Линейная алгебра (лекции, 1 сем,1 курс). Лекция 1
 Скачать 2 Mb.
|
|
Определение 2. Два вектора называются ортогональными, если Имеет место следующее утверждение:любая система попарно ортогональных векторов в линейно независима.Действительно, пусть. Умножая это равенство скалярно на будем иметь Таким образом, равенство выполняется тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю. Это означает, что векторы линейно независимы. Определение 3. Базис пространства называется ортонормированным, если Например, базис в пространстве является ортонормированным. Введем теперь в рассмотрение понятие метрического пространства. Определение 4. Линейное пространство называется метрическим пространством, если в нем для любых векторов и определено число называемое расстоянием между и (или метрикой в ), обладающее следующими свойствами: 4. П.О. 5. С. 6. Т. (произвольные векторы из пространства ). Любое евклидово пространство является одновременно и метрическим пространством с метрикой (проверьте выполнение свойств 4-6). Заметим, что число называется длиной (или нормой) вектора Так что в евклидовом пространстве В любом евклидовом пространстве имеет место неравенство Коши-Буняковского: Отсюда следует, что имеет смысл называемое косинусом угла между векторами и Теорема 1. В любом евклидовом пространстве размерности существует ортонормированный базис . Координаты вектора в этом базисе имеют вид Доказательство первой части этой теоремы проводить не будем. Перейдем ко второй части. Имеем . Умножая скалярно это равенство на будем иметь Теорема доказана. Введем следующее важное понятие. Определение 5. Оператор действующий в унитарном (в частности, в евклидовом) пространстве называется сопряженным к оператору если для всех имеет место равенство Обозначение: Теорема 2. В любом ортонормированном базисе унитарного пространства матрица оператора является сопряженной по отношению к матрице оператора т.е. если матрица оператора то матрицей оператора будет матрица И, наконец, заметим, что квадратная матрица называется симметрической, т.е. Нетрудно показать, что все собственные значения симметрической матрицы действительны; при этом и отвечающие им собственные векторы также можно выбрать действительными. 2. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования Матрица (-й столбец) называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему, т.е. Например, матрица является ортогональной. Теорема 3. Для того чтобы матрица была ортогональной, необходимо и достаточно, чтобы Следствие 1. Ортогональная матрица обладает следующими свойствами: 1) 2) матрицы ортогональные. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной матрицей. Определение 6. Линейное преобразование (оператор) называется ортогональным, если в некотором ортонормированном базисе пространства его матрица является ортогональной. Теорема 3. Имеют место следующие свойства ортогональных преобразований: 1. Преобразование ортогонально тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный. 2. Ортогональное преобразование не изменяет скалярного преобразования, т.е. 3. При ортогональном преобразовании не изменяется длина (норма) вектора, а так же угол между векторами, т.е. 4. Произведение двух ортогональных преобразований есть ортогональное преобразование. 2. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду Квадратичной формой действительных переменных называется выражение вида где числа (коэффициенты квадратичной формы). При этом матрица называется матрицей квадратичной формы (заметим, что она является симметрической: Используя эту матрицу, можно записать квадратичную форму кратко так: где вектор-столбец. Определитель матрицы и её ранг называются соответственно определителем и рангом квадратичной формы. Посмотрим, как преобразуется квадратичная форма при линейном преобразовании. Пусть дана квадратичная форма . Сделаем в ней преобразование будем иметь Если матрица является невырожденной, то матрицы и называются конгруэнтыми. Так же называются исоответствующие квадратичные квадратичные формы. Нетрудно показать, что определители конгруэнтных матриц имеют одинаковые знаки, а сами конгруэнтные матрицы имеют одинаковые ранги. Теорема 4. Любую действительную квадратичную форму ортогональным линейным преобразованием можно привести к каноническому виду При этом собственные значения матрицы столбцы матрицы являются собственными векторами матрицы соответствующими этим собственным значениям, причем они образуют ортонормированный базис в пространстве Теорема 5. Любую действительную квадратичную форму можно линейным невырожденным преобразованием привести к нормальному виду5 где ранг квадратичной формы. При этом число положительных и число отрицательных квадратов в (1) не зависит от выбора преобразования (закон инерции квадратичных форм). Следствие 2. Любая действительная симметрическая матрица ортогонально-подобна диагональной матрице, т.е. где ортогональная матрица, При этом спектр матрицыа столбцы являются собственными векторами матрицы Заметим, что канонический и нормальный вид квадратичной формы определяются неоднозначно. Однако число положительных и число отрицательных квадратов во всех видах остаются неизменными (закон инерции квадратичных форм). Пример 1. Привести к каноническому и нормальному виду квадратичную форму Решение. Квадратичную форму можно записать в виде Находим собственные значения матрицы Вычисляем собственные векторы матрицы для чего решаем систему при Получим собственные векторы образующие базис в Он является ортогональным базисом в но не ортонормированным. Нормируем собственные векторы, поделив их на их длины: Теперь преобразующая матрица и ее обратная имеют вид Следовательно, преобразование приводит исходную квадратичную форму к каноническому виду . Сделав еще одно преобразование приведем квадратичную форму к нормальному виду Дадим еще один способ приведения квадратичной формы к нормальному виду, называемый методом Лагранжа. Продемонстрируем его на том же примере Назовем главной переменной ту, которая входит в квадратичную форму в квадрате и в первой степени. Это переменная Выделяем по ней полный квадрат: Делаем замены переменных: Будем иметь Это и есть нормальный вид квадратичной формы. Чтобы найти преобразование приводящее квадратичную форму к нормальной форме, найдем обратную замену переменных: Следовательно, матрица преобразования к нормальному виду будет такой: Действительно, . 3. Кривые второго порядка на плоскости Множество точек на плоскости6 удовлетворяющих уравнению где не обращаются одновременно в нуль, называется кривой второго порядка на плоскости. Старшие члены в (2) образуют действительную квадратичную форму с матрицей По теореме 4 ортогональным преобразованием (где матрица из ортонормированных собственных векторов матрицы ) ее можно привести к каноническому виду , где собственные значения матрицы При этом преобразовании исходное уравнение (2) приводится к виду Так как то число является определителем квадратичной формы Проведем классификацию кривых второго порядка (2) в случае В этом случае ( применяя метод выделения полного квадрата) уравнение (4) можно привести к виду Сделав ещё одну замену переменных получим уравнение если и если 1 Полезно запомнить, что в первый индекс номер строка, а номер столбца, на пересечении которых находится элемент 2 Взаимно однозначное соответствие между двумя множествами, сохраняющее линейные операции между ними, называется линейным изоморфизмом этих множеств. 3 Если оператор линейный, то пишут опуская скобки. 4 В качестве обычно берут множество действительных чисел или множество комплексных чисел 5 Приведение квадратичной формы к виду (1) называют ещё приведением её к главным осям 6 Эту плоскость мы будем обозначать так же, как и множество геометрических векторов, буквой . |