Лекция 13. Линейные (векторные) пространства
 Скачать 63.63 Kb.
|
векторами.Определение. Операции сложения векторов и умножения вектора на число называются линейными операциями над векторами. Определение. Сумму 𝑥̅ + (−𝑦̅) обозначают 𝑥̅ − 𝑦̅ и называют разностью элементов 𝑥̅ и 𝑦̅.  Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения.В линейном пространстве существует единственный нулевой элемент. Для любого 𝑥̅ ∈ 𝑉 существует единственный противоположный элемент −𝑥̅. Для элемента −𝑥̅ противоположным будет элемент 𝑥̅. Для любого элемента 𝑥̅ выполняется условие 0 ⋅ 𝑥̅ = 0̅. Для любого элемента 𝑥̅ выполняется условие −1 ⋅ 𝑥̅ = −𝑥̅. Для любого числа 𝛼 выполняется условие 𝛼 ⋅ 0̅ = 0̅. 7. Если 𝛼 ⋅ 𝑥̅ = 0̅ и 𝛼 ≠ 0, то 𝑥̅ = 0. 8. Если 𝛼 ⋅ 𝑥̅ = 0̅ и 𝑥̅ ≠ 0̅, то 𝛼 = 0. Следствие. 𝛼 ⋅ 𝑥̅ = 0̅ ⇔ (𝑥̅ = 0̅ или 𝛼 = 0). Замечание. В линейном пространстве под словом «элемент», «вектор» понимают любой математический объект. Под «суммой векторов» понимают «условное сложение», под «умножением вектора на число» – «условное умножение». Пример 1. Убедиться в том, что множество геометрических векторов 𝑉3 является линейным пространством. Решение. Действительно, если 𝑥̅ ∈ 𝑉3 и 𝑦̅ ∈ 𝑉3 то сумма векторов 𝑥̅ + 𝑦̅ = 𝑧̅ есть некоторый вектор этого же пространства. И произведение 𝜆 𝑥̅ = 𝑧̅1 – тоже вектор пространства 𝑉3. Аксиомы линейного пространства в пространстве 𝑉3 есть свойства линейных операций с геометрическими векторами. Аналогично можно показать, что пространство всех геометрических коллинеарных векторов 𝑉1 и всех компланарных векторов 𝑉2 являются линейными. Пример 2. Убедиться в том, что множество функций 𝑦 = 𝑓(𝑥), непрерывных на некотором отрезке 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], является линейным пространством. Решение. Действительно, если две функции непрерывны на интервале 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], то их сумма есть новая функция, непрерывная на этом интервале, и произведение непрерывной функции на число есть новая непрерывная функция. Аксиомы линейного пространства в этом случае есть свойства линейных операций с непрерывными на [𝑎, 𝑏] функциями. Итак, данное множество является линейным пространством и обозначается 𝐶[𝑎, 𝑏]. Пример 3. Является ли множество многочленов степени 𝑘 с обычными операциями сложения многочленов и умножения многочлена на число линейным пространством? Решение. Многочлен степени 𝑘 имеет вид 𝑃𝑘(𝑥) = 𝑎0𝑥𝑘 + 𝑎1𝑥𝑘−1 + ⋯ + 𝑎𝑘−1𝑥 + 𝑎𝑘. Суммой двух многочленов степени 𝑘 является новый многочлен, степень которого может быть либо равна 𝑘, либо окажется меньше 𝑘. Так, например, для 𝑘 = 2, если 𝑃(1)(𝑥) = 2𝑥2 + 5𝑥 + 6 и 𝑃(2)(𝑥) = −2𝑥2 − 𝑥, то сумма 𝑃(1)(𝑥) + 𝑃(2)(𝑥) = 4𝑥 + 6 2 2 2 2 не принадлежит данному множеству. Значит, данное множество не является линейным пространством. Пример 4. Убедиться в том, что множество многочленов степени, не превосходящей 𝑘, является линейным пространством. Решение. Дано множество 𝑃 = {𝑝̅: 𝑝̅ = 𝑃𝑚(𝑥), 0 ≤ 𝑚 ≤ 𝑘} . Сумма двух любых векторов этого множества ̅𝑝̅1̅ ∈ 𝑃, 𝑝̅̅2̅ ∈ 𝑃 ̅𝑝̅1̅ + ̅𝑝̅2̅ = 𝑃(1)𝑚(𝑥) + 𝑃(2)𝑚(𝑥) = 𝑃3(𝑥) = 𝑛 𝑝̅̅3̅ – есть многочлен, степень которого не выше 𝑘, то есть 0 ≤ 𝑛 ≤ 𝑘. Таким образом, 𝑝̅̅1̅ + 𝑝̅̅2̅ – новый вектор, принадлежащий данному множеству 𝑝̅̅3̅ ∈ 𝑃. Произведение вектора 𝑝̅ ∈ 𝑃 и числа 𝜆 : 𝜆𝑝̅ = 𝜆𝑃𝑚(𝑥) = 𝜆(𝑎0𝑥𝑚 + 𝑎1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑎𝑚−1𝑥 + 𝑎𝑚) = = (𝜆𝑎0)𝑥𝑚 + (𝜆𝑎1)𝑥𝑚−1 + ⋯ + (𝜆𝑎𝑚−1)𝑥 + 𝑎𝑚 = 𝑃𝑙(𝑥) – новый многочлен, степень которого равна либо 𝑚, либо 0, если 𝜆 = 0, то есть 𝜆𝑝̅ = 𝑝̅̅4̅ ∈ 𝑃. Итак, множество многочленов степени, не превосходящей 𝑘, является линейным пространством. Пример 5. Выяснить, является ли линейным пространством множество матриц A одного и того же размера 𝑚 × 𝑛? Решение. Суммой двух матриц одного размера является новая матрица того же размера: 𝐴𝑚×𝑛 + 𝐵𝑚×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛, где элементы 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗. Произведение матрицы на число есть новая матрица того же размера 𝜆 ⋅ 𝐴𝑚×𝑛 = 𝐷𝑚×𝑛, где 𝑑𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗. Свойства линейных операций с матрицами совпадают с аксиомами линейного пространства. Итак, указанное множество является линейным пространством. Пример 6. Является ли линейным пространством множество одностолбцовых матриц размера 𝑚 × 1 , элементы которых неотрицательны? Решение. Суммой двух матриц данного пространства 𝐴𝑚×1 и 𝐵𝑚×1 является матрица 𝐴𝑚×1 + 𝐵𝑚×1 = 𝐶𝑚×1 такого же размера с неотрицательными элементами, то есть сумма элементов в этом пространстве определена. Произведением матрицы 𝐴 и числа является матрица 𝜆 ⋅ 𝐴𝑚×1 = 𝐷𝑚×1 того же размера, но если число 𝜆 < 0, то элементы матрицы 𝐷 будут отрицательными, т.е. произведение матрицы на число не принадлежит множеству. Ответ: множество не является линейным пространством.  Замечание. Рассмотрим пространство элементов, каждый из которых является упорядоченным набором 𝑛 действительных чисел 𝑥̅ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛). Если операции сложения и умножения на число определить так, что 𝑥̅ + 𝑦̅ = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 +𝑦2, … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛) и 𝜆𝑥̅ = (𝜆𝑥1, 𝜆𝑥2, … , 𝜆𝑥𝑛), то будут выполняться все аксиомы линейного пространства. Нуль-вектор возьмём 0̅ = (0,0, … ,0). И тогда рассматриваемое пространство является линейным. Такое пространство ℝ𝑛 = {𝑥̅| 𝑥̅ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅ } называется |