случае поэтому первое и третье уравнения принимают вид Ни при каких и эти равенства одновременно не выполняются, значит данная система решений не имеет. 2. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц Понятие линейного пространства было введено ранее. Дадим понятие линейного подпространства. Определение 1. Подмножество линейного пространства называется подпространством пространства над числовым множеством , если наряду с двумя произвольными элементами принадлежащими ему принадлежит и любая линейная комбинация (числа). Например, пространство двумерных геометрических векторов является подпространством трехмерных геометрических векторов В подпространстве существует свой базис, который можно выбрать из базисных векторов пространства . Введем теперь понятие линейного оператора. Сначала заметим, что любое отображение пространства в пространство ставящее в соответствие каждому элементу единственный элемент по закону называется оператором (действующим из пространства в пространство ). Определение 2. Оператор называется линейным оператором, если выполняются свойства3: а) б) Свойства а) и б) можно объединить в одно: Например, оператор ставящий в соответствие каждому столбцу столбец будет линейным оператором, так как Этот оператор называется оператором проектирования. В качестве другого важного примера можно указать на оператор, являющийся матрицей размера . Этот оператор действует из пространства в пространство Действительно, Значит, оператор действует из пространства в пространство Далее, из определения действий над матрицами вытекает свойство для любых столбцов и любых чисел Поэтому матрица является линейным оператором. Обозначим через множество всех линейных операторов В этом множестве естественным образом вводятся линейные операции над операторами: (при получаем сумму операторов и , при получаем умножение оператора на число). Нетрудно показать, что пространство является линейным пространством. Можно ввести даже операцию умножения операторов и Если то в множестве всех линейных операторов будут определены линейные операции и операция умножения операторов. Такое множество называется алгеброй операторов. Важным понятием в линейной алгебре является понятие матрицы линейного оператора. Введем его. Пусть оператор является линейныым и пусть Зафиксируем в пространстве базис . Тогда любой вектор можно записать в виде Точно так же, если в пространстве зафиксировать базис то любой вектор можно записать в виде Так как образы базисных векторов принадлежат пространству то их можно (согласно (4)) разложить по базису Если ввести матрицу то совокупность последних равенств можно записать в виде Полученную таким образом матрицу называют матрицей оператора Сформулируем это понятие более точно. Определение 3. Матрицей оператора в базисе называется матрица (размера ), й столбец которой является координатным столбцом образа (образаго базисного вектора пространства ) в базисе Пример 3. Пусть пространство является пространством квадратных трехчленов: = = Выберем в нем базис Тогда каждый элемент пространства можно записать в виде Найдем матрицу оператора дифференцирования (здесь ). Так как то Следовательно, матрица оператора (согласно определению 3) имеет вид Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема 2. Если и матрицы операторов и соответственно (в одном и том же базисе ), то матрицами операторов (числа) и в том же базисе будут соответственно матрицы Из этой теоремы вытекает, что линейные операции над операторами и операция умножения операторов можно заменить на аналогичные операции над их матрицами. Поэтому, например, вместо того, чтобы решить операторное уравнение достаточно решить матричное уравнение а затем восстановить вектор (здесь матрица оператора в базисе координатные столбцы векторов и в том же базисе). Пример 3. Решить дифференциальное уравнение Решение. Выбрав в пространстве квадратных трехчленов базис (см. пример 2), запишем данное дифференциальное уравнение в матричной форме Его решением является вектор-столбец Значит, решением данного уравнения будет функция где произвольная постоянная. Заметим, что мы нашли все решения данного уравнение в пространстве квадратных трёхчленов. Не исключено, что оно имеет и другие решения, не входящие в пространство . Пример 4. Даны линейные преобразования в пространстве Построить преобразование и найти его матрицу в стандартном базисе пространства Решение. Воспользуемся теоремой 2. Если и матрицы операторов и в базисе то матрицей оператора в том же базисе будет матрица Построим эту матрицу, а затем восстановим по ней само преобразование . Вычисляя образы базисных векторов для операторов и , построим их матрицы: Вычисляем матрицу Значит, Лекция 6. Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису. Ядро и образ оператора. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов В предыдущей лекции были определены две алгебры: алгебра линейных операторов и алгебра матриц. Было отмечено, что обе эти алгебры взаимосвязаны между собой и что при решении операторных уравнений можно пользоваться соответствующими им матричными уравнениями. Однако не был затронут вопрос об изменении матрицы оператора и координат вектора при переходе к новому базису. Восполним этот пробел. 1.Изменение координат вектора и матрицы оператора при переходе к новому базису Рассмотримсначала случай линейного оператора , действующего из пространства в себя.Итак, пусть в линейном пространстве заданы два базиса: и Разложим “новые” базисные вектора в линейные комбинации “старых” базисных векторов: Стоящая здесь матрица м столбцом которой является координатный столбец го базисного вектора в “старом” базисе называется матрицей перехода от “старого”базиса к “новому“. Если теперь координаты вектора в “старом” базисе а координаты того же вектора в “новом” базисе то имеет место равенство Так как разложение по базису единственно, то отсюда следует, что Получен следующий результат. Теорема 1. Координаты вектора в базисе и координаты того же вектора в базисе связаны соотношениями (2), где матрица перехода от “старого”базиса к “новому“ . Посмотрим теперь, как связаны между собой матрицы и одного и того же оператора в различных базисах и пространства Матрицы и определяются равенствами Пусть Это равенство в базисе равносильно матричному равенству а в базисе матричному равенству ( здесь приняты те же обозначения, что и в (1)). Используя теорему (1), будем иметь так как столбец произвольный, то отсюда получаем равенство Доказан следующий результат. Теорема 2. Если матрица оператора в базисе а матрица того же оператора в базисе то Замечание 1. Две произвольные матрицы и связанные соотношением где некоторая невырожденная матрица называются подобными матрицами. Таким образом, две матрицы одного и того же оператора в различных базисах подобны. Пример 1. Матрица оператора в базисе имеет вид Найти матрицу этого оператора в базисе Вычислить координаты вектора в базисе Решение. Матрица перехода от старого базиса к новому и обратная к ней матрица имеют вид поэтому по теореме 2 матрица оператора и новом базисе будет такой: Далее, вектор имеет следующий координатный столбец в базисе По теореме 1 координатный столбец этого вектора в базисе будет иметь вид Пусть теперь оператор действует из линейного пространства в другое линейное пространство и пусть в пространстве выбраны два базиса: и а в пространстве – базисы и . Тогда можно составить две матрицы и линейного оператора и две матрицы и перехода от “старых” базисов к “новым”: Нетрудно показать, что в этом случае имеет место равенство 2. Ядро и образ линейного оператора Пусть дан линейный оператор действующий из линейного пространства в линейное пространство Следующие понятия бывают полезными при решении линейных уравнений. Определение 1. Ядром оператора называется множество Образом оператора называется множество Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема 3. Ядро и образ линейного оператора являются линейными подпространствами пространств и соответственно, причем имеет место равенство Для вычисления ядра оператора надо записать уравнение в матричной форме (выбрав базисы в пространствах и ) и решить соответствующую алгебраическую систему уравнений. Поясним теперь, как можно вычислить образ оператора . Пусть матрица оператора в каком-нибудь базисе . Обозначим через -й столбец матрицы Принадлежность вектора образу означает, что существуют числа такие, что вектор столбец представляется в виде т.е. является элементом пространства линейных комбинаций столбцов матрицы Выбрав в этом пространстве базис (например, максимальную совокупность линейно независимых столбцов матрицы ), вычислим сначала образ оператора-матрицы : а затем построим образ оператора : Пример 2. Найти матрицу, ядро и образ оператора проектирования на плоскость (трехмерное пространство геометрических векторов). Решение. Выберем в пространстве какой-нибудь базис (например, стандартный базис ). В этом базисе матрица оператора проектирования находится из равенства Найдем образы базисных векторов. Так как плоскость проходит через ось то Далее (см. Р10) И аналогично Таким образом, Значит, матрица оператора имеет вид Ядро оператора-матрицы вычисляем из уравнения Таким образом, (произвольная постоянная). Образ оператора-матрицы натянут на все линейно независимые столбцы матрицы т.е. поэтому (произвольные постоянные). 3. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Матрица оператора в базисе из собственных векторов Пусть дан линейный оператор (линейное пространство над числовом полем 4). Определение 2. Вектор называется собственным вектором, соответствующим собственному значению , если: а) б) Совокупность всех различных собственных значений оператора называют спектром оператора . Обозначение: Например, если матрица то вектор является собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному значению так как При этом Отметим очевидное свойство собственных векторов: если собственный вектор оператора соответствующий собственному значению то тоже собственный вектор оператора соответствующий собственному значению В ряде случаев, выбирая постоянную можно упростить вид собственных векторов. Свойства собственных векторов. 1) собственные векторы соответствующие различным собственным значениям линейно независимы. 2) все собственные векторы оператора , соответствующие одному и тому же собственному значению, образуют линейное подпространство в (его называют собственным пространством оператора отвечающим собственному значению ). 3) В пространстве любой линейный оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Опишем теперь, как вычисляются собственные векторы и собственные значения. Зафиксируем в пространстве некоторый базис и вычислим матрицу оператора в этом базисе. Тогда операторное уравнение (с учетом того,где ) можно записать в матричном виде Эта система должна иметь нетривиальное решение поэтому ее определитель должен равняться нулю Определитель (5) называется характеристическим определителем матрицы (или оператора ). Раскрывая его, получим так называемое характеристическое уравнение, решая которое, найдем собственные значения матрицы ( или оператора ) . Положив в (4) и решив полученную алгебраическую систему уравнений относительно вектора-столбца , найдем все собственные векторы соответствующие собственному значению матрицы Затем по формуле вычислим собственные векторы оператора , соответствующие собственному значению Зачем нужны собственные векторы? Оказывается они обладают следующим важным свойством. Теорема 4. Если оператор имеет в поле различных собственных значений , то собственные векторысоответсвующие этим значениям, образуют базис в Матрица оператора в этом базисе будет диагональной: Замечание 2. Оператор называется диагонализируемым (или оператором простой структуры), если в существует базис, в котором матрица этого оператора диагональна. Из теоремы 4 следует, что оператор , имеющий в в поле различных собственных значений, диагонализируем. Обратное, вообще говоря, не верно: оператор может быть диагонализируемым, не имея различных собственных значений. Например, единичная матрица размерности диагонализируема, но она имеет только одно собственное значение кратности В этом случае матрица имеет базис из собственных векторов, но все они отвечают собственному значению Докажем теперь следующий важный результат. Теорема 5. Все подобные квадратные матрицы одной и той же размерности имеют одинаковый спектр. Доказательство. Пусть матрицы и подобны. Тогда существует невырожденная матрица такая что Поэтому Используя теорему об определителе произведения матриц, отсюда получаем, что Учитывая, что получаем отсюда равенство которое показывает, что характеристические уравнения матриц и совпадают, поэтому они имею одинаковый спектр. Теорема доказана. Лекция 7. Евклидовы и метрические пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Существование ортонормированного базиса В теории квадратичных форм важную роль играют евклидовы пространства и самосопряжённый оператор. Перейдем к описанию этих понятий. 1. Евклидовы и метрические пространства Пусть линейное пространство над множеством действительных чисел Определение 1. Пространство называется евклидовым пространством, если в нем для любой пары векторов и определено число называемое скалярным произведением и , удовлетворяющее следующим свойствам: 1. П.О. 2. С. 3. Л. (здесь произвольные векторы, произвольные числа). Например, обычное скалярное произведение в геометрическом пространстве трехмерных векторов удовлетворяют свойствам 1-3, поэтому - евклидово пространство. Очевидно, что пространство ( мерных векторов-столбцов) также является евклидовым пространством со скалярным произведением также является евклидовым пространством. Обычно евклидовы пространства обозначают буквой и мы будем пользоваться этим обозначением. Если линейное пространство над множеством комплексных чисел и если в нем введено скалярное произведение удовлетворяющее аксиоме 1 и аксиомам то пространство называется унитарным пространством (здесь черта вверху означает комплексное сопряжение:). Мы будем рассматривать в основном евклидовы пространства. Однако все приводимые ниже понятия и утверждения почти дословно переносятся и на унитарные пространства. |