Лекция 13. Линейные (векторные) пространства

• Название: Лекция 13. Линейные (векторные) пространства
• Дата: 17.04.2022
• Размер: 63.63 Kb.
• Имя файла: Lektsia_13_Lineynye_vektornye_prostranstva_2021.docx
• Тип: Лекция; #480505
• страница: 1 из 5

Лекция 13. Линейные (векторные) пространства

1. Понятие линейного пространства
Дано множество 𝑉 = ^{𝑥̅, 𝑦̅, 𝑧̅, … ^} и множество действительных чисел ℝ .

Определение. Множество 𝑉 называется линейнымвекторным пространством

над множеством действительных чисел ℝ , если:

1. 
   задана операция (закон) сложения элементов множества 𝑉, согласно которой любым двум элементам 𝑥̅ и 𝑦̅ из множества 𝑉 сопоставляется элемент из множества
   

𝑉, который называется суммой элементов и обозначается 𝑥̅ + 𝑦̅;

2. 
   задана операция (закон) умножения элементов множества 𝑉 на число из множества ℝ , согласно которой каждому элементу 𝑥̅ из множества 𝑉 и числу 𝛼 из множества ℝ сопоставляется элемент из множества 𝑉, который называется произведением элемента 𝑥̅ на число 𝛼 и обозначается 𝛼𝑥̅;
   
3. 
   заданные операции для любых элементов 𝑥̅, 𝑦̅, 𝑧̅ из множества 𝑉 и любых чисел
   

𝛼 и 𝛽 из множества ℝ удовлетворяют следующим аксиомам:

1) 𝑥̅ + 𝑦̅ = 𝑦̅ + 𝑥̅ (коммутативность),

2) ⁽𝑥̅ + 𝑦̅⁾ + 𝑧̅ = 𝑥̅ + ⁽𝑦̅ + 𝑧̅⁾ (ассоциативность),

3. 
   существует элемент 0^̅ ∈ 𝑉 такой, что для каждого элемента 𝑥̅ ∈ 𝑉 выполняется равенство 𝑥̅ + 0^̅ = 𝑥̅,
   
4. 
   для каждого элемента 𝑥̅ ∈ 𝑉 существует элемент ⁽−𝑥̅⁾ ∈ 𝑉 такой, что выполняется равенство 𝑥̅ + ⁽−𝑥̅⁾ = 0^̅,
   

5) 1 ⋅ 𝑥̅ = 𝑥̅,

6) 𝛼 ⋅ ⁽𝛽 ⋅ 𝑥̅⁾ = ⁽𝛼 ⋅ 𝛽⁾ ⋅ 𝑥̅,

7) 𝛼 ⋅ ⁽𝑥̅ + 𝑦̅⁾ = 𝛼 ⋅ 𝑥̅ + 𝛼 ⋅ 𝑦̅,

8) ⁽𝛼 + 𝛽⁾ ⋅ 𝑥̅ = 𝛼 ⋅ 𝑥̅ + 𝛽 ⋅ 𝑥̅.

Определение. Элементы линейного векторного пространства называются