Лекция 13. Линейные (векторные) пространства

• Название: Лекция 13. Линейные (векторные) пространства
• Дата: 17.04.2022
• Размер: 63.63 Kb.
• Имя файла: Lektsia_13_Lineynye_vektornye_prostranstva_2021.docx
• Тип: Лекция; #480505
• страница: 5 из 5

′₃𝑦₃⁾ + ⁽𝑥′′₁𝑦₁ + 2𝑥′′₂𝑦₂ + 𝑥′′₃𝑦₃⁾ = ⁽𝑥̅′, 𝑦̅⁾ + ⁽𝑥̅′′, 𝑦̅⁾ − выполнена;

3) ⁽𝜆𝑥̅, 𝑦̅⁾ = ⁽𝜆𝑥₁⁾𝑦₁ + 2⁽𝜆𝑥₂⁾𝑦₂ + ⁽𝜆𝑥₃⁾𝑦₃ = 𝜆 ∙ (𝑥₁𝑦₁ + 2𝑥₂𝑦₂ + 𝑥₃𝑦₃) = 𝜆⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ - выполнена;

4) ⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ = 𝑥₁𝑥₁ + 2𝑥₂𝑥₂ + 𝑥₃𝑥₃ = 𝑥₁² + 2𝑥₂² + 𝑥₃² ≥ 0 – выполнена.

Ответ: так как все аксиомы выполнены, в пространстве 𝑅³ таким образом можно задать скалярное произведение.

B) Проверим выполнение аксиом для данного произведения:

1) ⁽𝑦̅, 𝑥̅⁾ = 𝑦₁ ∙ 𝑥₂ + 𝑦₂ ∙ 𝑥₁ = 𝑥₁ ∙ 𝑦₂ + 𝑥₂ ∙ 𝑦₁ = ⁽ 𝑥̅, 𝑦̅⁾ – выполнена;

2) ((𝑥̅′+ 𝑥^̅′′), 𝑦̅) = ⁽𝑥^′ + 𝑥^′′)𝑦₂ + ⁽𝑥^′ + 𝑥^′′)𝑦₁ = ⁽𝑥^′ 𝑦₂ + 𝑥^′ 𝑦₁⁾ + ⁽𝑥^′′𝑦₂ + 𝑥^′′𝑦₁⁾

1 1 2 2 1 2 1 2

= ⁽𝑥̅′, 𝑦̅⁾ + ⁽𝑥̅′′, 𝑦̅⁾ − выполнена;

3) ⁽𝜆𝑥̅, 𝑦̅⁾ = ⁽𝜆𝑥₁⁾ ∙ 𝑦₂ + ⁽𝜆𝑥₂⁾ ∙ 𝑦₁ − ⁽𝜆𝑥₃⁾ ∙ 𝑦₃ = 𝜆 ∙ (𝑥₁𝑦₂ + 𝑥₂𝑦₁) = 𝜆⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ – выполнена;

4) ⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ = 𝑥₁𝑥₂ + 𝑥₂𝑥₁ = 2𝑥₁𝑥₂ может быть меньше нуля, поэтому аксиома

⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ ≥ 0 не выполняется.


Ответ: данное произведение векторов не является скалярным.