Лекция 13. Линейные (векторные) пространства

• Название: Лекция 13. Линейные (векторные) пространства
• Дата: 17.04.2022
• Размер: 63.63 Kb.
• Имя файла: Lektsia_13_Lineynye_vektornye_prostranstva_2021.docx
• Тип: Лекция; #480505
• страница: 4 из 5

Евклидово пространство

Определение. Линейное пространство называется евклидовым, если задан закон, по которому каждым двум векторам пространства ставится в соответствие действительное число, называемое скалярнымпроизведениемэтих векторов ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 𝛼 ∈ 𝑅, причём имеют место следующие аксиомы:

1) ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = ⁽𝑦̅, 𝑥̅⁾;

2) ⁽𝑥̅ + 𝑦̅, 𝑧̅⁾ = ⁽𝑥̅, 𝑧̅⁾ + ⁽𝑦̅, 𝑧̅⁾;

3) ⁽𝜆𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 𝜆⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾;

4) ⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ ≥ 0, и ⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ = 0 ⟺ 𝑥̅ = 0.

Определение. Нормойвектора 𝑥̅ называется число

(6)

^‖𝑥̅^‖ = √⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾. (7)

Определение. Нормированиемвектора называется построение вектора

𝑥̅⁰ = <sup>𝑥̅

‖</sup>𝑥̅^‖

такого, что его норма ^‖𝑥̅^0‖ = 1.

Определение. Векторы называются ортогональными, если

⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 0. (8)

Определение. Базис евклидова пространства (𝑒₁

, 𝑒₂

, … , 𝑒_𝑛

) называется

ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и их нормы равны единице, то есть

(𝑒̅ , 𝑒̅ ) = [ ^{0, 𝑖 ≠ 𝑗}

(9)

𝑖 𝑗

1, 𝑖 = 𝑗.

Замечание. Только в ортонормированном базисе скалярное произведение 𝑥̅ и 𝑦̅ вычисляется по формуле

⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 𝑥₁𝑦₁ + 𝑥₂𝑦₂ + ⋯ + 𝑥_𝑛𝑦_𝑛,

а норма вектора – по формуле

^‖𝑥̅^‖ = ^√𝑥² + 𝑥² + ⋯ + 𝑥²,

1 2 ^𝑛

где 𝑥̅ = ⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾, 𝑦̅ = ⁽𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛⁾.

В геометрическом пространстве 𝐸² или 𝐸³ норма – это длина вектора.

Свойстванормы

1. ^|𝑥̅^| = 0 ⇔ 𝑥̅ = 0.

2. ^|𝜆𝑥̅^| = ^|𝜆^| ⋅ ^|𝑥̅^|, 𝜆 ∈ ℝ.

3. 
   ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ ≤ ^|𝑥̅^| ⋅ ^|𝑦̅^| – неравенство Коши – Буняковского.
   
4. 
   ^|𝑥̅ + 𝑦̅^| ≤ ^|𝑥̅^| + ^|𝑦̅^| – неравенство треугольника.
   

Пример 12. Проверим, является ли евклидовым пространство геометрических векторов 𝑉₃ с определённым обычным способом скалярным произведением ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = ^|𝑥^| ∙ ^|𝑦^| ∙ 𝑐𝑜𝑠⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾.
Решение.

Для этого выясним, выполняются ли соответствующие аксиомы. (см. (6))

1) ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = ⁽𝑦̅, 𝑥̅⁾

2) ⁽𝑥̅ + 𝑦̅, 𝑧̅⁾ = ⁽𝑥̅, 𝑧̅⁾ + ⁽𝑦̅, 𝑧̅⁾

3) ⁽𝜆𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 𝜆⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾

Эти три аксиомы совпадают со свойствами скалярного произведения.

4) ⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ = ^|𝑥^|2 > 0 при 𝑥̅ ≠ 0 и ⁽𝑥̅, 𝑥̅⁾ = 0 , если 𝑥̅ = 0. – и четвёртая аксиома выполняется.

Вывод: данное пространство является евклидовым.

Пример 13. Выяснить, будет ли являться евклидовым линейное пространство

𝐶^[𝑎, 𝑏^] (множество непрерывных на отрезке ^[𝑎, 𝑏^] функций) будет являться евклидовым, если определить скалярное произведение следующим образом:

𝑏

(𝑓,^̅ 𝑔̅) = ∫ 𝑓⁽𝑥⁾ ∙ 𝑔⁽𝑥⁾𝑑𝑥

𝑎

Решение.Проверим, выполняются ли соответствующие аксиомы:

1) (𝑓,^̅ 𝑔̅) = (𝑔̅, 𝑓)

, так как 𝑓⁽𝑥⁾ ∙ 𝑔⁽𝑥⁾ = 𝑔⁽𝑥⁾ ∙ 𝑓⁽𝑥⁾

2) (𝑓^̅ + ^̅𝑓^̅̅, 𝑔̅) = (^̅𝑓^̅̅, 𝑔̅) + (^̅𝑓^̅̅, 𝑔̅), так как

1 2 1 2

𝑏 𝑏 𝑏

∫(𝑓₁⁽𝑥⁾ + 𝑓₂⁽𝑥⁾) ∙ 𝑔⁽𝑥⁾𝑑𝑥 = ∫ 𝑓₁⁽𝑥⁾ ∙ 𝑔⁽𝑥⁾𝑑𝑥 + ∫ 𝑓₂⁽𝑥⁾ ∙ 𝑔⁽𝑥⁾𝑑𝑥

𝑎 𝑎 𝑎

^{3) (𝜆𝑓, 𝑔̅) = 𝜆(𝑓̅, 𝑔̅), так как} ∫^{𝑏 𝜆𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝜆} ∫^{𝑏 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥}

4) (𝑓,^̅ 𝑓)

𝑎


𝑎
^{≥ 0 так как} ∫^{𝑏(𝑓(𝑥))2𝑑𝑥 ≥ 0}

𝑎

(свойство определённого интеграла),

причём интеграл обращается в ноль только при 𝑓⁽𝑥⁾ = 0.

Ответ: пространство 𝐶^[𝑎, 𝑏^] с заданным произведением векторов является евклидовым.

Пример 14. Проверить, можно ли в соответствующем пространстве арифметических векторов задать скалярное произведение следующим образом:

А) ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 𝑥₁𝑦₁ + 2𝑥₂𝑦₂ + 𝑥₃𝑦₃, где 𝑥̅ = ⁽𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃⁾ и 𝑦̅ = ⁽𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃⁾ – векторы

пространства 𝑅³.

B) ⁽𝑥̅, 𝑦̅⁾ = 𝑥₁𝑦₂ + 𝑥₂𝑦₁, где 𝑥̅ = ⁽𝑥₁, 𝑥₂⁾ и 𝑦̅ = ⁽𝑦₁, 𝑦₂⁾ – векторы пространства 𝑅². Решение.

А) Проверим, выполняются ли аксиомы для данного произведения.

1) ⁽𝑦̅, 𝑥̅⁾ = 𝑦₁𝑥₁ + 2𝑦₂𝑥₂ + 𝑦₃𝑥₃ = 𝑥₁𝑦₁ + 2𝑥₂𝑦₂ + 𝑥₃𝑦₃ = ⁽ 𝑥̅, 𝑦̅⁾ - выполнена; 2) (⁽𝑥̅′+ 𝑥^̅′′⁾, 𝑦̅) = ⁽𝑥′₁ + 𝑥′′₁⁾𝑦₁ + 2⁽𝑥′₂ + 𝑥′′₂⁾𝑦₂ + ⁽𝑥′₃ + 𝑥′′₃⁾𝑦₃ = ⁽𝑥′₁𝑦₁ +

2𝑥′₂𝑦₂ + 𝑥