Лекция 212. 12 Метод вариации произвольных постоянных
 Скачать 361 Kb.
|
Лекция 2-12. 12.3.6. Метод вариации произвольных постоянных.Дано линейное дифференциальное уравнение (*) где - непрерывная функция. Рассмотрим однородное уравнение Общее решение данного уравнения имеет вид Будем искать частное решение уравнения (*) в виде Далее везде примем обозначениеТ.к. определению подлежат две функции то одним соотношением между ними распорядимся произвольно. Наиболее целесообразно подчинить условию Тогда Подставим в уравнение (*) Получили систему дифференциальных уравнений для определения Пример.12.3.7 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка.Выше изложенное переносится на дифференциальные уравнения порядка (**) где - непрерывные функции. Сначала рассмотрим однородное уравнение (***) Линейно независимые системы функций.Рассмотрим систему функций Линейной комбинацией их будет где - постоянные. Определение. Система функций называется линейно независимой, если ни одну из этих функций нельзя представить в виде линейной комбинации остальных. Т.е. не может быть равенства В частности линейно независимы, если Если не есть линейно независимые функции, то они линейно зависимы.Пример. Теорема.Если суть частных линейно независимых решений дифференциального уравнения (***), то общим решением этого уравнения будет (****) Если - линейно зависимые решения, то, по крайней мере, одно из них выразится через остальные и функция будет зависеть не от , а от произвольных постоянных. Она не даст общего решения дифференциального уравнения. Условие линейной независимости частных решений дифференциального уравнения Если заданы начальные условия то, чтобы из общего решения получить частное решение , надо решить систему алгебраических уравнений Здесь Нулевым начальным условиям соответствует Линейно независимые решения дифференциального уравнения - го порядка образуют фундаментальную систему решений. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения Теорема.Если - фундаментальная система решений дифференциального уравнения то решением дифференциального уравнения является функция где удовлетворяют системе Определитель системы есть определитель Вронского. 12.3.8 Линейные дифференциальные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.Характеристическое уравнение 1) Каждому действительному корню кратности соответствует решений 2) Каждой паре комплексно сопряженных корней кратности соответствует решений Общее число кратности равно поэтому решений будет Пример.Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнениегде - правая часть специального вида, - многочлен степени - многочлен степени Частное решение имеет вид где - многочлены степени - кратность среди корней характеристического уравнения. |