Лекция 3. Вынужденные колебания. Резонанс рассмотрим колебания, которые совершает закрепленное на пружине тело, если на него кроме упругой силы и силы сопротивления действует еще добавочная периодическая сила.
 Скачать 410 Kb.
|
|
Лекция №3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС Рассмотрим колебания, которые совершает закрепленное на пружине тело, если на него кроме упругой силы и силы сопротивления действует еще добавочная периодическая сила. Эта сила, называемая вынуждающей, изменяется со временем по закону 0 ) ( F t F t cos , (1) где 0 F ее амплитуда, циклическая частота. Уравнение движения (второй закон Ньютона) приобретает вид x r x k x m t cos F 0 , (2) где m масса тела, k жесткость пружины, r коэффициент сопротивления. Разделив (2) на m , получим уравнение, отличающееся от уравнения затухающих колебаний правой частью 2 0 x 2 x x t cos m F 0 (3) Коэффициенты и 0 обозначают соответственно коэффициент затухания и собственную циклическую частоту колебаний системы. Полученное уравнение неоднородное дифференциальное уравнение, те. его правая часть отлична от нуля. Поэтому его решение можно представить в виде суммы двух функций общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Т.к. решение однородного уравнения пропорционально t e , то при t оно обращается в нуль, поэтому искомое решение уравнения (3) сводится к частному решению, которое будем искать в виде периодической функции ) (t x ) ( t cos A , (4) изменяющейся с частотой вынуждающей силы .. Константы Аи Ф могут быть найдены из уравнения (3). При этом А амплитуда вынужденных колебаний, а Ф сдвиг фаз между вынуждающей силой и смещением тела от положения равновесия. Подставляя (4) в уравнение (3) и пользуясь диаграммным методом находим 2 2 2 2 2 0 0 4 ) ( m / F A (5) и 2 2 0 2 tg . (6) Уравнение (5) позволяет проанализировать зависимость амплитуды A вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы . График этой зависимости показан на рис. Функция ) ( A A имеет максимум при рез , (7) где рез - называется резонансной частотой. При малом сопротивлении движению ( 0 ) рез практически совпадает с собственной частотой колебаний системы Рассмотрим случай, когда частота вынуждающей силы 0 . Тогда амплитуда вынужденных колебаний A 2 0 0 F / m , а сдвиг фаз 0 . Полученное выражение называется статическим отклонением 2 cmam 0 0 A F / Если частота вынуждающей силы совпадает с частотой рез. Амплитуда вынужденных колебаний при этом становится максимальной (см. рис) и достигает значения рез m (8) Мы имеем дело с явлением резонанса. Резонансом называется резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте колебаний системы. Заметим, что в случае слабых затуханий 0 резонансная амплитуда стремится к бесконечности рез Вычислим отношение амплитуды при резонансе к амплитуде статического отклонения для слабых затуханий (те. 0 ) рез T : Q A F 2 2 / T m 2 m 2 m , те. добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда при резонансе превышает статическое отклонение под действием постоянной силы той же величины. Рис Закон Ома для синусоидальных переменных токов. Будем считать, что ток квазистационарный (те. в данный момент времени во всех точках цепи величина тока одинаковая) и внешняя ЭДС изменяется по гармоническому закону ) cos(Ω 0 t t dt dq q t i – количество заряда, которое протекает через сечение в единицу времени. Тогда (см. материал, изложенный ранее) данная система будет описываться следующим дифференциальным уравнением Рассмотрим типичные случаи. 1. Вцепи переменного тока только активное сопротивление Тогда дифференциальное уравнение принимает вид Те. Напряжение на сопротивлении ) cos(Ωt U R q R t i u R R , где R I U R R - амплитуды тока и напряжения. Те. колебания тока и напряжения происходят водной фазе. Векторная диаграмма имеет следующий вид Рис I R U R 2. Вцепи переменного тока только катушка индуктивностью Тогда Так как q i , то имеем Решить данное дифференциальное уравнение очень просто разделяем переменные и интегрируем ) sin(Ω Ω ) cos(Ω ) cos(Ω 0 Так как /2) - cos( ) sin( , то имеем 2 Ω cos 2 Ω cos Ω ) ( 0 t I t L t i L , где L I L Ω 0 - максимальный ток проходящий через катушку индуктивности в данном случае. Сравнивая это выражение с обычным законом Ома видим, что выражение L Ω имеет смысл сопротивления и его называют реактивное сопротивление катушки индуктивности Напряжение на катушке L u , в данном случае, совпадает с ЭДС ) cos(Ω ) ( 2 Ω cos ) ( t U t u t I t i L L L L , где L L L L X I L I U Ω . Поэтому говорят, что на катушке индуктивности ток отстает от напряжения по фазе на радиан . Имеем следующую векторную диаграмму I L U L 3. Вцепи переменного тока только конденсатор емкостью C . Тогда имеем уравнение Так как, то ) sin(-Ω Ω ) sin(Ω Ω ) cos(Ω 0 Учтем, что /2) cos( /2) - cos(- ) sin(- , получаем Используя закон Ома, видим, что электрическое сопротивление конденсатора равно C C I X C C Ω 1 Ω 0 и называется – реактивное сопротивление конденсатора C X C Ω 1 Так как напряжение на конденсаторе C t q t u C , то ) cos(Ωt U t u C C , где Вспоминая, что ток через конденсатор определяется выражением 2 Ω cos t I i C , видим, что ток по фазе опережает напряжение на радиан . Имеем следующую векторную диаграмму. С U C 4. Последовательное соединение вцепи переменного тока В данном случае имеем следующее дифференциальное уравнение Заметим, что и катушка, и конденсатор сдвигают фазу на 2 только в разные стороны. На активном сопротивлении колебания тока и ЭДС синфазные. На катушке фазы колебаний сдвигаются на 2 . На конденсаторе фазы колебаний сдвигаются на 2 . Ток одинаков для катушки, сопротивления, конденсатора Поэтому общее амплитудное значение напряжения найдем, построив следующую диаграмму Таким образом, общее напряжение определяется выражением 2 Подставим сюда выражения полученные выше R I U R R , L L L X I U , Так как сопротивление, конденсатор и катушка индуктивности соединены последовательно, то ток через них течет один и тот же C L R I I I I , то мы получаем 2 Множитель у тока называют полным сопротивлением Z , то. 2 Тангенс угла сдвига фаз между амплитудным значением тока и полным напряжением можно найти по формуле R X X U U U tg C L R C L U I U L -U C U L U C U R |