МАТ АНАЛИЗ ЭКЗАМЕН 1 КУРС 1 СЕМЕСТР. Теория мат. Анализ
 Скачать 32.8 Kb.
|
|
ТЕОРИЯ МАТ. АНАЛИЗ 1. Числовые функции. Определение, способы задания, свойства ОПРЕДЕЛЕНИЕ: числовой функцией называется отображение числового множества Х в множестве действительных числе R, при кот-м КАЖДОМУ элементу Х из множества Х ставится в соответствие ЕДИНСТВЕННОЕ действительное число У СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ: следует указать множество Х (область определения) и правило f, по кот-му для каждого Х определяется действительное число У 1) аналитический, 2) графический, 3) табличный, 4) вербальный (словесный) функция Дирихм, синус числа х наз-ся ординатой точки единичной окружности при отложенной длине дуги х СВОЙСТВА: 1) о.о.ф D(y) (заданная и естественная, где у сущ-ет), о.з.ф E(y) 2) ограниченность - функция наз-ся ограниченной, если ограничено её множество значений ограничена снизу, если …кванторы… м – нижняя граница, inf E(y) точная нижняя граница ф-ии ограничена сверху, если …кванторы… М – верхняя граница, sup E(y) точная верхняя граница ф-ии ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу 3) чётность чётная, если её D(y) симметрична относительно начала координат f(-x)=f(x) нечётной, если её D(y) симметрична относительно начала координат f(-x)=-f(x) 4) периодичность ф-ия y=f(x) наз-ся периодичной с периодом ТэR, если …кванторы… 5) монотонность ф-ия y=f(x) наз-ся возрастающей на интервале (ab)эD(y) если для любых х1,х2 э (ab) (уравнение) ф-ия y=f(x) наз-ся убывающей на интервале (ab)эD(y) если для любых х1,х2 э (ab) (уравнение) стационарная (у=3) 6) выпуклость 7) непрерывность 8) обратимость ф-ия y=f(x) наз-ся обратимой, если обратное к ней отображение так же является функцией (биекция, биективное отображение) если функция монотонна, то она обратима если функция не биективна, то она необратима 2. Степенная функция, ее свойства и график. 3. Обратимость функции. Показательная и логарифмическая функции ф-ия y=f(x) наз-ся обратимой, если обратное к ней отображение так же является функцией (биекция, биективное отображение) если функция монотонна, то она обратима если функция не биективна, то она необратима 4. Функции y = sin x и y = arcsin x , их свойства и графики. 5. Функции y = cosx и y = arccosx , их свойства и графики. 6. Функции y = tgx и y = arctgx , их свойства и графики. 7. Последовательность (определение, способы задания, свойства). ОПРЕДЕЛЕНИЕ: числовая последовательность – функция, заданная на множестве натуральных чисел СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ: 1) аналитический (формула n-го члена), 2) рекуррентный (примеры), 3) словесный СВОЙСТВА: 1) монотонность (если больше 0 и 1, то возрастает, если меньше 0 и 1 , то убывает), 2) ограниченность sup(Yn), inf(Yn) 8. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Формула, характеристические свойства, формула n-го члена, сумма n-го членов прогрессии сумма бесконечно уб-й геом-й прогрессии S=b1/1-q, |q|<1, sup(Хn)=1, inf(Хn)=0 9. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Их свойства. ОПРЕДЕЛЕНИЕ: б/м …кванторы… б/б …кванторы… СВОЙСТВА: 1) 1/б/б=б/м, 2) б/б+б/м=б/б, б/б-б/б=неопределённость, б/б*б/б=б/б, б/б:б/б=неопр-ть, 3) б/м+б/м=б/м, б/м-б/м=б/м, б/м*б/м=б/м, б/м:б/м=неорп-ть, б/м*ограниченную=б/м 10.Предел числовой последовательности. Определение. Примеры Число  называют пределом последовательности  , если для каждого  существует такое натуральное число  , что для любого  верно неравенство: Используя логические символы данное определение можно записать в следующем виде:  .Бесконечно большая последовательность  имеет пределом  (соответственно  ), если для каждого существует такое натуральное число , что для любого верно неравенство (соответственно  ).Этот факт записывают так:  (соответственно  ).11.Свойства сходящихся последовательностей. Ограниченность сходящейся последовательности. 12.Свойства сходящихся последовательностей. Теорема Вейерштрасса 13.Свойства сходящихся последовательностей. Теорема о сходимости под конвоем. 14.Арифметические операции над пределами последовательностей. |