Линейная алгебра (лекции, 1 сем,1 курс). Лекция 1
 Скачать 2 Mb.
|
|
Определение 2. Матрица называется матрицей ступенчатого вида, если в ней: а) опорный элемент каждой строки находится правее опорного элемента предыдущей строки; б) если в матрице есть нулевая строка, то и все следующие ее строки также нулевые. Ясно, что диагональная, верхне-треугольная и трапециевидная матрицы являются ступенчатыми. Другой пример матрицы ступенчатого вида: 2. Определители матрицы и их свойства Мы имели уже дело с определителями второго и третьего порядков на предыдущих лекциях. Дадим теперь общее понятие определителя порядка по индукции. Любой квадратной матрице вида ставится в соответствие число определяемое ниже (см. определение 5) и называемое определителем (или детерминантом) матрицыТеперь введем понятие минора матрицы. Определение 3. В матрице на пересечении любых строк и столбцов стоит матрица порядка. Определитель матрицы называется минором го порядка матрицы Ясно, таких миноров может быть несколько. Пусть теперь матрица является квадратной. Определение 4. Минор порядка, полученный из матрицы после вычеркивания её строки и го столбца, называется дополнительным минором элемента этой матрицы (обозначение: ). Число называется алгебраическим дополнением элемента матрицы. Определение 5. Пусть в квадратной матрице выделена произвольная строка Определителем матрицы называется число (т.е. сумма произведений элементов й строки на их алгебраические дополнения). Часто определитель матрицы обозначают так: Как мы уже отметили выше, определитель порядка вычисляется по индукции: если известно правило вычисления определителей порядка, то определитель порядка вычисляется по формуле (1). Ранее было даны правила вычисления определителей второго и третьего порядков, поэтому по формуле (1) можно вычислить определители четвертого порядка и выше. Например, Перечислим основные свойства определителей. Сначала заметим, что матрица полученная из матрицы заменой строк на столбцы с теми же номерами, называется тран- спонированной к матрицей. Обозначение: 1) При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: 2) При перестановки каких-либо двух строк (или двух столбцов) матрицы ее определитель изменяет знак на противоположный. 3) Определитель, у которого есть нулевая строка (или нулевой столбец) равен нулю. 4) Определитель, у которого элементы одной строки (или столбца) пропорциональны элементам другой строки (или столбца ) равен нулю. 5) Общий множитель элементов любой строки (или столбца) можно выносить за знак определителя : 6) Если к какой-нибудь строке определителя прибавить другую строку, умноженную на любое число то определитель не изменится. Тоже верно и для столбцов определителя. 7) (сумма определителей) 8) Определитель произведения двух квадратных матриц одной и той же размерности равен произведению определителей этих матриц: Доказательство всех этих свойств проводится с использованием определения 5. Докажем, например, свойство 5. Имеем Свойство 5 доказано. 3. Обратимость матриц. Вычисление обратной матрицы Определение 6. Говорят, что квадратная матрица обратима, если существует квадратная матрица (той же размерности) такая, что При этом матрица называется обратной к матрице и обозначается Нетрудно показать, что если матрица обратима, то она имеет единственную обратную матрицу Теорема 1. Для того чтобы матрица была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был не равен нулю (в этом случае матрица называется невырожденной или неособой матрицей). При этом её обратная матрица имеет вид где алгебраическое дополнение элемента матрицы Например, (эту формулу полезно запомнить), 4. Ранг матриц. Теорема о базисном миноре Сначала введем понятие линейной зависимости и независимость строк (столбцов) матрицы. Определение 6. Строки называются линейно зависимыми, если существуют числа не равные нулю одновременно, такие, что имеет место равенство Если же равенство (2) (где числа) имеет место тогда и только тогда, когда все числа одновременно равны нулю (), то строки называются линейно независимыми. Аналогичные понятия вводятся и для столбцов. Например, строки линейно зависимы, так как (здесь ), а столбцы линейно независимы, так как Введем теперь следующее важное понятие. Определение 7. Рангом произвольной матрицы (размера ) называется максимальное число линейно независимых столбцов этой матрицы. Обозначение: Например, ранг матрицы равен 1, так как только один столбец этой матрицы (любой) линейно независим, а два столбца линейно зависимы. Пусть дана произвольная матрица . Будем последовательно рассматривать в ней миноры первого, второго, третьего и т.д. порядков. Определение 8. Базисным минором матрицы называется такой отличный от нуля минор го порядка, что все миноры матрицы порядка выше го равны нулю. Нетрудно доказать следующее утверждение. Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен порядку базисного минора этой матрицы. Отсюда, в частности, следует, что при транспонировании матрицы ее ранг не изменяется, поэтому ранг матрицы равен также максимальному числу ее линейно независимых строк. Из теоремы о базисном миноре также вытекает, что ранг матрицы ступенчатого вида равен числу её опорных элементов. Лекция 4. Элементарные преобразования и приведение матрицы к ступенчатому виду. Линейные системы алгебраических уравнений. Линейное пространство, размерность, базис. Теорема Кронекера-Капелли. Структура общего решения однородной и неоднородной систем уравнений. Метод Гаусса решения алгебраических систем уравнений В основе решения систем линейных уравнений лежат два метода – метод Крамера и метод Гаусса, к изложению которых мы переходим. 1. Элементарные преобразования и приведение матриц к ступенчатому виду К элементарным преобразованиям строк матрицы относятся следующие преобразования: 1) перемена строк местами; 2) умножение элементов любой строки на не равное нулю число; 3) прибавление к любой строке матрицы линейной комбинации других ее строк. Аналогичные преобразования над столбцами называются элементарными преобразованиями столбцов матрицы. Имеют место следующие утверждения. Теорема 1.Элементарные преобразования строк (или столбцов) матрицы не изменяют её ранга. Элементарными преобразованиями строк всегда можно привести матрицу к ступенчатому виду (а дополнительными элементарными преобразованиями ее столбцов можно привести матрицу к трапециевидной форме). Например, Здесь мы проделали следующие операции: 1) Ко второй строке матрицы прибавили первую строку, умноженную на (-2); от третьей строки исходной матрицы отняли её вторую строку; в итоге получили матрицу 2) К третьей строке матрицы прибавили ее вторую строку; получили матрицу ступенчатого вида (трапециевидной формы). 2. Линейные системы алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капеллил Системой уравнений с неизвестными называется система вида где неизвестные, известные числа (коэффициенты системы), Вводя обозначения можно записать систему (1) в краткой форме Её называют матричной формой записи системы (1). При этом столбец называют столбцом неизвестных, матрицу матрицей системы (1), а столбец столбцом свободных членов (или правых частей) системы (1). Если столбец свободных членов то система (1) называется однородной системой; если то (1) называется неоднородной системой. Определение 1. Решением системы (1) называется совокупность неизвестных которая, будучи подставленная в уравнения (1), обращает их в верные числовые равенства (другое определение: решением системы (1) называется вектор-столбец обращающий систему в истинное векторное равенство ). При этом если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной (или разрешимой). Если (1) не имеет решений, то она называется несовместной (или неразрешимой). Система, имеющая только одно решение, называется определённой системой. Система, имеющая более одного решений, называется неопределённой системой. Рассмотрим систему (1) в матричной форме Как уже говорилось выше, называется матрицей коэффициентов или просто матрицей системы (1) . Если к этой матрице присовокупить справа столбец свободных членов, то получим матрицу называемую расширенной матрицей системы уравнений (1). Эта матрица играет важную роль в теории линейных систем уравнений. Например, по ней можно судить, будет ли система (1) разрешимой или нет. Имеет место следующее утверждение. Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений была совместной необходимо и достаточно, чтобы Следствие 1. Однородная система всегда совместна (это утверждение вытекает также из того, что однородная система имеет тривиальное решение ). 3. Линейные пространства и базис. Структура общего решения однородной системы уравнений Рассмотрим теперь более подробно однородную систему и попробуем установить свойства ее решений. Сначала введем некоторые понятия, о которых подробно будет сказано в следующих лекциях. Определение 2. Произвольное множество называется линейным пространством над множеством чисел , если в нем для любых двух элементов введены две операции: операция сложения () и операция умножения на числа ( ), подчиняющиеся следующим аксиомам: ( элемент называется обратным или противоположным к элементу и обозначается элемент называется нулевым или нейтральным элементом пространства ); (элемент 1 называется нейтральным элементом умножения на числа); Здесь везде произвольные элементы множества а произвольные числа из Нейтральный элемент обычно отождествляют с нулем: Элементы линейного пространства часто называют векторами и мы будем в дальнейшем также пользоваться этим термином. Простейшими примерами линейных пространств являются множества действительных чисел (с естественными операциями сложения и умножением на числа), а также пространство геометрических векторов, рассмотренное ранее, с введенными в нем линейными операциями сложения и умножения на действительные числа. В качестве другого важного примера линейного пространства можно указать на пространство матриц размера с введенными ранее операциями сложения матриц и умножения их на числа. В частности, линейными пространствами будут пространство столбцов: и пространство строк: . Ранее было введено понятие линейной зависимости и линейной независимости строк и столбцов. Точно такие же понятия вводятся и в произвольном линейном пространстве Определение 3. Упорядочная система векторов линейного пространства называется базисом в , если она удовлетворяет следующим требованиям: 1) система линейно независима; 2) каков бы ни был вектор существуют числа такие, что имеет место представление причем это представление единственно. Числа называются координатами вектора в базисе а столбец координатным столбцом вектора Заметим, что если в пространстве существует базис, состоящий из конечного числа векторов, то пространство называется конечномерным (мерным; пишут размерность пространства ). В противном случае называется бесконечномерным пространством. Так же, как и в трехмерном пространстве геометрических векторов, устанавливается взаимно однозначное соответствие между элементами и их координатными столбцами по закону: Нетрудно видеть, что это соответствие2 сохраняет линейные операции, поэтому вместо линейных действий над векторами пространства производят аналогичные действия над их координатами. Перейдем теперь к рассмотрению линейной однородной системы (2). Используя теорему о базисном миноре и тот факт, что линейная система (2) равносильна системе с матрицей ступенчатого вида, полученной из матрицы эквивалентными преобразованиями строк, докажем следующий результат. Теорема 1. Множество всех решений однородной системы (2) (состоящей из уравнений с неизвестными) образует линейное пространство размерности При этом любое решение однородной системы (2) имеет вид где базис пространства решений (его называют фундаментальной систе- мой решений однородной системы (2)), а некоторые постоянные. Заметим, что линейная комбинация где произвольные постоянные, фундаментальная система решений системы (2),называется общим решением этой системы и обозначается Таким образом, построение общего решения системы (2) сводится к построению её фундаментальной системы решений (ф.с.р.). Как найти ф.с.р.? Ответу на этот вопрос мы предпошлем описание алгоритма построения общего решения неоднородной системы (1). 4. Структура общего решения неоднородной системы уравнений. Алгоритм метода Гаусса построения общего решения линейной алгебраической системы уравнений Рассмотрим неоднородную систему (1). Сначала заметим, что разность двух ее решений будет решением соответствующей однородной системы Действительно, имеем верные равенства и поэтому т.е. разность является решением однородной системы (2). Отсюда следует, что вектор где фиксированное решение неоднородной системы , а общее решение соответствующей однородной системы будет решением неоднородной системы (1) при любых значениях постоянных Если теперь любое другое решение неоднородной системы , то его можно представить в виде Действительно, разность является решением однородной системы а, значит, по теореме 1 существуют постоянные такие, что имеет место равенство ч.т.д. Мы получили следующий результат. Теорема 2. Общее решение неоднородной системы имеет вид где частное решение неоднородной системы , фундаментальная система решений соответствующей однородной системы а произвольные постоянные. Теперь опишем алгоритм построения общего решения неоднородной системы (1). Алгоритм метода Гаусса 1. По системе (1) строим расширенную матрицу 2. С помощью элементарных преобразований строк приводим матрицу к ступенчатому виду 3. По матрице восстанавливаем систему уравнений; при этом уравнения, соответствующие нулевым строкам матрицы не выписываем. 4. Неизвестные, коэффициентами которых являются опорные элементы матрицы объявляем базисными (закрепленными), оставляем их в левых частях уравнений, а остальные неизвестные объявляем свободными и переносим их в правые части уравнений. 5. Придавая свободным неизвестным значения произвольных постоянных, решаем полученную систему уравнений обратным ходом и находим базисные неизвестные и , наконец, записываем общее решение исходной системы уравнений в виде (4). Пример 1. Найти общее решение системы уравнений Решение. Составляем расширенную матрицу и приводим её к ступенчатому виду (опорные элементы выделены в квадратиках): По матрице восстанавливаем систему уравнений (нулевую строку не учитываем): Базисными неизвестными являются и ; оставляем их слева. Полагая значения свободных неизвестных произвольными: перенесём их направо. Будем иметь Теперь можно записать общее решение исходной системы (5): Отсюда и из теоремы 2 следует, что Найдены частное решение системы (5) и ф.с.р. соответствующей однородной системы. Лекция 5. Правило Крамера. Линейное подпространство. Линейный оператор и его матрица в фиксированном базисе. Алгебра линейных операторов и ее связь с алгеброй матриц В предыдущей лекции были рассмотрены общие системы линейных уравнений. В них число уравнений могло не совпадать с числом неизвестных. Соответствующая матрица системы была в общем случае прямоугольной. В случае систем с квадратной матрицей можно указать еще два способа решения (кроме изложенного выше метода Гаусса). 1. Линейные системы уравнений с квадратной матрицей. Правило Крамера Итак, рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными Матрица этой системы квадратная, поэтому можно вычислить ее определитель (называемый главным определителем системы (1)). Ниже будут участвовать и другие определители, относящиеся к системе (1). Введем их. Если в определителе выбросить й столбец и заменить его на столбец свободных членов, то получим определитель называемый м вспомогательным определителем Если определитель то для матрицы существует обратная матрица и эта матрица единственна. С помощью неё можно решить систему (1). Действительно, умножая обе части последнего равенства (1) на будем иметь Мы доказали следующее утверждение. Теорема 1. Если то система (1) имеет единственное решение Пример 1. Решить систему уравнений Решение. Так как определитель то данная система имеет единственное решение Другой способ решения системы (1) основан на следующем утверждении. |